构造速度法解带电粒子复杂运动

构造速度法解带电粒子复杂运动严忠俊王建民（浙江省吴兴高级中学,湖州313000）有一类竞赛题，带电粒子在匀强磁场、匀强电场和重力场中运动，所受的洛伦兹力大小和方向随时间而变化，运动过程复杂，常见的方法难于求解此类问题.因该类问题中带电粒子所受的重力或电场力是恒力，故可以采用构造速度的方法来巧妙地解答该类问题.构造速度法就是根据带电粒子所受重力或电场力为恒力的特点，在某一方向或某几个方向构造一对或几对大小相等、方向相反的速度，让带电粒子以其中一个速度或几个速度运动时所受的洛伦兹力与所受的重力或电场力相平衡，（再将剩余的速度合成为一个合速度，对应此合速度运动时所受的洛伦兹力,提供粒子作匀速圆周运动所需的向心力.）这样就可以将带电粒子的复杂运动看成是一个或几个匀速直线运动以及以其余分速度的合速度作匀速圆周运动的合运动.构造速度法解题思路清晰，解题步骤简便，且便于学生理解和掌握，下面举例说明.例1.如图1所示，一绝缘台面上方空间足够大的区域内，有互相正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度为10N/C，磁感应强度为5T，今有一可视为质点的小球A，质量为1g，带电量为+4×10-4C，由静止开始在台面上运动，取g=10m/s2.求：（1）A球刚离开台面时的速度大小.（2）A球在运动中其速度能达到的最大值.分析与解：（1）问较简单，开始时，小球沿电场力方向做匀加速直线运动，随着小球速度的增加，洛伦兹力也增大，当洛伦兹力增大至与重力大小相等时，水平面对小球的支持力为零，小球将离开地面。如图2所示，有洛伦兹力f1=mg,即Bqv1=mg，代入数据可解得A球刚离开台面时的速度大小为v1=5m/s.对于（2）问，因小球的速度继续增大，洛伦兹力增大，球将脱离地面做复杂的曲线运动，因洛伦兹力是大小也变化的变力，用常规方法很难解答所求问题.而小球以v1运动所受的洛伦兹力f1已与重力mg平衡，如图3所示.故我们只需在竖直方向上构造一对大小相等、方向相反的速度v2和v3，且让小球以v2运动时所受的洛伦兹力f2刚好与电场力Eq平衡，如图4所示，即f2=Bqv2=Eq,解得v2=2m/s，而小球以剩下的v3=2m/s运动时只受到的洛伦兹力f3作用，如图5所示.这样小球的复杂运动就可看成是三个分运动的合运动,三个分运动分别是v1=5m/s与v2=2m/s的匀速直线运动和以速率为v3=2m/s的匀速圆周运动,如图6所示.(虚线表示各分运动的运动轨迹)从而可知，当小球做匀速圆周运动的分速度v3与v1、v2的合速度方向相同时，小球的速度达到最大值.因v1与v2的合速度为m/s（方向斜向右上方，与水平方向的夹角为arctg0.4），故A球在运动中其速度能达到的最大值为vmax=2+m/s.例2．如图7所示，一带正电的小球，电量为q，质量为m，以初速度v0从P点沿水平z轴负方向开始运动，已知在xoy平面上有一无限大的荧光屏，整个空间充满磁感应强度为B、沿z轴负方向的匀强磁场，且PO=2πmv0/(3qB).求：小球打到屏上的位置.（用坐标表示，已知重力加速度为g）分析与解：在x轴方向上构造一对大小相等、方向相反的速度v1和v2，使小球以v1运动时所受的洛伦兹力f1与重力平衡.如图8所示，由f1=Bqv1=mg得v1=mg/Bq.又由左手定则判定可知v1的方向沿x轴的负方向,则v2的大小为mg/Bq，方向沿x轴的正方向.由以上分析可知，小球的运动可看成是三个分运动的合运动，即分运动一为以v0沿z轴负方向的匀速直线运动，分运动二为以v1沿x轴负方向的匀速直线运动，如图8所示.分运动三为以初速度v2按顺时针方向旋转（沿z轴正方向看）的匀速圆周运动.由分运动一可知小球到达荧光屏的时间为t=PO/v0=2πmv0/3qBv0=2πm/3qB.由分运动二可求出小球沿x轴负方向的分位移x1，即x1=-v1t=-（mg/Bq）（2πm/3qB）=-2πm2g/3q2B2.对于分运动三，其周期为T=2πm/Bq，旋转半径为r=mv2/Bq=mv1/Bq=m2g/B2q2，因t=T/3，故其转过的角度为1200，所以小球到达屏的位置应在xoy平面第四象限中，如图9所示.其在x轴上的分位移x2=rsin600=m2g/2B2q2，在y轴上的分位移y=-（r+rsin300）=-3m2g/2B2q2.综合以上分析可知,小球打到屏上的位置坐标分别为x=x1+x2=-(),y=-3m2g/2B2q2.例3．如图10所示，空间的匀强电场沿y轴负方向，电场强度为E，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度为B，有带正电粒子（已知m、q）从0点出发沿x轴正方向以初速v0=3E/B射入场区，（不计重力）求：（1）此带电粒子能到达的地方离x轴的最远距离.（2）粒子运动轨迹跟x轴相切的点的坐标.分析与解答：在x轴方向上构造一对大小相等、方向相反的速度v1和v1′,使带正电粒子以V1运动时所受的洛伦兹力f1与电场力Eq平衡,如图11所示.由f1=Bqv1=Eq得v1=E/B.又由左手定则判定可知v1的方向沿x轴的正方向.则v1′的大小E/B，方向沿x轴的负方向，与v0合成得v2=v0-v1′=3E/B-E/B=2E/B.初始方向沿x轴正方向，粒子以v2运动时只受洛伦兹力f2作用,如图12所示.由以上分析可知粒子的运动可分解为两个简单的分运动.即分运动一是以大小为v1方向沿x轴正方向的匀速直线运动,分运动二是以大小为v2初速方向沿x轴正方向，逆时针旋转的匀速圆周运动，其轨道半径为r=mv2/Bq=2mE/B2q，周期为T=2πm/Bq.粒子的运动由两分运动合成，运动轨迹如图13中实线所示.所以经半个周期，当v2的方向为x轴负方向时，得粒子离x轴最远距离为ymax=2r=4mE/B2q.经一个周期，即v2的方向为x轴正方向时，得粒子第一次与x轴相切的坐标位置为x1=v1T=2πEm/B2q.由于运动的周期性，得第n次与x轴相切的点的坐标为xn=v1nT=2πnEm/B2q,其中n为正整数.(收稿日期：2004-