专题5.24 平面直角坐标系背景下面积问题（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.24平面直角坐标系背景下面积问题（分层练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023春·河北石家庄·七年级统考阶段练习）如图，平面直角坐标系中的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．62．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（）A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣43．（2019秋·河南平顶山·八年级统考期中）在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A(﹣1，1)，B(3，5)，C(4，1)，D(2，﹣1)，老师要求大家求出四边形ABCD的面积，其中结果正确的是（

）A．11 B．13 C．15 D．174．（2022春·黑龙江大庆·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，由点A(a，3)，B(a+4，3)，C(b，﹣3）组成的△ABC的面积是（）A．6 B．12 C．24 D．不确定5．（2019秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为（

）A．7 B．9 C．11 D．136．（2021春·湖南长沙·七年级长沙市长郡梅溪湖中学校考阶段练习）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是3，则点的坐标是（

）A． B． C．或 D．或7．（2023春·全国·七年级期末）平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（-3．-2），C（x，-2）三点，其中x≠-3．当线段AC最短时，△ABC的面积是（

）A．30 B．15 C．10 D．8．（2022秋·河南开封·八年级金明中小学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴负半轴上，若，且，则的面积是（

）A． B．12 C．15 D．249．（2021秋·山东济南·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”若、，三点的“矩面积”为15，则t的值为()A．或7 B．或6 C．或7 D．或610．（2015春·江苏无锡·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图所示，∠OAC＝90°，AC∥OB，OA＝4，AC＝5，OB＝6．M、N分别在线段AC，线段BC上运动，当△MON的面积达到最大时，存在一种使得△MON周长最小的情况，则此时点M的坐标为(

)．A．(0,4) B．（3，4） C．(,4) D．(,3)二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知，点P在x轴上，且面积是4，则点P的坐标是．12．（2022春·广东汕头·九年级统考期中）如图，点A（5，0），点B（4，3），点C（0，2），则四边形OABC的面积是．13．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积是______．14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点的坐标分别是，，，点与点关于轴对称，顺次连接，，，四点得到四边形，点是四边形边上的一个动点，连接，若将四边形的面积分为1：4的两部分，则点的坐标为．

15．（2023春·江西上饶·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为．16．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，AD为BC边上的高线，且，点M为直线BC上方的一个动点，且面积为的面积2倍，则当最小时，的度数为°．17．（2022春·北京·七年级校考期中）已知四边形是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中是坐标原点，点A，C，D的坐标分别为，，，若点在梯形内，且的面积等于的面积，的面积等于的面积．请直接写出点的坐标．18．（2022秋·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上—动点，给出4个结论：①线段AB的长为；②在，若，则的面积是5；③当时，点P的坐标为；④设点P的坐标为，则的最小值为．其中正确的结论有．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023春·吉林四平·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，线段轴，且．在第二象限有点．

（1）点的坐标为______；（2）求四边形的面积（用含有m的式子表示）；（3）当四边形的面积与三角形的面积相等时，直接写出的值．20．（8分）（2023春·福建福州·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接交y轴于点C，连接．

（1）求三角形ABO的面积；（2）求点C的坐标，21．（10分）（2023春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在x轴的负半轴上，点C在第二象限，轴，且，点在第一象限．

（1）求B，C两点的坐标；（2）是否存在m，使以A，B，O，P为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．22．（10分）（2023春·湖北随州·七年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，已知、、，且．

（1）则______，______，______；（2）求四边形AOBC的面积；（3）点p在y轴上，且求点p的坐标．23．（10分）（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．

（1）求三角形的面积；（2）设点是轴上一点，若，试求点坐标；（3）若点在线段上，求用含的式子表示．24．（12分）（2023春·辽宁抚顺·七年级校联考期中）如图1，，，我们能够容易地计算出的面积，根据所给的平面直角坐标系探究下列问题．（说明：三角形记作）

【思维启迪】．（1）若点的坐标是，点的坐标是，则①的面积是______，的面积是______；②的面积与的面积之间的数量关系是______；③三点所在的直线与x轴的位置关系是______．请利用你发现的结论，尝试解决以下问题．【学以致用】（2）是轴上方一点，点的坐标是，若的面积与的面积相等，且，求点的坐标．【发散思维】（3）如图2，若点的坐标是，连接，点在轴上，线段与线段相交于点，若的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标．参考答案：1．B【分析】根据图形可知，OA=2，BC=4，再由三角形的面积公式，即可求出答案．【详解】解：由图可知，，，∴；故选：B．【点拨】本题考查了平面直角坐标系中，两点之间的距离，解题的关键正确求出BC和OA的长度．2．D【分析】根据点A、B的坐标可找出OA、OB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】∵A（a，0），B（0，10），∴OA=|a|，OB=10，∴S△AOB=OA•OB=•10|a|=20，解得：a=±4．故选D．【点拨】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积公式列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．3．C【分析】连接AC，如图，则AC∥x轴，根据三角形面积公式，利用S四边形ABCD＝S△ABC+S△DAC进行计算．【详解】解：连接AC，如图，S四边形ABCD＝S△ABC+S△DAC＝＝10+5＝15．故选：C．【点拨】本题考查了坐标与图形性质、将不规则四边形面积转化为三角形面积，掌握三角形的面积算法是解题的关键．4．B【分析】根据A和B两点的纵坐标相等，可得线段AB的长，再根据点C的纵坐标，可得以AB为底的△ABC的高，从而△ABC的面积可求．【详解】解：∵点A(a，3)，B(a+4，3)，∴AB＝4，∵C(b，﹣3)，∴点C在直线y＝﹣3上，∵AB：y＝3与直线y＝﹣3平行，且平行线间的距离为6，∴S＝×4×6＝12，故选：B．【点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标以及三角形的面积计算，解题的关键是根据点的坐标的特点求出AB的值以及点C到AB的距离．5．C【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CG+GD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=18，解得AD=9，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CG+GD的最小值，∴△CDG的周长最短=（CG+GD）+CD=AD+BC=9+×4=9+2=11．故选C.【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．6．D【分析】根据三角形的面积求出AP的长，再分点P在点A的左边与右边两种情况讨论求解．【详解】解：∵点B（0，2），∴S△PAB=AP×2=3，解得AP=3，若点P在点A的左边，则OP=AP-OA=3-1=2，如图，此时，点P的坐标为（-2，0），过点P在点A的右边，则OP=AP+OA=3+1=4，此时，点P的坐标为（4，0），综上所述，点P的坐标为（4，0）或（-2，0），故选：D．【点拨】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．7．B【分析】根据C点坐标可知C点在直线y=-2上，当AC⊥BC时，线段AC最短，此时可知C点坐标为(2,-2)，则可求出AC=6，BC=5，则△ABC的面积可求．【详解】∵C点坐标(x,-2)，∴C点在直线y=-2上，∴B点坐标(-3,-2)，∵B点在直线y=-2上，根据垂线段最短可知，当AC⊥BC时，线段AC最短，∵A点坐标(2,4)，AC⊥BC，∴C点横坐标与A点横坐标相等，即为2，∴C点坐标(2,-2)，∴AC=4-(-2)=6，BC=2-(-3)=5，∵AC⊥BC，∴△ABC的面积为：6×5÷2=15，故选：B．【点拨】本题考查了直角坐标系中坐标的特点、垂线段最短等知识，根据C点坐标判断出C点在直线y=-2上，是解答本题的关键．8．B【分析】过点作轴，垂足为，由可证可得，，可得，进而求出结果．【详解】过点作轴，垂足为，轴，，，，，，，，，，，，，，，．故选：B．【点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，构建合适的全等三角形是解本题的关键．9．D【分析】根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，即可求得t的值．【详解】解：由题意得：“水平底”为：，当时，，则，解得：；当时，，故此种情况不符合题意；当时，，则，解得：．故选：D．【点拨】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．10．B【分析】过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA，MP于两点Q、G，则S△MON=S△OMP+S△NMP=MP•QG+MP•NG=MP•QN，因为QN取得最大值是OB时，△MON的面积最大值=OA•OB，设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，此时AM=3，从而求得M的坐标（3，4）．【详解】如图，过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA，MP于两点Q、G，则S△MON=S△OMP+S△NMP=MP•QG+MP•NG=MP•QN，∵MP≤OA，QN≤OB，∴当点N与点B重合，QN取得最大值OB时，△MON的面积最大值=OA•OB，设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，此时△MON的面积最大，周长最短，∵，即，∴AM=3，∴M（3，4）．故选B.【点拨】本题考查了坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题,关键是确定三角形△MON何时面积最大．11．或【分析】设，利用三角形的面积公式构建绝对值方程求出m即可．【详解】解：设，由题意：，∴或3，∴或，故答案为：或．【点拨】此题考查三角形的面积、坐标与图形性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．12．11.5/【分析】连接OB，由列式计算即可求得答案．【详解】解：连接OB,如下图：∵，∴∴===11.5故答案为：11.5【点拨】本题考查直角坐标系中用割补法求四边形图形的面积，能够利用数形结合思想去解题是关键．13．【分析】建立平面直角坐标系，然后用补形法求出三角形的面积即可．【详解】解：因为，，，建立平面直角坐标系如下图所示：

所以的面积，故答案为：．【点拨】本题考查了用割补法求三角形的面积以及平面直角坐标系，正确掌握割补法求面积是解题的关键．14．或【分析】先根据各坐标求出四边形的面积，再分情况讨论当点在上和上的点坐标．【详解】解：作于，点与点关于轴对称，点，点坐标为，点，点的坐标分别是，，，，，，，，，如图1，当点在上时，，，，，，点坐标为：，；

如图2，当点在上时，，，，，，点坐标为：

综上，点坐标为或，故答案为：或．【点拨】本题考查了坐标系中图形的面积的求法，分情况讨论点的位置是解题关键．15．，，【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点在轴上时，当点在轴上时，分别进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：，当点在轴上时，，三角形和三角形面积相等，，，点的坐标为，当点在轴上时，，三角形和三角形面积相等，，，点的坐标为，，综上所述：点的坐标为，，，故答案为：，，．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题．16．45【详解】如图，作过点的直线，使得，作关于的对称点，连接，交于点，则，当三点共线时，取得最小值，过点作，，，，中，AD为BC边上的高线，面积为的面积2倍，，，根据平行线间的距离相等，可得，则，是等腰直角三角形，．故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的高线，等腰直角三角形的性质，平行线的距离，轴对称求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键．17．【分析】利用的面积等于的面积，得出的长，进而得出的长，即可得出点坐标．【详解】解：如图，过点作轴于点，∵点A，C，D的坐标分别为，，，∴，，，∵的面积等于的面积，∴，∴，即，解得：，∴的面积的面积，∴的面积的面积，∴，即，∴点的坐标是．故答案为：．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质以及三角形面积，利用三角形面积关系得出，的长是解答本题的关键．18．①②④【分析】①直接利用根据两点间距离的坐标公式计算AB的长度即可；②先证明为直角三角形，然后根据三角形面积的公式直接计算面积即可；③先求出△ABO和△ABP的面积，然后过点B作轴于点D，继而求出梯形AOBD的面积，设点P的坐标，最后根据求出点P的坐标即可；④作A点关于x轴的对称点M，设出点P的坐标，继而表示出AP、MP和BP的长度，可以得到，当且仅当B，P，M三点共线时，代数式取得最小值；【详解】①根据两点间距离的坐标公式可知，，故①正确；②在中，，，，∴(1，0)，∴，在中，，∴为直角三角形，∴，故②正确.∵，∴，过点B作轴于点D，即，，∴，设P点坐标为(m，0)，∴，，∴，∴，∴，解得，∴当时，点P的坐标为(3，0)，故③错误.作A点关于x轴的对称点M，连接BM交x轴于点P，此时，∵P点坐标为(x，0)，∴，，∴，当且仅当B，P，M三点共线时，代数式取得最小值，最小值即为线段BM的长度，∵(0，-3)，B(4，1)∴，∴的最小值为.故④正确.∴正确的有①②④.故答案为：①②④.【点拨】本题考查了图形与坐标的特点，直角三角形的判定，三角形的面积公式，两点之间距离公式，求最值的问题，是一个考点比较全面的综合题，难度适中，熟练掌握知识点的应用是解题的关键；19．(1)(2)(3)【分析】（1）直接根据点C的位置写坐标；（2）根据网格特点和坐标与图形性质，结合三角形的面积公式求解即可；（3）根据题中等量关系解关于m的方程即可解答．【详解】（1）解：由图可知，点C的坐标为，故答案为：；（2）解：由图可知，，，四边形的面积为；（3）解：∵四边形的面积与三角形的面积相等，∴，解得：．【点拨】本题考查坐标与图形、解一元一次方程、网格中求三角形的面积，熟知网格特点，掌握坐标与图形性质是解答的关键．20．(1)(2)【分析】（1）利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）过点作轴于点，根据三角形的面积三角形的面积三角形的面积，求出的长即可．【详解】（1）解：过点作轴于点．

∵，，∴，，∴三角形的面积．（2）过点作轴于点．

∵，∴．∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积，∴，即，∴．∵点C在y轴正半轴，∴．【点拨】本题考查坐标与图形，熟练掌握三角形的面积公式和等积法求线段的长，是解题的关键．21．(1)，(2)存在，【分析】（1）根据在x轴的负半轴上，可得，即可得，问题随之得解；（2）根据可得，再根据坐标表示出，，最后列等式即可求解．【详解】（1）点在x轴的负半轴上，，解得或（不符合题意，舍去），，又点C在第二象限，轴，且，；（2）存在，当点时，即，，点的坐标为，∴，∵点在第一象限，∴，，．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，以及利用算术平方根解方程的知识，能用表示出，是解答本题的关键．22．(1)2，3，4(2)8(3)或【分析】（1）利用绝对值的非负性、平方的非负性及二次根式的非负性即可求解．（2）由（1）可知，，，，可得四边形为直角梯形，利用梯形的面积公式即可求解．（3）设点P的坐标为：，由得，求解即可．【详解】（1）解：∵，，，，解得：，，，故答案为：2，3，4．（2）过点C作交于D，