专题08 函数的概及函数的表示（7大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）含解析

专题08函数的概及函数的表示（7大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）专题08函数的概及函数的表示（7大题型）高频考点题型归纳【题型1区间的表示】【题型2函数的判断】【题型3函数的定义域】【题型4函数表示方法】【题型5两个函数相等】【题型6函数值】【题型7分段函数】【题型1区间的表示】【知识点】(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示区间表示：；；；；.1．（2022秋•无为县校级期中）集合{x|x≥2}表示成区间是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]2．（2022秋•清流县校级月考）下列四个区间能表示数集A＝{x|0≤x＜5或x＞10}的是（）A．（0，5）∪（10，+∞） B．[0，5）∪（10，+∞） C．（5，0]∪[10，+∞） D．[0，5]∪（10，+∞）3．（2022秋•香洲区校级期中）集合A＝{x|x≤5且x≠1}用区间表示．4．（2022秋•眉山校级月考）用区间表示下列集合：（1）＝．（2）{x|x＜1或2＜x≤3}＝．【题型2函数的判断】【知识点】函数的三要素：（1）对应关系：，．（2）定义域：x的取值范围A（3）值域.：与x的值相对应函数值的集合，5．（2023秋•兴庆区校级月考）如图，可以表示函数f（x）的图象的是（）A． B． C． D．6．（2023•青秀区校级开学）下列图象中，表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．7．（2022秋•十堰期中）下列图形能表示函数y＝f（x）的图象的是（）A． B． C． D．8．（2022秋•潮南区期末）下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A． B． C． D．9．（2022秋•上杭县校级月考）函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点个数（）A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个【题型3函数的定义域】确定函数定义域的原则（1）分母不为零，（2）偶次根号的被开方数、式大于或等于零，（3）零次幂的底数不为零。10．（2023•民勤县校级开学）二次根式有意义，则x应满足的条件是（）A． B． C． D．11．（2023秋•渝中区校级月考）若函数f（x﹣1）的定义域为[﹣3，1]，则y＝（x﹣1）f（x）的定义域为（）A．[﹣3，1] B．[﹣2，2] C．（﹣4，0） D．[﹣4，0]12．（2023秋•兴义市校级月考）函数的定义域为（）A．[0，+∞） B．（0，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞） D．[1，+∞）13．（2022秋•耀州区校级期末）已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣2，3]，则函数的定义域为（）A． B． C．[﹣3，7] D．[﹣3，﹣1）∪（﹣1，7]14．（2023秋•安徽月考）若函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，1]，则函数的定义域为（）A．（﹣1，2] B．[0，2] C．[﹣1，2] D．（1，2]15．（2023•向阳区校级模拟）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣8，1]，则函数g（x）＝的定义域是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3] B．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1] C．[﹣，﹣2）∪（﹣2，0] D．[﹣，﹣2]16．（2023春•高碑店市期末）已知函数f（2x+1）的定义域为[﹣2，2]，函数g（x）＝f（x2﹣3）的定义域为（）A． B． C． D．【题型4函数表示方法】1.函数的三种表示方法：（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系优点：简明，给自变量求函数值.（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.（3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.17．（2022秋•定远县校级月考）已知f（x）＝2x+a，g（x）＝（x2+3），若g[f（x）]＝x2+x+1，则a＝．18．（2022秋•肥城市期末）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）在[﹣1，1]上的最大值．【题型5两个函数相等】满足两个条件：①对应关系相同②定义域相同19．（2023秋•临渭区校级月考）各组函数是相等函数的为（）A．f（x）＝x﹣1， B．，g（x）＝x C．， D．f（x）＝x2﹣2x﹣1，g（s）＝s2﹣2s﹣120．（2023春•江油市校级期末）下列每组中的函数是同一个函数的是（）A．f（x）＝|x|， B．f（t）＝|t|， C．， D．，g（x）＝x+321．（2023春•秀屿区校级期中）下列选项中，表示的不是同一个函数的是（）A．与 B．y＝ex，x∈R与s＝et，t∈R C．y＝x2，x∈{0，1}与y＝x，x∈{0，1} D．y＝1与y＝x022．（2022秋•浦东新区期末）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y＝x2 B． C．y＝﹣2x D．y＝lg（x+1）（x＞0）23．（2022秋•香坊区校级期中）已知函数，则的值为（）A． B． C． D．（多选）24．（2023秋•潮安区校级月考）下列各组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1 B．与 C．f（x）＝x与g（x）＝x（x＞0） D．与（多选）25．（2023春•番禺区校级期中）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A．与g（x）＝x﹣1 B．f（t）＝t2﹣1与g（x）＝x2﹣1 C．与 D．f（x）＝|x2﹣1|与【题型6函数值】1.已知f(x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值2.求f（g(a））得的值应遵循由里往外得原则26．（2023•松江区校级模拟）函数y＝x2﹣6x+3，x∈[﹣1，4]的值域是．27．（2023春•南宁月考）函数f（x）＝+x的值域是．28．（2022秋•永川区校级期末）函数的值域为．29．（2022秋•怀宁县校级期末）函数y＝x﹣2+的值域是．30．（2022•桂林开学）已知，求f（f（﹣1））＝．【题型7分段函数】概念：一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应关系的函数定义域值域：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集31．（2022秋•芗城区校级期中）已知函数．（1）求f（0），f（f（2））；（2）若f（m）＝﹣1，求m的值；（3）在给定的坐标系中，作出函数f（x）的图象．32．（2022秋•博罗县期中）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．（1）补充完整图象并写出函数f（x）（x∈R）的增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（3）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+1（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．33．（2022秋•克东县期中）已知函数（1）求f（f（1））的值；（2）若f（a）＝2，求a的值；（3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数f（x）的定义域和值域． 专题08函数的概及函数的表示（7大题型）高频考点题型归纳【题型1区间的表示】【题型2函数的判断】【题型3函数的定义域】【题型4函数表示方法】【题型5两个函数相等】【题型6函数值】【题型7分段函数】【题型1区间的表示】【知识点】(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示区间表示：；；；；.1．（2022秋•无为县校级期中）集合{x|x≥2}表示成区间是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]【答案】B【解答】解：集合{x|x≥2}表示成区间是[2，+∞），故选：B．2．（2022秋•清流县校级月考）下列四个区间能表示数集A＝{x|0≤x＜5或x＞10}的是（）A．（0，5）∪（10，+∞） B．[0，5）∪（10，+∞） C．（5，0]∪[10，+∞） D．[0，5]∪（10，+∞）【答案】B【解答】解：根据区间的定义可知数集A＝{x|0≤x＜5或x＞10}可以用区间[0，5）∪（10，+∞）表示．故选：B．3．（2022秋•香洲区校级期中）集合A＝{x|x≤5且x≠1}用区间表示（﹣∞，1）∪（1，5]．【答案】见试题解答内容【解答】解：集合A＝{x|x≤5且x≠1}用区间表示为（﹣∞，1）∪（1，5]，故答案为：（﹣∞，1）∪（1，5]．4．（2022秋•眉山校级月考）用区间表示下列集合：（1）＝[﹣，5）．（2）{x|x＜1或2＜x≤3}＝（﹣∞，1）∪（2，3]．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）＝[﹣，5）．（2）{x|x＜1或2＜x≤3}＝（﹣∞，1）∪（2，3]．故答案为：（1）[﹣，5）．（2）（﹣∞，1）∪（2，3]．【题型2函数的判断】【知识点】函数的三要素：（1）对应关系：，．（2）定义域：x的取值范围A（3）值域.：与x的值相对应函数值的集合，5．（2023秋•兴庆区校级月考）如图，可以表示函数f（x）的图象的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根据函数的定义，对于一个x，只能有唯一的y与之对应，只有D满足要求．故选：D．6．（2023•青秀区校级开学）下列图象中，表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一的值与之对应，对于A，对于x的每一个取值，y都只有一个唯一的值与之对应，故A正确；对于B，对于x的每一个取值，y可能有2个值与之对应，故B错误；对于C，对于x的每一个取值，y可能有2个值与之对应，故C错误；对于D，对于x的每一个取值，y可能有2个值与之对应，故D错误．故选：A．7．（2022秋•十堰期中）下列图形能表示函数y＝f（x）的图象的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：根据题意，对于A、C两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于D图，当x＝0时，有两个y值对应；对于B图，每个x都有唯一的y值对应，因此，B图可以表示函数y＝f（x），故选：B．8．（2022秋•潮南区期末）下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：B中，当x＞0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B．9．（2022秋•上杭县校级月考）函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点个数（）A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个【答案】B【解答】解：若1不在函数f（x）的定义域内，y＝f（x）的图象与直线x＝1没有交点，若1在函数f（x）的定义域内，y＝f（x）的图象与直线x＝1有1个交点．故选：B．【题型3函数的定义域】确定函数定义域的原则（1）分母不为零，（2）偶次根号的被开方数、式大于或等于零，（3）零次幂的底数不为零。10．（2023•民勤县校级开学）二次根式有意义，则x应满足的条件是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：令1﹣2x≤0，解得．故选：B．11．（2023秋•渝中区校级月考）若函数f（x﹣1）的定义域为[﹣3，1]，则y＝（x﹣1）f（x）的定义域为（）A．[﹣3，1] B．[﹣2，2] C．（﹣4，0） D．[﹣4，0]【答案】D【解答】解：由题意可知﹣3≤x≤1，所以﹣4≤x﹣1≤0，所以f（x）的定义域为[﹣4，0]，从而y＝（x﹣1）f（x）的定义域为[﹣4，0]．故选：D．12．（2023秋•兴义市校级月考）函数的定义域为（）A．[0，+∞） B．（0，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解答】解：函数有意义，则，解得x＞0，且x≠1，所以函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：C．13．（2022秋•耀州区校级期末）已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣2，3]，则函数的定义域为（）A． B． C．[﹣3，7] D．[﹣3，﹣1）∪（﹣1，7]【答案】B【解答】解：由题意得，，解得，且x≠﹣1．故选：B．14．（2023秋•安徽月考）若函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，1]，则函数的定义域为（）A．（﹣1，2] B．[0，2] C．[﹣1，2] D．（1，2]【答案】D【解答】解：由函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，1]，即﹣1≤x≤1，得﹣3≤2x﹣1≤1，因此由函数有意义，得，解得1＜x≤2，所以函数的定义域为（1.2]．故选：D．15．（2023•向阳区校级模拟）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣8，1]，则函数g（x）＝的定义域是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3] B．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1] C．[﹣，﹣2）∪（﹣2，0] D．[﹣，﹣2]【答案】C【解答】解：由题意得：﹣8≤2x+1≤1，解得：﹣≤x≤0，由x+2≠0，解得：x≠﹣2，故函数的定义域是[﹣，﹣2）∪（﹣2，0]，故选：C．16．（2023春•高碑店市期末）已知函数f（2x+1）的定义域为[﹣2，2]，函数g（x）＝f（x2﹣3）的定义域为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：因为函数f（2x+1）的定义域为[﹣2，2]，所以﹣2≤x≤2，所以﹣3≤2x+1≤5，所以﹣3≤x2﹣3≤5，解得，所以函数g（x）＝f（x2﹣3）的定义域为．故选：A．【题型4函数表示方法】1.函数的三种表示方法：（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系优点：简明，给自变量求函数值.（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.（3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.17．（2022秋•定远县校级月考）已知f（x）＝2x+a，g（x）＝（x2+3），若g[f（x）]＝x2+x+1，则a＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵f（x）＝2x+a，g（x）＝（x2+3），∴g[f（x）]＝[（2x+a）2+3]＝（4x2+4ax+a2+3）＝x2+ax+（a2+3），又∵g[f（x）]＝x2+x+1，∴，解得a＝1．故答案为：1．18．（2022秋•肥城市期末）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）在[﹣1，1]上的最大值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x即：即a＝1，b＝﹣1又由f（0）＝1．得：c＝1∴f（x）＝x2﹣x+1（2）由（1）知，函数f（x）＝x2﹣x+1的图象为开口方向朝上，以x＝为对称轴的抛物线故在区间[﹣1，1]上，当x＝﹣1时，函数取最大值f（﹣1）＝3【题型5两个函数相等】满足两个条件：①对应关系相同②定义域相同19．（2023秋•临渭区校级月考）各组函数是相等函数的为（）A．f（x）＝x﹣1， B．，g（x）＝x C．， D．f（x）＝x2﹣2x﹣1，g（s）＝s2﹣2s﹣1【答案】D【解答】解：对于A，因为f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠﹣1}，所以两函数的定义域不相等，所以这两函数不是相等函数，所以A错误；对于B，f（x），g（x）的定义域都为R，因为，所以两函数不是相等函数，所以B错误；对于C，f（x），g（x）的定义域都为{x|x≤0}，因为，所以这两个函数不是相等函数，所以C错误；对于D，因为f（x），g（s）的定义域都为R，且对应关系相同，所以f（x），g（s）是相等函数，所以D正确．故选：D．20．（2023春•江油市校级期末）下列每组中的函数是同一个函数的是（）A．f（x）＝|x|， B．f（t）＝|t|， C．， D．，g（x）＝x+3【答案】B【解答】解：对于A，函数f（x）的定义域为R，函数g（x）的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数；对于B，因为，且f（t），g（x）的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；对于C，，f（x）和g（x）的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠3}，函数g（x）的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数．故选：B．21．（2023春•秀屿区校级期中）下列选项中，表示的不是同一个函数的是（）A．与 B．y＝ex，x∈R与s＝et，t∈R C．y＝x2，x∈{0，1}与y＝x，x∈{0，1} D．y＝1与y＝x0【答案】D【解答】解：对于A选项，的定义域是，解得﹣3≤x＜3，所以的定义域是[﹣3，3），的定义域是，解得﹣3≤x＜3，所以的定义域是[﹣3，3），并且，所以两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是同一函数；对于B选项，y＝ex，s＝et，两个函数的定义域相同，都是R，对应法则也相同，所以是同一函数；对于C选项，两个函数的定义域相同，当x＝0与x＝1时，x2＝x，故两个函数对应法则也相同，所以是同一函数；对于D选项，y＝1的定义域是R，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数．故选：D．22．（2022秋•浦东新区期末）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y＝x2 B． C．y＝﹣2x D．y＝lg（x+1）（x＞0）【答案】D【解答】解：选项A，y＝x2的值域是[0，+∞），即A不符合题意；选项B，y＝的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），即B不符合题意；选项C，y＝﹣2x的值域是（﹣∞，0），即C不符合题意；选项D，因为x＞0，所以x+1＞1，所以y＝lg（x+1）＞lg1＝0，所以其值域为（0，+∞），即D符合题意．故选：D．23．（2022秋•香坊区校级期中）已知函数，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵已知函数，∴＝＝＝＝+1＝故选：B．（多选）24．（2023秋•潮安区校级月考）下列各组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1 B．与 C．f（x）＝x与g（x）＝x（x＞0） D．与【答案】AD【解答】解：对于A，f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1的定义域都是R，对应关系相同，值域相同，故f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1是同一函数，故A正确；对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，故B错误；对于C，f（x）＝x与g（x）＝x（x＞0），前者的定义域为R，后者定义域为（0，+∞），故二者不是同一函数，故C错误；对于D，与的定义域以及对应关系都相同，故二者是同一函数，D正确．故选：AD．（多选）25．（2023春•番禺区校级期中）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A．与g（x）＝x﹣1 B．f（t）＝t2﹣1与g（x）＝x2﹣1 C．与 D．f（x）＝|x2﹣1|与【答案】BD【解答】解：A选项，f（x）定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），g（x）定义域为R，不是相同函数，故A错误；B选项，两个函数定义域相同，对应关系也相同，是相同函数，故B正确；C选项，f（x）定义域为[1，+∞），g（x）定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），不是相同函数，故C错误；D选项，当x≥1或x≤﹣1时，|x2﹣1|＝x2﹣1；当﹣1＜x＜1时，|x2﹣1|＝1﹣x2，所以f（x）与g（x）是相同函数，故D正确；故选：BD．【题型6函数值】1.已知f(x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值2.求f（g(a））得的值应遵循由里往外得原则26．（2023•松江区校级模拟）函数y＝x2﹣6x+3，x∈[﹣1，4]的值域是[﹣6，10]．【答案】[﹣6，10]．【解答】解：根据题意，设f（x）＝x2﹣6x+3，则f（x）＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，由于x∈[﹣1，4]，则函数的最大值为f（﹣1）＝16﹣6＝10，最小值为f（3）＝﹣6，故函数的值域为[﹣6，10]．故答案为：[﹣6，10]．27．（2023春•南宁月考）函数f（x）＝+x的值域是[，+∞）．【答案】[，+∞）．【解答】解：设y＝f（x）＝+x，令t＝≥0，∴x＝，∴y＝t+＝，t≥0，∴函数y在t∈[0，+∞）上单调递增，∴y≥y|t＝0＝，∴f（x）的值域是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．28．（2022秋•永川区校级期末）函数的值域为[，1]．【答案】见试题解答内容【解答】解：函数＝，令x+1＝t，当t＝0时，可得y＝0，当t≠0时，可得：y＝＝．当t＞0时，可得t+＝1，当且仅当t＝2时取等号．则y≤1．当t＜0时，可得t+≤＝﹣7，当且仅当t＝2时取等号．则y．故得函数的值域为[，1]．故答案为[，1]．29．（2022秋•怀宁县校级期末）函数y＝x﹣2+的值域是（﹣∞，]．【答案】（﹣∞，]．【解答】解：令（t≥0），则x＝，所以y＝＝≤，所以函数y＝x﹣2+的值域是（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．30．（2022•桂林开学）已知，求f（f（﹣1））＝0．【答案】0．【解答】解：∵，∴f（﹣1）＝﹣1+2＝1，∴f（f（﹣1））＝f（1）＝12﹣1＝0，故答案为：0．【题型7分段函数】概念：一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应关系的函数定义域值域：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集31．（2022秋•芗城区校级期中）已知函数．（1）求f（0），f（f（2））；（2）若f（m）＝﹣1，求m的值；（3）在给定的坐标系中，作出函数f（x）的图象．【答案】（