2023-2024学年广东省广州市黄埔区重点学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州市黄埔区重点学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图标中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.用配方法解方程x2−6xA.(x−3)2=1 B.3.抛物线y=2(x+3A.(3,5) B.(−34.不解方程，判断方程5x2−7A.无实数根 B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根 D.以上说法都不正确5.要将抛物线y=−2x2平移后得到抛物线A.先向右平移2个单位，再向下平移5个单位

B.先向右平移2个单位，再向上平移5个单位

C.先向左平移2个单位，再向下平移5个单位

D.先向左平移2个单位，再向上平移5个单位6.在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是(

)A.100(1+x)2=121 7.已知2是关于x的方程x2−2mx+3mA.10 B.14 C.10或14 D.8或108.二次函数y=x2−3x−A.x1=−1，x2=4

B.x1=1，x9.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)图象的一部分，与x轴的交点A在点(2,0)和A.①②③ B.①②④ C.10.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：

①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；

②若方程A.①②③ B.①②④ C.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.已知点A(2,−2)，如果点A关于原点的对称点是B，那么12.A(−2,y1)、B(1,y2)、C13.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点

14.如图，一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=a

15.关于x的一元二次方程kx2−2(k−16.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，E

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

解下列关于x的方程：

(1)x2−x18.(本小题6分)

已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−519.(本小题6分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(−1,4)，B(−4,2)，C(−3,5).(每个方格的边长均为1个单位长度)

(1)平移△ABC得到△A1B1C1，若20.(本小题8分)

已知：关于x的一元二次方程x2−(3m+1)x+m2−2m+4=0，

(1)已知21.(本小题8分)

为了推进全民阕读，某社区增加了阅览室的开放时间，据统计：该社区阅览室在2021年图书馆借阅总量是7500册，2023年图书借阅总量是10800册．

(1)求该社区图书馆借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率；

(2)若2023年至2024年图书借阅总量的增长率等于2021年至2023年的平均增长率，预计2024年该社区居民借阅图书人数达到1296人，预计22.(本小题8分)

九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件)100110120130…月销量(件)200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．

(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是(______)元；②月销量是(______)件；(直接写出结果)

(2)23.(本小题8分)

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，MN是过点A的直线，过点C作CD⊥直线MN于点D，连接BD．

(1)求∠ADB的度数；

(224.(本小题10分)

已知关于x的一元二次方程2x2−4x+k−1=0有实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)若此方程的两根为x1，x2，且x125.(本小题12分)

如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(−3,0)和B(1,0)两点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD/​/y轴交AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，过点E作答案和解析1.【答案】C

【解析】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形；

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形；

故选：C．

利用中心对称图形定义进行解答即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

2.【答案】D

【解析】【分析】

此题考查了一元二次方程的解法：配方法，解答时要先进行移项，再将二次项系数化为1，然后两边同时加上一次系数一半的平方，最后利用完全平方公式进行配方即可．

【解答】

解：x2−6x+5=0，

x2−63.【答案】B

【解析】解：∵y=2(x+3)2+5，

∴抛物线顶点坐标为(−3,54.【答案】C

【解析】解：∵在方程5x2−7x−3=0中，Δ=(−7)2−5.【答案】C

【解析】解：将抛物线y=−2x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到抛物线y=−2(6.【答案】A

【解析】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，

根据题意即可列出方程：100(1+x)2=121．

故选：A．

增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)7.【答案】B

【解析】解：∵2是关于x的方程x2−2mx+3m=0的一个根，

∴把x=2代入方程整理得：4−4m+3m=0，

∴解得m=4，

∴原方程为：x2−8x+12=0，

∴方程的两个根分别是2，6，

又∵等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，

∴若2是等腰三角形ABC的腰长，则2+2=4<68.【答案】A

【解析】解：由图象可得抛物线y=x2−3x−4经过(−1,0)，(4,0)，

∴方程x9.【答案】B

【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，交y轴的正半轴，

∴a<0，b>0，c>0，

则abc<0，故①正确；

∵−b2a=1，

∴2a+b=0，故②正确；

③∵2a+b=0，

∴b=−2a，

∵当x=−1时，y=a−b+c<0，

∴a+2a+c<0，

∴10.【答案】B

【解析】解：①若a+b+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有一个根为1，

∴b2−4ac≥0，正确；

②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则−4ac>0，可知b2−4ac>0，

∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确；

③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc11.【答案】(−【解析】解：点A(2,−2)，如果点A关于原点的对称点是B，那么B点的坐标是(−2,12.【答案】y1【解析】解：∵y=−2(x+1)2+2023，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−1，

∴点(−2,y13.【答案】70

【解析】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，

∴△O14.【答案】−1【解析】解：∵一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠015.【答案】k<12【解析】解：根据题意得k≠0且Δ=[−2(k−1)]2−4k⋅k>0，

解得：k<12且k≠0．

所以k的取值范围是：k<116.【答案】3+【解析】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC=6，∠ABC=∠BCA=60°，

∵∠ECF=60°，

∴∠BCE=60°−∠ECA=∠ACF，

∵CE=CF，

∴△BCE≌△ACF(SAS)，

∴∠CAF=∠CBE，

∵△ABC是等边三角形，BD是高，

∴∠CBE=12∠ABC=30°，CD=12AC=3，

过C点作CG⊥AF，交A17.【答案】解：(1)x2−x−3=0，

这里a=1，b=−1，c=−3，

∴Δ=(−1)2−4×1【解析】(1)利用解一元二次方程−公式法，进行计算即可解答；

(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．18.【答案】解：(1)把A(−5,0)，B(−1,0)代入y=x2+bx+c得：

25−5b【解析】(1)依据题意，由待定系数法，将A(−5,0)、B19.【答案】(−1,【解析】解：(1)如1，△A1B1C1即为所求；

∵A1的坐标为(2,2)，

∴B1的坐标为(−1,0)；

故答案为：(−1,0)；

(2)如图1，△A2B2C2即为所求；C2的坐标为(3,−5)；

故答案为：(3,−5)；

(320.【答案】解：(1)将x=1代入x2−(3m+1)x+m2−2m+4=0中，

得：12−(3m+1)+m2−2m+4=0，

解得：m=1，m=4，

当m=1时，x2−4x+3【解析】(1)将x=1代入方程中，求出m值，再代入到方程中，求出另一个根；

(2)根据根与系数的关系求出AC+BC=21.【答案】解：(1)设该社区图书馆借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为x，

根据题意得：7500(1+x)2=10800，

解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．

答：该社区图书馆借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为20【解析】(1)设该社区图书馆借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为x，利用该社区阅览室在2023年图书馆借阅总量=该社区阅览室在2021年图书馆借阅总量×(1+该社区图书馆借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

(2)利用预计2024年阅览室人均借阅量=预计该社区阅览室在2024年图书馆借阅总量÷预计22.【答案】(1)x−60，400−2x；

(2)由题意得，y=(x【解析】解：(1)①销售该运动服每件的利润是(x−60)元；

②设月销量W与x的关系式为W=kx+b，

由题意得，100k+b=200110k+b=180，

解得，k=23.【答案】CD【解析】解：(1)如图1，在射线DA上截取AE=CD，

∵CD⊥MN于点D，

∴∠ADC=90°，

∵∠ABC=90°，

∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD=360°，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∵∠BAE+∠BAD=180°，

∴∠BAE=∠BCD，

∵AB=CB，

∴△ABE≌△CBD(SAS)，

∴BE=BD，∠ABE=∠CBD，

∴∠ABE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=90°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠AD24.【答案】解：(1)∵2x2−4x+k−1=0有实数根，

∴Δ=(−4)2−4×2×(k−1)≥0，

解得：k≤3；

(2)∵x1，x2为矩形的两对角线长，矩形的对角线长相等，

∴方程有两个相等的实数根，

【解析】(1)根据△≥0，列出不等式组即可解决问题；

(2)根据矩形的对角线长相等可知方程有两个相等的实数根，由Δ=0即可求出k的值；

(3)根据25.【答案】(1)解：设抛物线解析式为y=a(x+3)(x−1)，

即y=ax2+2ax−3a，

∴−3a=3，解得a=−1，

∴抛物线的函数表达式为y=−x2−2x+3；

(2)由题意，C(0.3)，则△OAC为等腰直角三角形，∠CAO=45°，

设AC的解析式为yAC=kx+b，将A(−3,0)与C(0.3)代入得k=1b=3，则yA