专题02二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质（3个知识点8种题型1个易错点）（原卷版）

专题02二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质（3个知识点8种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质【方法二】实例探索法题型1：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质求字母参数的值题型2：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质判断抛物线的开口方向和大小题型3：一题多解法——比较函数值的大小题型4：求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式题型5：双图像问题题型6：二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数综合问题题型7：二次函数y=ax2(a≠0)与几何变换题型8：二次函数y=ax2(a≠0)中的分类讨论【方法三】差异对比法易错点1解决实际问题时，忽略自变量的取值范围而出错【方法四】成果评定法【学习目标】1、会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象。2.能确定二次函数y=ax2(a≠0)的图象的顶点坐标，开口方向和对称轴。3.探索二次函数y=ax2(a≠0)的图象的作法和性质。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…112341234xyxyOO1212-2-1-2-1图1图2（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．要点诠释：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.例1.已知二次函数的图像经过点Q（-1，-2），求a的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图像．知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点诠释：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.例2.二次函数的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．【方法二】实例探索法题型1：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质求字母参数的值例3.抛物线与的形状相同，则a的值为______．例4.已知关于的二次函数，当为何值时，它的图像开口向上？当为何值时，它的图像开口向下？例5.已知二次函数的图像开口向下，求m的值．题型2：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质判断抛物线的开口方向和大小例6.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；（2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？例7.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图 像；（2）函数、、的图像与函数、、的图像有何异同？题型3：一题多解法——比较函数值的大小例8.函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．题型4：求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式例9.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米．（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？xxyABCDO例10.已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．题型5：双图像问题例11.函数与的图像可能是（）xyxyxyxyxyOOOOA．B．C．D．题型6：二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数综合问题例12.已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由．例13.物线与直线交于点（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．题型7：二次函数y=ax2(a≠0)与几何变换例14.若把抛物线（）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线（）沿着x轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．题型8：二次函数y=ax2(a≠0)中的分类讨论例15.如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2．若为直角三角形，求a的值．AABOxy【方法三】差异对比法易错点1解决实际问题时，忽略自变量的取值范围而出错例16.（2022秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知二次函数，解答下列问题：(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．(3)求当时对应的函数图象在第一象限的点的坐标．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）二次函数y=x的图象经过的象限是（

）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限2．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考阶段练习）抛物线与抛物线的相同点是（）A．顶点相同 B．对称轴相同C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上3．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）已知抛物线上的两点，如果，那么下列结论成立的是(

)A． B． C． D．4．（2021秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）若点在抛物线上，那么下列各点中一定在该抛物线的是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）若二次函数（m≠0）的图象经过点（2，-5），则它也经过（

）A．（-2，-5） B．（-2，5） C．（2，5） D．（-5，2）6．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）下列抛物线中，开口最大的是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期中）在同一平面直角坐标系中作出，，的图象，它们的共同点是（

）A．关于y轴对称，抛物线的开口向上 B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 D．当时，y随x的增大而减小8．（2022秋·安徽宣城·九年级校联考阶段练习）如图，分别过点（，2，…，2022）作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点．则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题9．（2016·安徽宣城·九年级开学考试）如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是________．10．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）若二次函数的图像开口向下，则m的值为___________．11．（2022秋·安徽亳州·九年级校考阶段练习）已知二次函数y＝x2，当﹣2≤x≤m时，0≤y≤4，则m的取值范围是________．12．（2022秋·安徽滁州·九年级校联考期中）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则________．13．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，二次函数，第一个正方形，第二个正方形，第三个正方形，，点，，，，，点，，，，在二次函数上，，，，，在轴正半轴上，则第个正方形的边长为______．三、解答题14．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过点（2，－2），(1)求这个函数的表达式；(2)当x为何值时，函数y随x的增大而增大？15．（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是探究函数，的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题．(1)完成表格…012……2343……2n02…___________；___________．(2)在同一平面直角坐标系中，根据表中数值画出这两个函数的图象；并写出这两个函数图象共有的一条性质：___________．(3)观察画出的图象，直接写出使的自变量的取值范围．16．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点、．(1)求a与m的值；(2)当时，函数值y的取值范围．17．（2022秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知抛物线经过点．(1)求此抛物线的解析式．(2)判断点是否在此抛物线上．18．（2022秋·河南周口·九年级校考阶段练习）已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件m的值．(2)m为何值时，抛物线有最低点