曲率函数图形的描绘

§3.7曲率弧微分曲率及其计算公式曲率圆与曲率半径小结思考题作业(curvature)(arcelement)

前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它等于单位路程上方向（角度——切线的倾斜角）的改变量。2一、弧微分

规定3为了得出曲线y=

f(x)的曲率公式,先计算弧长函数s(x)对x的微分,称为弧微分.4单调增函数.如图，于是弧s的增量为那末5取极限,即又得弧微分公式为单调增函数,6如将代入公式,得弧微分公式可化为参数方程形式如曲线以极坐标方程给出如曲线为参数方程写到根式内,得二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。))弧段弯曲程度越大,转角越大转角相同，弧段越短，弯曲程度越大1.曲率的定义))yxo（设曲线C是光滑的，（定义曲线C在点M处的曲率8例1(1)直线的曲率(2)圆上各点处的曲率

直线的曲率处处为零;

圆上各点处的曲率等于半径的倒数.

圆的半径越小曲率越大.92.曲率的计算公式10(1)(2)例2解显然,11例3

的曲率最小？t为何值时,曲线

求出最小曲率,

写出该点的曲率半径.解

要使K(t)最小,

等价于

最大,

故当

即曲率最小,

且,|2sin|41ta,1|2sin|=t|2sin|t

摆线三、曲率圆与曲率半径定义131.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).曲率圆y=y(x)与曲线y=f(x)的关系:①过同一点②有公切线③圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同14

例4

设工件表面的截线为抛物线y

0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适？

解

砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径

抛物线顶点处的曲率半径为

r=K-1

1.25

因此,选用砂轮的半径不得超过1.25单位长

即直径不得超过2.50单位长

y

0.8x

y

0.8

y

|x

0

0

y

|x

0

0.8

把它们代入曲率公式

得15四、小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述——曲率;曲线弧的近似代替曲率圆(弧).16作业习题3-7(175页)3.5.图形描绘的步骤作图举例渐近线(asymptoticline)§3.6函数图形的描绘18

现在我们还不能很好地作出函数的图形,因为还不知道如何求曲线的渐近线.中学就会求了.若动点P沿着曲线y=f(x)的某一方向无限远离坐标原点时,动点P到一直线L的距离趋于零,则称此直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线.

一、曲线的渐近线定义曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线1.铅直渐近线铅直渐近线.或(垂直于x轴的渐近线)222.水平渐近线水平渐近线.或(b为常数)(平行于x轴的渐近线)=)(limxf两种渐近线的定义*3

斜渐近线斜渐近线若(P75题13)函数图形的描绘

曲线可以穿过其渐近线.解例1解例2例.

求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.利用函数特性描绘函数图形.确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性.判定和拐点,讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性渐近线.

适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴是否有交点.特别注意123函数图形的描绘二、图形描绘的步骤2829例解非奇非偶函数,三、作图举例不存在拐点极小值间断点无斜渐近线.列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:30作图拐点极小值补充点不存在拐点极小值间断点水平渐近线:垂直渐近线:函数图形的描绘解极大拐点例曲线无水平渐近线.练习

解

(1)函数的定义域为(

3)

(

3

)

令f

(x)

0得x

3

令f

(x)

0得x

6

(3)曲线性态分析表:(-,-3)(-3,3)3(3,6)6(6,+)x

f(x)

f(x)

y

f(x)的图形－－－－－－－－＋＋00↘∩↗∩↘∩↘∪11/3拐点4极大

(4)曲线有铅直渐近线x=-3与水平渐近线y=1

(5)特殊点的函数值

f(0)=1

f(-1)=-8

f(-9)=-8

f(-15)=-11/4

函数图形的描绘63912-3-6-9-12-153-3(-,-3)(-3,3)3(3,6)6(6,+)x

y

f(x)的图形↘∩↗∩↘∩↘∪11/3拐点4极大

铅直渐近线为x=-3,水平渐近线为y=1

f(0)=1

f(-1)=-8

f(-9)=-8

f(-15)=-11/4

y=1x=-3(3,4)(-1,-8)(-9,-8)

练习

解

函数性态分析表:37四、小结

利用一阶、二阶导数的符号确定函数的升降、最大值最小值凹的凸的单增单减极大值拐点极小值非极值不可导极大值地描绘图形的基础.凹凸以及极值点和拐点是掌握函数的性态、较准确思考与练习

1.

曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.拐点为

,凸区间是

,2.

曲线的凹区间是

,渐近线

.39解答提示

1.

曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)