专题06 一元二次函数﹑方程及不等式（11大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）含解析

专题06一元二次函数﹑方程及不等式（11大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）专题06一元二次函数﹑方程及不等式（11大题型）高频考点题型归纳【题型1利用不等式性质判断真假】【题型2比较大小】【题型3求代数式的取值范围】【题型4不等式的证明】【题型5基本不等式求最值】【题型6利用基本不等式求参数】【题型7解一元二次不等式】【题型8根据一元二次不等式解求参数】【题型9一元二次不等式恒成立】【题型10不等式分式的解法】【题型11实际问题】【题型1利用不等式性质判断真假】1．（2023春•朝阳区校级期中）若a，b，c∈R且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣b＞b﹣c B．a+b＞2c C．ac＞bc D．a2＞b2＞c22．（2023•惠州模拟）已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．a2＞c23．（2023春•秦皇岛期末）已知a＞b＞0，c＞0，则（）A． B． C．a2c＞ac2 D．b2c＞bc24．（2023春•雁塔区校级月考）若﹣1≤x≤y≤1，则x﹣y的取值范围为（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．（0，2] D．（﹣2，2）5．（2023春•广西月考）下列命题为真命题的是（）A．若a＜b＜0，则ac2＜bc2 B．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b＞c＞0，则6．（2023•海淀区校级模拟）设a，b∈R，且a＜b＜0，则（）A．＜ B．＞ C．＞ D．+＞2（多选）7．（2023•哈尔滨开学）若a＞0＞b，则下列说法一定成立的是（）A． B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．【题型2比较大小】【解题技巧】1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．8．已知M＝（a+2）（a+3），N＝a2+5a+4，则（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定9．（2023春•香坊区校级月考）已知t＝a+4b，s＝a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t≤s B．t≥s C．t＜s D．t＞s10．（2023春•大通县期末）已知a＝+2，则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定11．（2023春•新城区校级期中）已知，，若x≥0，则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由x的取值确定12．（2023•天津）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c13．（2022秋•玄武区校级月考）已知a1∈（0，1），a2∈（0，1），记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N14．（2022秋•博罗县期中）已知M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N15．（2022秋•椒江区校级月考）已知，则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定16．（2022秋•双城区校级期中）设a，b∈（0，+∞），，，则A，B的大小关系是（）A．A≤B B．A＞B C．A＜B D．A＝B17．（2022秋•红桥区校级期中）设P＝（a﹣1）（a﹣5），Q＝﹣2a（a+3）+5，则有（）A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q【题型3求代数式的取值范围】18.若2＜x＜8，4＜y＜6，则的取值范围是．19.若﹣1＜x＜y＜1，则x﹣y的取值范围是．20.已知2＜x＜4，﹣1＜y＜3，则x+y的取值范围为，x﹣y的取值范围为．21.已知﹣1≤a≤3，1≤b≤2，则2a﹣b的范围是．22．已知1≤a﹣b≤3，3≤a+b≤7，则5a+b的取值范围为（）A．[15，31] B．[14，35] C．[12，30] D．[11，27]23．设a，b∈R，1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，求4a﹣2b的取值范围是．【题型4不等式的证明】 24．（1）若不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；（2）已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：．25．求证：﹣＜2﹣．【题型1基本不等式求最值】【解题方法】（1）拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项1.，然后利用基本不等式求解最值。利用基本，尤其是要注不等式求解最值时，要注意“一、定”（2）常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值。应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达2.式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商。26．若x＞0，y＞0，x+3y＝1，则的最大值为（）A． B． C． D．27.（2022秋•威海期末）已知正实数a，b满足a+2b＝1，则的最小值为（）A．8 B．17 C．20 D．2528.正数x，y满足x+2y＝2，则的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．1029．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则的最小值为（）A． B．1 C．2 D．430．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则的最小值是（）A．2 B．4 C． D．931.（2022•红桥区一模）设a＞0，b＞1，若a+b＝2，则的最小值为（）A．6 B．9 C． D．1832.（2022秋•龙岗区校级月考）函数的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．333.（2023春•朝阳区期末）当x＞﹣1时，函数的最小值为，此时x＝．34.已知x＞2，y＝4x+，则y的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．1435．已知x＞﹣1，则函数y＝x+的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【题型2利用基本不等式求参数】36.（2023春•崇州市校级期中）已知x＞0，y＞0，且，若2x+y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，9） B．[7，+∞） C．[9，+∞） D．（﹣∞，7）37．已知x＞0，y＞0且＝1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围时（）A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[9，+∞） C．（﹣9，﹣1） D．[﹣9，1]38．若两个正实数x，y满足4x+y﹣xy＝0，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，4） B．（﹣4，1） C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）39．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式恒成立，则m的取值范围是（）A． B．{m|m≥1} C．{m|0＜m≤1} D．40.（2022秋•秀峰区校级月考）已知x＞0，y＞0，x+3y＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，4） B．（﹣4，2） C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【题型7解一元二次不等式】41.（2022秋•兴义市校级月考）求下列不等式的解集：（1）（x+2）（x﹣3）＞0；（2）3x2﹣7x≤10；﹣x2+4x﹣4＜0；（4）x2﹣x+＜0；（5）﹣2x2+x≤﹣3；【题型8根据一元二次不等式解求参数】42.（2023春•昌图县校级期中）若不等式ax2+5x+14＞0的解集为{x|﹣2＜x＜7}．（1）求a的值；（2）求不等式2ax2+3x+a2+1＜0的解集．43.（2022秋•番禺区校级期中）若不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|2＜x＜3}．（1）求a+b的值；（2）求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集．44.（2022秋•道里区校级月考）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为（﹣，﹣），则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞） B．[﹣3，﹣2] C．[2，3] D．（﹣∞，2]∪[3，+∞）45.（2022秋•和平区校级月考）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【题型9一元二次不等式恒成立】46.（2022秋•上林县校级期末）对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜047．“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充分不必要条件是（）A．m＞1 B．m＜ C．m＜1 D．m＞48．若关于x的不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．{a|﹣1≤a≤0} B．{a|﹣2＜a≤0}C．{a|﹣2＜a＜1}D．{a|a＜﹣2或a≥0}49.（2022秋•钦北区校级期中）x2+2（m﹣1）x+m2﹣2≥0对x∈R恒成立，则m取值范围为．【题型10不等式分式的解法】50.（2022秋•荔湾区校级期末）不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}51.（2023春•皇姑区校级期末）不等式≤﹣1的解集为．52.（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）解不等式：53．（2022秋•陈仓区期中）关于x的不等式（x+b）（ax+5）＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}．（1）求关于x的不等式x2+bx﹣2a＜0的解集；（2）求关于x的不等式的解集．【题型11实际问题】54.（2022秋•禅城区校级月考）某单位在对一个长80m，宽60m的矩形空地进行绿化，设计方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，求花坛宽度x（m）的取值范围．55．（全国高一课时练习）某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格?56．（湖北高一期中）某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个.（1）据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到元.公司计划投入万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，该削笔器的年销售量至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价？专题06一元二次函数﹑方程及不等式（11大题型）高频考点题型归纳【题型1利用不等式性质判断真假】【题型2比较大小】【题型3求代数式的取值范围】【题型4不等式的证明】【题型5基本不等式求最值】【题型6利用基本不等式求参数】【题型7解一元二次不等式】【题型8根据一元二次不等式解求参数】【题型9一元二次不等式恒成立】【题型10不等式分式的解法】【题型11实际问题】【题型1利用不等式性质判断真假】1．（2023春•朝阳区校级期中）若a，b，c∈R且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣b＞b﹣c B．a+b＞2c C．ac＞bc D．a2＞b2＞c2【答案】B【解答】解：对于A，当a＝1，b＝0，c＝﹣1时，a﹣b＝b﹣c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c，∴a＞c，b＞c，∴由不等式的可加性可得，a+b＞2c，故B正确，对于C，当c＝0时，ac＝bc，故C错误，对于D，当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，满足a＞b＞c，但a2＜b2＜c2，故B错误．故选：B．2．（2023•惠州模拟）已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．a2＞c2【答案】A【解答】解：A选项中，因为a＞b＞0＞c，所以，故A选项正确；B选项中，因为函数在R上单调递减且a＞c，所以，故B选项错误：C选项中，因为a＞0＞c，则，故C选项错误；D选项中，若a＝1，c＝﹣2，满足a＞0＞c，但a2＜c2，故D选项错误．故选：A．3．（2023春•秦皇岛期末）已知a＞b＞0，c＞0，则（）A． B． C．a2c＞ac2 D．b2c＞bc2【答案】B【解答】解：对于A，若a＝2，b＝1，c＝1，则，因为，所以，所以A错误，对于B，因为a＞b＞0，所以a﹣b＞0，因为c＞0，所以，所以B正确．对于C，若a＝2，c＝5，则a2c＝20＜ac2＝50，所以C错误，对于D，若b＝1，c＝2，则b2c＝2＜bc2＝4，所以D错误．故选：B．4．（2023春•雁塔区校级月考）若﹣1≤x≤y≤1，则x﹣y的取值范围为（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．（0，2] D．（﹣2，2）【答案】B【解答】解：根据题意，若﹣1≤x≤y≤1，即，则有﹣2≤x﹣y≤0，即x﹣y的取值范围为[﹣2，0]．故选：B．5．（2023春•广西月考）下列命题为真命题的是（）A．若a＜b＜0，则ac2＜bc2 B．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b＞c＞0，则【答案】D【解答】解：对于A：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，A错误；对于B：当a＜b＜0，则a2＞ab＞b2，B错误；对于C：取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3满足a＞b，c＞d，而ac＝﹣4，bd＝﹣3，此时ac＜bd，C错误；对于D：当a＞b＞0时，则ab＞0，所以，即，又c＞0，所以，D正确．故选：D．6．（2023•海淀区校级模拟）设a，b∈R，且a＜b＜0，则（）A．＜ B．＞ C．＞ D．+＞2【答案】D【解答】解：由a＜b＜0，可得＞，故A错误；﹣＝＝，由a＜b＜0，可得b﹣a＞0，b+a＜0，ab＞0，∴﹣＜0，即＜，故B错误；由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b＞0，∴﹣a﹣b＞2，即＜﹣，故C错误；由a＜b＜0，可得＞0，＞0，∴+＞2＝2，故D正确．故选：D．（多选）7．（2023•哈尔滨开学）若a＞0＞b，则下列说法一定成立的是（）A． B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．【答案】AC【解答】解：若a＞0＞b，则，A正确；当a＝2，b＝﹣2时，B显然错误；因为y＝x3在R上单调递增由a＞b可得a3＞b3，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：AC【题型2比较大小】【解题技巧】1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．8．已知M＝（a+2）（a+3），N＝a2+5a+4，则（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定【答案】A【解答】解：∵M﹣N＝（a+2）（a+3）﹣（a2+5a+4）＝a2+5a+6﹣（a2+5a+4）＝2＞0，∴M＞N，故选：A．9．（2023春•香坊区校级月考）已知t＝a+4b，s＝a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t≤s B．t≥s C．t＜s D．t＞s【答案】A【解答】解：因为t＝a+4b，s＝a+b2+4，所以s﹣t＝b2+4﹣4b＝（b﹣2）2≥0，所以s≥t．故选：A．10．（2023春•大通县期末）已知a＝+2，则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定【答案】A【解答】解：因为60＞48，即，所以，所以，所以a＞b．故选：A．11．（2023春•新城区校级期中）已知，，若x≥0，则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由x的取值确定【答案】C【解答】解：取x＝0，则，此时P＜Q．要证P＜Q，只需证，只需证，只需证，只需证，只需证x2+7x+6＜x2+7x+12，即证6＜12，显然6＜12成立，所以P＜Q成立．故选：C．12．（2023•天津）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【答案】D【解答】解：y＝1.01x，在R上单调递增，0.6＞0.5，故1.010.6＞1.010.5，所以b＞a，y＝x0.5，在[0，+∞）上单调递增，1.01＞0.6，故1.010.5＞0.60.5，即a＞c，所以b＞a＞c．故选：D．13．（2022秋•玄武区校级月考）已知a1∈（0，1），a2∈（0，1），记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N【答案】B【解答】解：M﹣N＝a1a2﹣a1﹣a2+1＝a1（a2﹣1）﹣（a2﹣1）＝（a1﹣1）（a2﹣1），又a1∈（0，1），a2∈（0，1），则a1﹣1＜0，a2﹣1＜0，则M﹣N＝（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，即M＞N．故选：B．14．（2022秋•博罗县期中）已知M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N【答案】A【解答】解：M﹣N＝2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）＝a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2＞0，所以M＞N．故选：A．15．（2022秋•椒江区校级月考）已知，则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定【答案】C【解答】解：∵ab＝1，∴，∴，，∴M＝N．故选：C．16．（2022秋•双城区校级期中）设a，b∈（0，+∞），，，则A，B的大小关系是（）A．A≤B B．A＞B C．A＜B D．A＝B【答案】B【解答】解：∵a，b∈（0，+∞），∴＞0，＞0，∵A2﹣B2＝a+b+2﹣（a+b）＝2＞0，∴A2＞B2，故A＞B，故选：B．17．（2022秋•红桥区校级期中）设P＝（a﹣1）（a﹣5），Q＝﹣2a（a+3）+5，则有（）A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q【答案】B【解答】解：P﹣Q＝（a﹣1）（a﹣5）+2a（a+3）﹣5＝a2﹣6a+5+2a2+6a﹣5＝3a2≥0，∴P≥Q．故选：B．【题型3求代数式的取值范围】18.若2＜x＜8，4＜y＜6，则的取值范围是．【答案】．【解答】解：4＜y＜6，故，则，又2＜x＜8，故．故答案为：．19.若﹣1＜x＜y＜1，则x﹣y的取值范围是（﹣2，0）．【答案】（﹣2，0）．【解答】解：因为﹣1＜x＜y＜1，所以，则，得﹣2＜x﹣y＜0，因此x﹣y的取值范围是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．20.已知2＜x＜4，﹣1＜y＜3，则x+y的取值范围为（1，7），x﹣y的取值范围为（﹣1，5）．【答案】（1，7）；（﹣1，5）．【解答】解：因为2＜x＜4，﹣1＜y＜3，所以1＜x+y＜7，所以x+y的取值范围为（1，7），因为2＜x＜4，﹣1＜y＜3，所以﹣3＜﹣y＜1，所以﹣1＜x﹣y＜5，所以x﹣y的取值范围为（﹣1，5）．故答案为：（1，7）；（﹣1，5）．21.已知﹣1≤a≤3，1≤b≤2，则2a﹣b的范围是[﹣4，5]．【答案】[﹣4，5]．【解答】解：由a∈[﹣1，3]可得2a∈[﹣2，6]，由b∈[1，2]可得﹣b∈[﹣2，﹣1]，∴2a﹣b∈[﹣4，5]故答案为：[﹣4，5]．22．已知1≤a﹣b≤3，3≤a+b≤7，则5a+b的取值范围为（）A．[15，31] B．[14，35] C．[12，30] D．[11，27]【答案】D【解答】解：1≤a﹣b≤3，3≤a+b≤7，所以2≤2（a﹣b）≤6，9≤3（a+b）≤21，则5a+b＝2（a﹣b）+3（a+b）∈[11，27]．故选：D．23．设a，b∈R，1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，求4a﹣2b的取值范围是[5，10]．【答案】[5，10]．【解答】解：令4a﹣2b＝m（a﹣b）+n（a+b）＝（m+n）a+（n﹣m）b，则，解得，∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴5≤3（a﹣b）+（a+b）≤10，即5≤4a﹣2b≤10，所以4a﹣2b的取值范围是[5，10]．故答案为：[5，10]．【题型4不等式的证明】 24．（1）若不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；（2）已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：将x＝1代入ax2﹣3x+2＝0，则a＝1，∴不等式为x2﹣3x+2＞0即（x﹣1）（x﹣2）＞0∴不等式解集为{x|x＞2或x＜1}，∴b＝2；（2）证明：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，又∵a＞b＞0，∴a﹣c＞b﹣d＞0，∴＜，＞0，又∵e＜0，∴＞．25．求证：﹣＜2﹣．【答案】见试题解答内容【解答】证明：要证明：﹣＜2﹣．只需证明+＜2+，只需证明（+）2＜（2+）2，只需证明3+2+7＜4+4+6，只需证明＜2，只需证明21＜24，这是显然成立的，得证，﹣＜2﹣．【题型1基本不等式求最值】【解题方法】（1）拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项1.，然后利用基本不等式求解最值。利用基本，尤其是要注不等式求解最值时，要注意“一、定”（2）常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值。应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达2.式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商。26．若x＞0，y＞0，x+3y＝1，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：因为x＞0，y＞0，x+3y＝1，则＝+＝（+）（x+3y）＝9+1++≥10+2＝16，当且仅当x＝y＝时等号成立，则＝≤，当且仅当x＝y＝时等号成立，即的最大值为，故选：C．27.（2022秋•威海期末）已知正实数a，b满足a+2b＝1，则的最小值为（）A．8 B．17 C．20 D．25【答案】见试题解答内容【解答】解：因为正实数a，b满足a+2b＝1，则＝（）（a+2b）＝+17＝25，当且仅当，即a＝，b＝时，取等号，故选：D．28.正数x，y满足x+2y＝2，则的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【解答】解：由x+2y＝2，得＝1，所以＝•＝＝（++10）≥（2+10）＝9，当且仅当＝，即x＝、y＝时等号成立，所以的最小值为9．故选：C．29．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则的最小值为（）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解答】解：因为a+b＝4，所以＝，当且仅当a＝2，b＝2时，等号成立，故的最小值为1．故选：B．30．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则的最小值是（）A．2 B．4 C． D．9【答案】C【解答】解：因为a+b＝2，所以（a+1）+（b+1）＝4，则＝，当且仅当，时，等号成立．故选：C．31.（2022•红桥区一模）设a＞0，b＞1，若a+b＝2，则的最小值为（）A．6 B．9 C． D．18【答案】B【解答】解：因为a＞0，b＞1，a+b＝2，所以a+（b﹣1）＝1，所以＝（+）[a+（b﹣1）]＝4+1++≥5+2＝5+4＝9，当且仅当a＝2（b﹣1），即a＝，b＝时取“＝”，所以的最小值为9．故选：B．32.（2022秋•龙岗区校级月考）函数的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵x＞0，∴x+1＞1，，当且仅当，即x＝1时等号成立，故选：D．33.（2023春•朝阳区期末）当x＞﹣1时，函数的最小值为1，此时x＝1．【答案】1；1．【解答】解：当x＞﹣1时，函数＝（x+1）﹣3＝1，当且仅当x+1＝即x＝1时等号成立，有最小值1．故答案为：1；1．34.已知x＞2，y＝4x+，则y的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解答】解：∵x＞2，则y＝4x+＝4（x﹣2）++8≥2+8＝12，当且仅当4x﹣8＝即x＝时取等号，故选：C．35．已知x＞﹣1，则函数y＝x+的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解答】解：y＝x+＝x+1+﹣1≥2﹣1＝2﹣1＝1（当且仅当x+1＝，即x＝0时，等号成立）．故选：C【题型2利用基本不等式求参数】36.（2023春•崇州市校级期中）已知x＞0，y＞0，且，若2x+y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，9） B．[7，+∞） C．[9，+∞） D．（﹣∞，7）【答案】A【解答】解：因为x＞0，y＞0，且，则，当且仅当x＝y＝3时，等号成立，即2x+y的最小值为9，因为2x+y＞m恒成立，则m＜9．故选：A．37．已知x＞0，y＞0且＝1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围时（）A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[9，+∞） C．（﹣9，﹣1） D．[﹣9，1]【答案】A【解答】解：因为x＞0、y＞0，且＝1，2x+y＝（2x+y）（）＝5++≥5+2＝9，当且仅当＝且＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x+y取得最小值9，若2x+y＜m2﹣8m有解，则9＜m2﹣8m，解得m＞9或m＜﹣1，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．故选：A．38．若两个正实数x，y满足4x+y﹣xy＝0，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，4） B．（﹣4，1） C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）【答案】C【解答】解：∵两个正实数x，y满足4x+y﹣xy＝0，∴，∴＝＝，当且仅当，即x＝2，y＝8时，等号成立，∵存在这样的x，y使不等式有解，∴m2+3m＞4，解得m＞1或m＜﹣4，故实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．故选：C．39．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式恒成立，则m的取值范围是（）A． B．{m|m≥1} C．{m|0＜m≤1} D．【答案】B【解答】解：因为m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，＝（）＝（4+m+）＝4+，当且仅当时取等号，若不等式恒成立，则4+，所以m≥1．故选：B．40.（2022秋•秀峰区校级月考）已知x＞0，y＞0，x+3y＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，4） B．（﹣4，2） C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【答案】B【解答】解：因为x＞0，y＞0，x+3y＝1，所以+＝（+）（x+3y）＝6++≥2+6＝12，当且仅当＝，即x＝3y＝时取等号，所以+的最小值为12，因为恒成立，则m2+2m+4＜12，即m2+2m﹣8＜0，解得﹣4＜m＜2，所以实数m的取值范围是{m|﹣4＜m＜2}．故选：B【题型7解一元二次不等式】41.（2022秋•兴义市校级月考）求下列不等式的解集：（1）（x+2）（x﹣3）＞0；（2）3x2﹣7x≤10；（3）﹣x2+4x﹣4＜0；（4）x2﹣x+＜0；（5）﹣2x2+x≤﹣3；【答案】（1）{x|x＜﹣2或x＞3}．（2）{x|﹣1}．（3）{x|x≠2}．（4）∅．（5）{x|x≤﹣1或x}．【解答】解：（1）解不等式（x+2）（x﹣3）＞0，得x＜﹣2或x＞3，即不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}．（2）不等式3x2﹣7x≤10可化为，3x2﹣7x﹣10≤0，即（x+1）（3x﹣10）≤0，解得﹣1，所以不等式的解集为{x|﹣1}．（3）不等式﹣x2+4x﹣4＜0，可化为x2﹣4x+4＞0，即（x﹣2）2＞0，解得x≠2，所以不等式的解集为{x|x≠2}．（4）不等式x2﹣x+＜0，可化为（x﹣）2＜0，此不等式无解，所以不等式的解集为∅．（5）不等式﹣2x2+x≤﹣3，可化为2x2﹣x﹣3≥0，即（x+1）（2x﹣3）≥0，解得x≤﹣1或x，所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x}【题型8根据一元二次不等式解求参数】42.（2023春•昌图县校级期中）若不等式ax2+5x+14＞0的解集为{x|﹣2＜x＜7}．（1）求a的值；（2）求不等式2ax2+3x+a2+1＜0的解集．【答案】（1）a＝﹣1；（2）不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）．【解答】解：（1）依题意可得：ax2+5x+14＝0的两个实数根为7和﹣2，由韦达定理得：7+（﹣2）＝﹣，解得：a＝﹣1；（2）由（1）不等式2ax2+3x+a2+1＜0，即﹣2x2+3x+2＜0，得（2x+1）（x﹣2）＞0解得：x＜﹣或x＞2，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）．43.（2022秋•番禺区校级期中）若不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|2＜x＜3}．（1）求a+b的值；（2）求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集．【答案】（1）a+b＝11；（2）．【解答】解：（1）由题意不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，∴故x＝2，x＝3是方程x2﹣ax+b＝0的两个根，由方程的根与系数关系可得，解得a＝5，b＝6，所以a+b＝11．（2）由（1）得不等式为6x2﹣5x+1＞0∴（3x﹣1）（2x﹣1）＞0∴不等式的解集为：44.（2022秋•道里区校级月考）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为（﹣，﹣），则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞） B．[﹣3，﹣2] C．[2，3] D．（﹣∞，2]∪[3，+∞）【答案】A【解答】解：根据题意，不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为（﹣，﹣），则方程ax2+bx﹣1＝0的两个根为﹣和﹣，则有，解可得，则不等式x2﹣bx﹣a≥0即x2+5x+6≥0，解可得x≤﹣3或x≥﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞）；故选：A．45.（2022秋•和平区校级月考）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；由根与系数的关系，得，解得a＝1，b＝2；（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0；①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．【题型9一元二次不等式恒成立】46.（2022秋•上林县校级期末）对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜0【答案】C【解答】解：1°a＜0时，Δ＝4a2+4a（a+2）＝8a2+8a＜0，∴8a（a+1）＜0，∴﹣1＜a＜02°a＝0时，﹣2＜0成立综上，实数a的取值范围是﹣1＜a≤0故选：C．47．“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充分不必要条件是（）A．m＞1 B．m＜ C．m＜1 D．m＞【答案】A【解答】解：由不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立，可得Δ＝1﹣4m＜0，即m＞．选项A，（1，+∞）⫋（，+∞），符合题意；选项B，（﹣∞，）∩（，+∞）＝∅，不符题意；选项C，集合（﹣∞，1）与集合（，+∞）没有包含关系，不符题意；选项D，（，+∞）＝（，+∞），不符题意．故选：A．48．若关于x的不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．{a|﹣1≤a≤0} B．{a|﹣2＜a≤0}C．{a|﹣2＜a＜1}D．{a|a＜﹣2或a≥0}【答案】B【解答】解：不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立，①当a＝0时，﹣2＜0恒成立，符合题意，②当a≠0时，则，解得﹣2＜a＜0，综上所述，实数a的取值范围为（﹣2，0]．故选：B．49.（2022秋•钦北区校级期中）x2+2（m﹣1）x+m2﹣2≥0对x∈R恒成立，则m取值范围为[，+∞）．【答案】[，+∞）．【解答】解：因为x2+2（m﹣1）x+m2﹣2≥0对x∈R恒成立，所以Δ＝4（m﹣1）2﹣4（m2﹣2）≤0，整理得2m﹣3≥0，解得m≥，所以m的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）【题型10不等式分式的解法】50.（2022秋•荔湾区