专题02 二次函数y=ax²与y=a(x-h)²+k的图象与性质(解析版)（重点突围）

专题02二次函数y=ax²与y=a(x-h)²+k的图象与性质考点一二次函数y=ax²的图象与性质考点二二次函数y=ax²+k的图象与性质考点三二次函数y=a（x-h）²的图象与性质考点四二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质考点一二次函数y=ax²的图象与性质例题：（2022·全国·九年级）已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）直接写出顶点坐标和对称轴．【答案】（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．【解析】【分析】（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案；（2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴．【详解】解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得，解得k=-3；（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键．【变式训练】1．（2022·全国·九年级）已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．（1）则k的值为；对称轴为．（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为．（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为．【答案】（1）-3，y轴；（2）（﹣1，m），（3）﹣16＜y≤0【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质（未知数的最高次数为2）且当x＜0时，y随x的增大而增大列出相应的方程组，求解可得k值，代入二次函数确定解析式，即可确定其对称轴；（2）根据坐标系中轴对称的性质：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得；（3）当时，，当x＝4时，，结合函数图象可得：当x＝0时，y取得最大值即可得出解集．【详解】解：（1）由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得，解得：，∴二次函数的解析式为，∴对称轴为y轴，故答案为：-3，y轴；（2）∵点A（1，m），∴点A关于y轴对称点的坐标为（﹣1，m），故答案为：（﹣1，m），故答案为：（﹣1，m）；（3）如图所示：当时，，当x＝4时，，根据函数图象可得当x＝0时，y取得最大值，当x＝0时，，∴当时，；故答案为：．【点睛】题目主要考查二次函数得定义和性质、轴对称的性质，理解题意，熟练掌握定义和性质是解题关键2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．(1)求，的值；(2)若于点，．试说明点在抛物线上．【答案】(1)，(2)见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可．（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论．(1)把点A（-4，8）代入，得：∴；把点A（-4，8）代入，得：∴；(2)如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．∵直线AB的解析式为y=-x+6，令x=0，则y=6∴C（0，6），∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°，∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°，∴∠ACM=∠CDN，∵CA=CD，∴△AMC≌△CND（SAS），∴CN=AM=4，DN=CM=2，∴D（-2，2），当x=-2时，y=×22=2，∴点D在抛物线y=x2上．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．考点二二次函数y=ax²+k的图象与性质例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知：二次函数y＝x2﹣1．(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)画出它的图象．【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．(2)图像见解析．【解析】【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．(1)解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；(2)解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，再求出关于对称轴对称的两个点，将上述点列表如下：x-2-1012y＝x2﹣130-103描点可画出其图象如图所示：【点睛】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．【变式训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线过点和点．（1）求这个函数的关系式；（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．【答案】（1）；（2）当时，函数随的增大而增大【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线过点和点，，解得∴这个函数得关系式为：．（2）∵二次函数开口向下，对称轴为x=0，∴当时，函数随的增大而增大．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．2．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数是关于x的二次函数．（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？【答案】（1）m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小【解析】【分析】（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；（2）利用二次函数的性质得出m的值；（3）利用二次函数的性质得出m的值.【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数，∴m2+m﹣4=2，解得：m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，此时y=4x2+1，则最低点为：（0，1），由于抛物线的对称轴为y轴，故当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，由于抛物线的对称轴为y轴，故当x＞0时，y随x的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键．考点三二次函数y=a（x-h）²的图象与性质例题：（2021·全国·九年级专题练习）抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．【答案】的面积为12，周长为【解析】【分析】令，求出的值，令，求出的值，即可得出A、B两点的坐标，从而得出、的长度，由勾股定理得出的长度，由三角形面积公式以及周长公式即可求出答案．【详解】∵抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，令，，解得：，令，，，，，，由勾股定理得：，．的面积为12，周长为．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特点，熟知二次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2021·江苏·九年级专题练习）对于二次函数．它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由于二次函数y=-3（x+2）2与y=-3x2的二次项系数相同，所以将y=-3x2的图象向左平移2个单位可以得到y=-3（x+2）2的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，二次项系数小于0，开口向下，再根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴；（2）由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性．【详解】将的图象向左平移个单位可以得到的图象，∵，∴抛物线开口向下，它是轴对称图形，对称轴为，顶点坐标是；∵，抛物线开口向下，∴当时，的值随的增大而增大；当时，的值随的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．2．（2022·全国·九年级）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：．观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．．【答案】见解析；三条抛物线都开口向上，对称轴依次是y轴、直线x＝－2，直线x＝2，顶点坐标依次是（0，0），（－2，0），（2，0）．【解析】【分析】用描点法画函数图像，先列表，描点，平滑曲线连线可依次得到，，，根据平移的性质可得出三函数关系，结合函数图像可得出三函数的开口方向，对称轴，顶点坐标．【详解】解：列表x-3-2-10123202028820描点（-3，），（-2，2），（-1，），（0，0），（1，），（2，2），（3，），用平滑曲线连线可得的图形如图；描点（-3，），（-2，0），（-1，），（0，2），（1，），（2，8），（3，），用平滑曲线连线可得的图形如图；描点（-3，），（-2，8），（-1，），（0，2），（1，），（2，0），（3，），用平滑曲线连线可得的图形如图；将抛物线向左平移2个单位得，向右平移2个单位得函数开口方向对称轴顶点向上y轴（0，0）向上x=-2（-2，0）向上x=2（2，0）【点睛】本题考查在平面直角坐标系中画二次函数图像，掌握描点法，列表，描点，连线，二次函数的性质开口方向，对称轴，顶点坐标是解题关键．考点四二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质例题：（2021·全国·九年级课时练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）；（2）开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－2）；（3）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）；（4）开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）．【解析】【分析】根据的符号直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标．【详解】（1），开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）；（2），开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－2）；（3），开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）；（4），开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．【答案】（1）开口向下，顶点坐标是（2，3）；（2）x＞2；（3）﹣1＜y≤3【解析】【分析】（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标；（2）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；（3）因为顶点坐标（2，3）在1＜x＜4的范围内，开口向下，所以y最的大值为3；当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，即可确定函数值y的范围．【详解】解：（1）∵a＝﹣1＜0，∴图象开口向向下；∵y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点坐标是（2，3）；（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小∴x的取值范围为x＞2；（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，∴此时y的最大值为3，∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．【点睛】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了二次函数的增减性．2．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数（是实数）．(1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？(2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．【答案】(1)对的，理由见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据顶点坐标即可得到当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动；（2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a的值，得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c==，最后根据二次函数的性质即可证得结论．(1)解：设顶点坐标为（x，y）∵已知二次函数（是实数），∴x=2m，y=3-4m，∴2x+y=3，即y=-2x+3，∴当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，故小明的说法是对的．(2)证明：点，都在该二次函数图象上，∴对称轴为直线，∴，∴a=1，∴点P坐标为（-4，c）代入，得∴c≤15．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．一、选择题1．（2022·广西·藤县藤州中学九年级阶段练习）已知，点都在函数的图象上，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据，得到，再由二次函数的性质得到当时，y随x增大而减小，由此即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∵函数中，图像开口向上，∴当时，y随x增大而减小，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解题意得到是解题的关键．2．（2021·福建·福州市马尾区三牧中学九年级期中）关于二次函数，下列说法正确的是（）A．它的开口方向向下B．它的顶点坐标是C．当时，y随x的增大而减小D．当时，y有最小值是1【答案】D【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：∵二次函数，∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，它的顶点坐标为，∴当x=0时，函数有最小值1，当时，y随x的增大而增大，故选项A、B、C错误，选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（2022·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学九年级阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围

（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的开口方向和对称轴进行分析即可．【详解】解：∵，∴函数开口向下，对称轴为：，∴当时，y随x的增大而减小，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性和对称轴，解题的关键是根据二次函数的开口方向和对称轴判断函数的增减性．4．（2022·福建·浦城县教师进修学校九年级期中）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．与x轴有两个交点C．顶点坐标是 D．它可由向右平移一个单位得到【答案】B【分析】根据二次函数的解析式可判断该二次函数图象开口向上，顶点坐标为，从而可判断A和C．再根据其对称轴为直线，即可判断该二次函数图象与x轴有两个交点，可判断B．根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可判断D．【详解】∵二次函数的解析式为：，∴，∴该二次函数图象开口向上，故A错误，不符合题意；由解析式可知该二次函数顶点坐标为，故C错误，不符合题意；由解析式可知该二次函数对称轴为直线，∴该二次函数图象与x轴有两个交点，故B正确，符合题意；将函数图象向右平移一个单位得到的新函数的解析式为，故D错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象平移的规律．熟练掌握上述知识是解题关键．二、填空题5．（2022·浙江·杭州市保俶塔实验学校九年级阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是____________．【答案】【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标．6．（2022·辽宁省鞍山华育外国语实验学校九年级阶段练习）已知点在抛物线上，则的大小关系是_____（用“<”连接）．【答案】【分析】分别将代入，求出的值，即可比较．【详解】分别将代入，得：，，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查比较二次函数值．掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．7．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级阶段练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为______.【答案】0或7##7或0【分析】先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分h＜2，和h＞5三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解．【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，∴若h＜2，则当时，函数y取最大值，即，解得：或（舍去），若，则当时，函数y取最大值0，不符合题意；若h＞5，则当时，函数y取最大值，即，解得：（舍去）或，综上，h的值为0或7，故答案为：0或7．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题．8．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a的取值范围是______．【答案】【分析】由可得抛物线随值的变化左右移动，分别求出抛物线经过点P，Q所对应的的值即可．【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为(，0)，当对称轴在点P左侧时，，把P（3，1）代入得，解得或(舍去)，当对称轴在点P右侧时，，把Q（9，1），代入得，解得或(舍去)，∴当时，抛物线与线段PQ有交点，故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线随值的变化左右移动是解题的关键．三、解答题9．（2022·湖北·黄石市有色中学九年级开学考试）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)(2)(3)【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案．（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)．（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)．（3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6)【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系．10．（2021·全国·八年级课时练习）函数为二次函数，（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；（2）若当时，y随x的增大而减小，求函数的解析式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据自变量的最高次数为2列出方程，求出的值，由图象开口向上，求得的取值，进而即可求得解析式．（2）根据自变量的最高次数为2列出方程，求出的值，由当x≥0时，随的增大而减小，求得的取值，进而即可求得解析式．【详解】解：∵函数为二次函数，∴m2﹣3m﹣2＝2，m-2不为0，整理得，m2﹣3m﹣4＝0，解得，m1＝4，m2＝﹣1．（1）∵其函数图象开口向上，∴m﹣2＞0，解得m＞2，∴m＝4．∴函数关系式为y＝2x2；（2）∵当x≥0时，y随x的增大而减小，∴m﹣2＜0，∴m＜2，∴m＝﹣1，∴函数关系式为y＝﹣3x2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质以及二次函数的图象，二次函数的二次项系数不等于0是解题的关键．11．（2022·全国·九年级课时练习）在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？【答案】见解析【详解】试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到的．解：如图所示：(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到．12．（2022·广东惠州·九年级阶段练习）抛物线与的形状、开口方向都相同，且经过(0，3)．求：(1)该抛物线的解析式；(2)是由抛物线经过怎样的平移得到的？【答案】(1)(2)向上平移3个单位长度得到的【分析】（1）根据抛物线与的形状、开口方向都相同，可得a＝-5．再把（0，3）代入，即可求解；（2）根据抛物线平移的性质，即可求解．（1）解：∵抛物线与的形状、开口方向都相同，∴a＝-5．∵抛物线经过（0，3），∴c＝3．∴该抛物线的解析式为；（2）解：由（1）得：是由抛物线向上平移3个单位长度得到的．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的平移规律是解题的关键．13．（2022·全国·九年级课时练习）在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：，，．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．【答案】（1）抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系．（2）由（1）的规律可得抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．【详解】解：（1）列表：…-3-2-10123……202…描点、连线，可得抛物线．将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键．14．（2022·江西·南昌市第十九中学九年级阶段练习）已知抛物线的图象经过点．(1)求a的值及顶点坐标；(2)若点都在该抛物线上，请直接写出与的大小．【答案】(1)a的值是，顶点坐标是；(2)【分析】（1）根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，把点代入，可以求得a的值；（2）根据二次函数的性质可以解答本题．（1）解：∵，∴该抛物线的顶点坐标是；∵经过点，∴，解得，，即a的值是；（2）解：∵，，∴该抛物线的图象在时，y随x的增大而增大，在时，y随x的增大而减小，∵点都在该抛物线上，∴．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．15．（2021·重庆市巴川小班实验中学校九年级阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）．(1)求a，b的值；(2)连接OC、OB，求△BOC的面积．【答案】(1)a的值是；b的值是4(2)【分析】（1）把B（2，2）代入到直线中，进行计算即可得，把B（2，2）代入到抛物线中，进行计算即可得；（2）联立两函数解析式成方程组，，进行计算可得点C的坐标为，即可得．（1）解：把B（2，2）代入到直线中，得：，即；把B（2，2）代入到抛物线中，得：，即，∴a的值是；b的值是4．（2）解：∵b＝4，∴点A（0，4）．联立两函数解析式成方程组，，解得：或，∴点C的坐标为，∴．【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握待定系数法求参数，求函数解析式．16．（2021·江苏·九年级专题练习）在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．（1）抛物线向________平移________个单位得到抛物线；（2）抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；（3）抛物线，当x________时，函数随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．【答案】图象见解析；（1）下，l；（2）向下，轴，；（3），，大，大，1．【分析】（1）先利用描点法画出两个函数的图象即可；根据两个函数图象即可得平移方式；（2）根据函数图象即可得出抛物线的开口方向、对称轴、以及顶点坐标；（3）根据函数图象即可得出函数的增减性和最值．【详解】解：函数与的图象如图所示：（1）抛物线向下平移1个单位得到抛物线，故答案为：下，1；（2）抛物线开口方向是向下，对称轴为轴，顶点坐标为，故答案为：向下，轴，；（3）抛物线，当时，函数随x的增大而减小；当时，函数有最大值，其最大值是1，故答案为：，，大，大，1．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象