专题11 函数应用（一）（两大题型） 高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）含解析

专题11函数应用（一）（两大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）专题11函数应用（一）（两大题型）高频考点题型归纳【题型1二次函数综合】【题型2分段函数综合应用】【题型1二次函数综合】1．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）＝51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格（不能低于15元）？3．某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）＝（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润＝总收益﹣总成本）4．若用模型y＝ax2来描述汽车紧急刹车后滑行的距离ym与刹车时的速度xkm/h的关系，而某种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20m．在限速为100km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m，问这辆车是否超速行驶？5．经市场调查，宜昌市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）＝80﹣2t（件），价格近似满足f（t）＝20﹣|t﹣10|（元）．（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数关系表达式；（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．6．某商场就一新款儿童玩具进行促销活动，活动时长是30天，这30天内第x（1≤x≤30，x∈N+）天的销售单价（单位：元/件）为p（x）＝，销售量（单位：件）为q（x）＝n﹣x，1≤x≤30，x∈N+，且第20天的销售额为1800元（销售额＝销售单价×销售量）．（1）求n的值，并求出第5天的销售额；（2）求这30天内单日销售额的最大值．7．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本+生产成本），销售收入R（x）满足R（x）＝，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？8．某商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是p＝，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q＝﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），（Ⅰ）写出该种商品的日销售额S（元）与时间t（天）的函数关系；（Ⅱ）求日销售额S的最大值．9．某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p＝，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q＝﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？【题型2分段函数综合应用】10．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．11．甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为3万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本+生产成本），销售收入R（x）＝，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；（2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？12．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下公式：f（x）＝（1）讲课开始后5min和讲课开始后20min比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？（3）一道数学难题，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．13．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（1）若n＝19，求y与x的函数解析式；（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？14．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放k（1≤k≤4，k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y＝k•f（x），其中f（x）＝．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（1）若只投放一次k个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），求k的值；（2）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？15．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝．（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润＝年销售收入﹣年总成本）16．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y＝mf（x），其中f（x）＝，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．17．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）＝，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以上统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？18．铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．设行李质量为xkg，托运费用为y元．（Ⅰ）写出函数y＝f（x）的解析式；（Ⅱ）若行李质量为56kg，托运费用为多少？19．在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图所示；③每月需要各种开支2000元．（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？20．某人开车以60km/h的速率从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速率返回A地，把汽车与A地的距离xkm表示为时间th（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速vkm/h表示为时间th的函数，并画出函数的图象．21．目前，广安市出租车的计价标准是：路程2km以内（含2km）起步价8元收取，超过2km的路程按1.9km收取，但超过10km的路程需要加收50%的返空费（即单价为1.9×（1+50%）＝2.85元/km）（说明：现实中要计算等待时间，且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）（1）若0＜x≤20，将乘客搭乘一次出租车的费用用f（x）（单位：元）表示行程x（单位：km）的分段函数（2）某乘客行程为16km，他准备先乘一辆出租车行驶8km，然后再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？22．经市场调查，某商品在过去的100天内销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量满足f（t）＝，（t∈N），价格满足g（t）＝200﹣t（1≤t≤100，t∈N）．（Ⅰ）求该种商品的日销售额h（t）与时间t的函数关系；（Ⅱ）若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度？23．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．（1）写出每人需交费用y关于人数x的函数；（2）旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？24．某车间生产一种仪器的固定成本是7500元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H（x）＝，其中x是仪器的月产量．（利润＝总收入﹣总成本）．（Ⅰ）将利润表示为月产量x的函数；（Ⅱ）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？25．某市出租车收费标准：路程不超过2千米，收费为8元；路程超过2千米但不超过8千米的部分，每千米车费为2.1元；路程超过8千米的部分，每千米车费为3.1元．设某乘客在该市乘坐出租车的车费为y元．（1）求车费y关于路程x的函数关系式；（2）若该乘客所付车费为23.7元，求出租车行驶的路程．26．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：P＝（其中c为小于6的正常数）（注：次品率＝次品数/生产量，如P＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？专题11函数应用（一）（两大题型）高频考点题型归纳【题型1二次函数综合】【题型2分段函数综合应用】【题型1二次函数综合】1．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）＝51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250＝﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．综合①②可得，；（2）由（1）可知，；①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣x2+40x﹣250＝﹣（x﹣60）2+950∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x+）≤1200﹣2＝1200﹣200＝1000，当且仅当，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格（不能低于15元）？【答案】见试题解答内容【解答】解：设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30﹣2（x﹣15）]，由题意当x≥15时有x[30﹣2（x﹣15）]＞400，解得：15≤x＜20，所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格售价在x∈[15，20）．3．某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）＝（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润＝总收益﹣总成本）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由于年产量是x台，则总成本为（20000+100x）元．当0≤x≤500时，y＝500x﹣x2﹣（20000+100x），即y＝﹣x2+400x﹣20000；当x＞500时，y＝125000﹣（20000+100x），即y＝105000﹣100x．所以；（2）当0≤x≤500时，y＝﹣（x﹣400）2+60000，所以当x＝400时，ymax＝60000；当x＞500时，y＝105000﹣100x是减函数，即y＝105000﹣100x＜105000﹣100×500＝55000．综上，当x＝400时，ymax＝60000．即当年产量为400台时，该科技公司所获得的年利润最大，最大年利润为60000元．4．若用模型y＝ax2来描述汽车紧急刹车后滑行的距离ym与刹车时的速度xkm/h的关系，而某种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20m．在限速为100km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m，问这辆车是否超速行驶？【答案】见试题解答内容【解答】解：依题意，20＝a•602，∴a＝，∴y＝x2，∵紧急刹车后滑行的距离为50m，∴紧急刹车时的速度为＝，∵＜＝100，∴这辆车没有超速行驶．答：这辆车没有超速行驶．5．经市场调查，宜昌市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）＝80﹣2t（件），价格近似满足f（t）＝20﹣|t﹣10|（元）．（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数关系表达式；（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）依题意，可得：，所以；（2）当0≤t≤10时，y＝（30+t）（40﹣t）＝﹣（t﹣5）2+1225，y的取值范围是[1200，1225]，在t＝5时，y取得最大值为1225；当10＜t≤20时，＝（50﹣t）（40﹣t）＝（t﹣45）2﹣25，y的取值范围是[600，1200），在t＝20时，y取得最小值为600．综上所述，第五天日销售额y最大，最大为1225元；第20天日销售额y最小，最小为600元．6．某商场就一新款儿童玩具进行促销活动，活动时长是30天，这30天内第x（1≤x≤30，x∈N+）天的销售单价（单位：元/件）为p（x）＝，销售量（单位：件）为q（x）＝n﹣x，1≤x≤30，x∈N+，且第20天的销售额为1800元（销售额＝销售单价×销售量）．（1）求n的值，并求出第5天的销售额；（2）求这30天内单日销售额的最大值．【答案】（1）n＝50，销售额为2700元；（2）2800．【解答】解：（1）设单日销售额为y元，则y＝p（x）•q（x）＝，整理得y＝，当x＝20时，y＝400﹣20（n+80）+80n＝1800，解得n＝50，故y＝，当x＝5时，y＝2700，即第5天的销售额为2700元；（2）由（1）知，当1≤x≤10，x∈N+时，y＝﹣2x2+50x+2500单调递增，则单日销售额的最大值为﹣2×102+50×10+2500＝2800，当10＜x≤30，x∈N+时，y＝x2﹣130x+4000单调递减，则单日销售额的最大值为112﹣130×11+4000＝2691元，综上所述，这30天内单日销售额的最大值为2800元．7．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本+生产成本），销售收入R（x）满足R（x）＝，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：依题意，G（x）＝x+2，设利润函数为f（x），则f（x）＝R（x）﹣G（x）＝（1）要使工厂有盈利，即解不等式f（x）＞0，当0≤x≤5时，解不等式﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0．即x2﹣8x+7＜0．∴1＜x＜7，∴1＜x≤5．（2分）当x＞5时，解不等式8.2﹣x＞0，得x＜8.2．∴5＜x＜8.2．综上，要使工厂盈利，x应满足1＜x＜8.2，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．（2）0≤x≤5时，f（x）＝﹣0.4（x﹣4）2+3.6，故当x＝4时，f（x）有最大值3.6．而当x＞5时，f（x）＜8.2﹣5＝3.2所以，当工厂生产400万台产品时，盈利最多．又x＝4时，＝240（元/台），故此时每台产品售价为240（元/台）．8．某商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是p＝，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q＝﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），（Ⅰ）写出该种商品的日销售额S（元）与时间t（天）的函数关系；（Ⅱ）求日销售额S的最大值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（Ⅰ）依题意得，则S＝P•Q∴S＝（Ⅱ）S＝当0＜t＜25，t∈N，t＝10时，Smax＝900（元）；当25≤t≤30，t∈N，t＝25时Smax＝1200（元）．由1200＞900，知第25天时，日销售额最大Smax＝1200（元），9．某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p＝，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q＝﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？【答案】见试题解答内容【解答】解：设日销售金额为y（元），则y＝p•Q，y＝＝＝，当0＜t＜25，t∈N，t＝10时，ymax＝900（元）；当25≤t≤30，t∈N，t＝25时，ymax＝1125（元）．由1125＞900，知ymax＝1125（元），且第25天，日销售额最大【题型2分段函数综合应用】10．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得：（1）；（2）由（1）可得：当0≤x≤10时，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．当x＝8时，f（x）max＝f（8）＝23；当x＞10时，f（x）＝30﹣x为减函数，则f（x）＜20．∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w＝23×10＝230（万元）．11．甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为3万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本+生产成本），销售收入R（x）＝，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；（2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得G（x）＝3+x，由R（x）＝，∴f（x）＝R（x）﹣G（x）＝，（2）当x＞5时，∵函数y＝f（x）递减，∴f（x）＜8.2﹣5＝3.2（万元），当0≤x≤5时，f（x）＝﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x＝4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．答：当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3.6（万元）．12．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下公式：f（x）＝（1）讲课开始后5min和讲课开始后20min比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？（3）一道数学难题，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）f（5）＝﹣0.1×（5﹣13）2+59.9＝53.5，f（20）＝﹣3×20+107＝47＜53.5，因此开讲5分钟比开讲20分钟时，学生的接受能力强一些．（2）当0＜x≤10时，f（x）＝﹣0.1x2+2.6x+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9，f（x）在0＜x≤10时单调递增，最大值为f（10）＝﹣0.1×（10﹣13）2+59.9＝59．当10＜x≤16时，f（x）＝59；当x＞16时，函数f（x）为减函数，且f（x）＜59．因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为59），能维持6分钟．（3）当0＜x≤10时，令f（x）＝55，解得x＝6或20（舍去）；当x＞16时，令f（x）＝55，解得x＝17，可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间＝17﹣6＝11＜13，因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．13．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（1）若n＝19，求y与x的函数解析式；（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当x≤19时，y＝3800；当x＞19时，y＝3800+500（x﹣19）＝500x﹣5700．所以y与x的函数解析式为…（3分）（2）由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19．…（6分）（3）若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的平均数为（3800×70+4300×20+4800×10）＝4000．…（9分）若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的平均数为（4000×90+4500×10）＝4050．…（11分）比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．…（12分）14．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放k（1≤k≤4，k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y＝k•f（x），其中f（x）＝．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（1）若只投放一次k个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），求k的值；（2）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？【答案】（1）k＝1；（2）只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟．【解答】解：（1）f（x）＝，由2分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），得k•f（2）＝，解得：k＝1；（2）∵k＝4，∴y＝k•f（x）＝，则当0≤x≤4时，由，解得x≥﹣4，∴0≤x≤4；当4＜x≤14时，由28﹣2x≥4，解得x≤12，∴4＜x≤12．综上可得，0≤x≤12，即只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟．15．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝．（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润＝年销售收入﹣年总成本）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当；当x＞10时，W＝xR（x）﹣（10+2.7x）＝98﹣﹣2.7x．∴（2）①当0＜x＜10时，由W'＝8.1﹣＝0，得x＝9，且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，∴当x＝9时，W取最大值，且②当x＞10时，当且仅当，即x＝时，W＝38，故当x＝时，W取最大值38．综合①②知当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．16．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y＝mf（x），其中f（x）＝，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意，当药剂质量为m＝4，所以y＝4f（x）＝，当0＜x≤4时+8≥4，显然符合题意．当x＞4时≥4，解得4＜x≤16，综上0＜x≤16．所以自来水达到有效净化一共可持续16天．（2）由y＝m•f（x）＝，得在区间（0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m；在区间（4，7]上单调递减，即，综上，为使4≤y≤10恒成立，只要且3m≤10即可，即．所以应该投放的药剂质量m的最小值为．17．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）＝，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以上统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得P（x）＝12+10x，…（1分）则f（x）＝Q（x）﹣P（x）＝即为f（x）＝…（4分）（2）当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）＝212﹣160＝52万元…6分当0≤x≤16时，函数f（x）＝﹣0.5x2+12x﹣12＝﹣0.5（x﹣12）2+60，当x＝12时，f（x）有最大值60万元．…9分所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．…10分18．铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．设行李质量为xkg，托运费用为y元．（Ⅰ）写出函数y＝f（x）的解析式；（Ⅱ）若行李质量为56kg，托运费用为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（Ⅰ）（1）若0＜x≤50，则y＝0.25x；（2）若50＜x≤100，则y＝12.5+0.35（x﹣50）＝0.35x﹣5；（3），则y＝30+0.45（x﹣100）＝0.45x﹣15．综上可得，y＝；（Ⅱ）因为50kg＜56kg≤100kg，所以y＝12.5+6×0.35＝14.6（元）．则托运费为14.6元．19．在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图所示；③每月需要各种开支2000元．（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【答案】见试题解答内容【解答】解：设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q（P﹣14）×100﹣3600﹣2000，①由销量图易得Q＝代入①式得L＝（1）当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元，当20＜P≤26时，Lmax＝元，此时P＝元．故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元，（2）设可在n年内脱贫，依题意有12n×450﹣50000﹣58000≥0，解得n≥20，即最早可望在20年后脱贫．20．某人开车以60km/h的速率从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速率返回A地，把汽车与A地的距离xkm表示为时间th（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速vkm/h表示为时间th的函数，并画出函数的图象．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意，汽车与A地的距离xkm表示为时间th（从A地出发时开始）的函数为：x＝图象如上．车速vkm/h表示为时间th的函数为：v＝，图象如右下图．21．目前，广安市出租车的计价标准是：路程2km以内（含2km）起步价8元收取，超过2km的路程按1.9km收取，但超过10km的路程需要加收50%的返空费（即单价为1.9×（1+50%）＝2.85元/km）（说明：现实中要计算等待时间，且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）（1）若0＜x≤20，将乘客搭乘一次出租车的费用用f（x）（单位：元）表示行程x（单位：km）的分段函数（2）某乘客行程为16km，他准备先乘一辆出租车行驶8km，然后再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得，车费f（x）关于路程x的函数为：f（x）＝＝．（2）只乘一辆车的车费为：f（16）＝2.85×16﹣5.3＝40.3（元），）换乘2辆车的车费为：2f（8）＝2×（4.2+1.9×8）＝38.8（元）．∵40.3＞38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．22．经市场调查，某商品在过去的100天内销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量满足f（t）＝，（t∈N），价格满足g（t）＝200﹣t（1≤t≤100，t∈N）．（Ⅰ）求该种商品的日销售额h（t）与时间t的函数关系；（Ⅱ）若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度？【答案】见试题解答内容【解答】解：（I）当1≤t≤60，t∈N时，h（t）＝（60+t）•（200﹣t）＝﹣t2+140t+12000，当61≤t≤100，t∈N时，h（t）＝（150﹣t）（200﹣t）＝t2﹣250t+30000，∴h（t）＝（t∈N）．（II）当1≤t≤60，t∈N时，令h（t）＝﹣t2+140t+12000＞16610，解得70﹣＜t＜70+，∵17＜＜18，∴53≤t≤60，当61≤t≤100，t∈N时，令h（t）＝t2﹣250t+30000＞16610，解得t＜250﹣2，∵61＜250﹣2＜62，∴t＝61．综上，该商品在第53天到第61天的收益到达理想程度．23．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠