专题3.15 勾股定理（全章复习与巩固）（分层练习）（提升篇）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.15勾股定理（全章复习与巩固）（分层练习）（提升篇）一、单选题1．下列各组数为勾股数的是(

)A． B． C． D．2．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为（

）A．6 B．8 C．13 D．3．在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，则ED的长为（

）A．2.5 B．4.5 C．8.5 D．104．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（

）A．13 B．12 C．10 D．85．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以B为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．若，则的长为（

）A． B． C． D．6．在中，，，．以A为圆心，的长为半径作弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点P．连接，并延长交于D．过D作于点E，垂足为E，则的长度为（）A． B． C．2 D．17．如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则＝（

）A．6 B．6.5 C．7 D．88．如图，在△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积等于（

）A．1 B．1.5 C．2 D．39．如图，长为的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升到D点，则橡皮筋被拉长了（

）A． B． C． D．10．我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（

）A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺二、填空题11．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是______cm2．12．如图，在方格中，小正方形的边长均为1，则图中阴影正方形的边长是_____．13．如图，三角形中，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_____．14．如图，在中，，，，D为BC边上一点将沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为______．15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为____．16．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为__________cm（容器壁厚度忽略不计）．17．如图，长方形中，，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为________18．如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为______．三、解答题19．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且，．(1)求修建的公路的长；(2)若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？20．（1）大家知道（3，4，5）（5，12，13）（8，15，17）都是勾股数组，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为这种观点正确吗？说明你的理由．（2）除此之外，你还能发现勾股数具有哪些规律?与同伴进行交流．21．如图，已知BE⊥AE，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC2＝12，CD2＝3，DE＝3．求证：(1)△BEC为等边三角形；(2)ED⊥CD．22．做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们按下图所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明勾股定理：a2＋b2＝c223．【证明体验】如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：．【迁移应用】如图2，在中，，，为的中点，．求面积．【拓展延伸】如图3，在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，求的长．24．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E，延长AB'与直线CD交于点M．(1)求证：AM=MF；(2)当点E是边BC的中点时，求CM的长；(3)当CF=4时，求CM的长．参考答案：1．B【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可．解：A．，不能构成直角三角形，故不是勾股数；B．，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；C．，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D．，不能构成直角三角形，故不是勾股数．故选：B．【点拨】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．2．D【分析】利用勾股定理和等积法进行求解即可．解：由题意得：直角三角形的斜边长为：，设斜边上的高为：，由直角三角形的面积相等可得：，解得：；故选D．【点拨】本题考查的勾股定理的应用，求直角三角形斜边上的高．熟练掌握等积法是解题的关键．3．B【分析】延长到，使得，连接．证明，得到，，结合已知证明，设，则，，在中，根据，构建方程即可解决问题．解：延长到，使得，连接．在和中，，∴，，，，，，，，设，则，，在中，，，，．【点拨】本题属考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．A【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得．解：由折叠的性质可知，设为x，则为，∵四边形为长方形∴，∴在中由勾股定理有即化简得解得，故选：A．【点拨】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．5．A【分析】设根据，在中，由勾股定理列出方程即可求解．解：设，∵，，∴，在中，，∴为直角三角形，在中，由勾股定理得：，解得：，即故选：A．【点拨】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据题意得出，进而表示出的长．6．A【分析】直接利用基本作图方法得出：，再利用全等三角形的判定与性质得出，结合勾股定理得出答案．解：如图所示：由题意可得：，在和中，设，则，故，解得∶．故选：A．【点拨】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．7．A【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．解：如图，观察发现，∵，∴，，∴，在与中，，∴（AAS），∴，∵，∴，即，同理，，则，则．故选：A．【点拨】此题考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．解决本题的关键是得到．8．B【分析】由三角形中位线的性质易得△DEF的三边长，再由勾股定理的逆定理证出△DEF是直角三角形，然后由三角形面积公式求解即可．解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点∴EF，DE，DF都是△ABC的中位线，∴EF=AB，DE=AC，DF=BC，又∵AB=5cm，BC=4cm，AC=3cm，∴EF=2.5（cm），DE=2（cm），DF=1.5（cm），∵1.52+22=2.52，∴DE2+DF2=EF2，∴△EDF为直角三角形，∴S△EDF=DE•DF=×1.5×2=1.5（cm2），故选：B．【点拨】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理的逆定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理的逆定理证出△DEF为直角三角形是解题的关键．9．A【分析】根据勾股定理，可求出AD长，再证明△ADC≌△BDC（SAS），可得AD=BD=5cm,求出AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．解：点C为线段AB的中点，∴AC=AB=4cm，Rt△ACD中，CD=3cm；根据勾股定理，得：AD==5(cm)；∵CD⊥AB，∴∠DCA=∠DCB=90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD=BD=5cm,∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义，解题的关键是勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义，灵活运用所学知识解决问题．10．D【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程，解方程即可解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，在中，∵，∴，解得：故选：D．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．11．24【分析】由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠B＝90°，△ABC的面职为即可得出结果．解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，∴AB2+CB2＝100＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴△ABC的面积是＝＝24（cm2），故答案为：24．【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．12．5【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可得答案．解：如图，在中，，，，故答案为：5．【点拨】本题考查了勾股定理，根据网格构造直角三角形是解决问题的关键．13．【分析】当时，的值最小，利用等面积法求解即可．解：在中，，，，∴，∵点到直线，垂线段最短，∴当时，的值最小，此时：，即：，∴，故答案为．【点拨】本题考查垂线段最短．熟练掌握点到直线，垂线段最短，利用等积法求斜边上的高，是解题的关键．14．3【分析】根据勾股定理可以得到AC的长，然后根据翻折的性质和勾股定理，即可求得CD的长．解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∵将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，∴AE=AB=10，BD=ED，∴CE=AE-AC=10-6=4，设CD=x，则BD=8-x，∵∠DCE=90°，∴CD2+CE2=ED2，即，解得x=3，∴CD=3，故答案为：3．【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．15．4【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．解：直角三角形直角边的较短边为=6，正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4．故答案为：4．【点拨】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．16．34【分析】首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF的长即为所求；然后结合已知条件求出DF与CD的长，再利用勾股定理进行计算即可.解：如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm），∴（cm），即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.故答案为34.【点拨】此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径；17．15【分析】作F关于的对称点，连接，交于点E，则，的长即为的最小值．运用勾股定理求即可．解：如图：作F关于的对称点，连接，交于点E，则，的长即为的最小值．长方形中，，F为的中点，∴，∴，∴，即的最小值为15．故答案为：15．【点拨】本题主要考查轴对称的性质及运用，能够熟练掌握并运用将军饮马模型是解题关键．18．【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点处，得，，又再折叠纸片，使点与点重合，得，，即可得，，设，则，可得，即可解得．解：沿将纸片折叠，使点B落在边上的点处，，，折叠纸片，使点与点重合，，，，，，，，设，则，，解得，，故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形中的翻折变换，勾股定理，一元一次方程解法，完全平方公式，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．19．(1)修建的公路CD的长为；(2)总路程为【分析】（1）根据题意可得：，，，利用勾股定理可得，再由三角形的等面积法计算即可得出；（2）由垂直的性质及（1）中结论，再利用勾股定理可得出长度，然后求长即可．（1）解：∵，∴，根据题意可得：，，∴，，∴，∴，∴修建的公路CD的长为；（2）解：∵，∴，根据题意可得：，，∴，∴，∴总路程为．【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练应用勾股定理是解题关键．20．（1）正确，见分析；（2）见分析【分析】（1）根据奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，奇数加奇数为偶数即可判断；（2）发现当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数．解：（1）勾股数中一定有一个是偶数，如果全部为奇数，为偶数，而为奇数，两者不可能相等，即一定存在一个偶数．（2）勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数，理由如下：不妨令最大整数为，跟它连续的整数为，根据勾股定理有，，即最小数的平方为奇数．【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，奇数加奇数是偶数．21．(1)见分析；(2)见分析【分析】（1）在Rt△ABE中，求得AE＝2，BE2＝12，从而有BE＝BC，即可得出△BEC为等边三角形；（2）求得DE2+CD2＝12＝EC2，所以△CDE为直角三角形，且∠D＝90°，即可解决问题．解：（1）证明：根据题意可得：在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠AEB＝90°，∴∠ABE＝30°．∵AB＝4，∴AE＝AB＝2，BE2＝AB2﹣AE2＝12．又∵BC2＝12，∴BE＝BC．又∵∠CBE＝60°，∴△BEC为等边三角形．（2）∵△BEC为等边三角形，∴EC2＝BC2＝12．又∵DE2＝9，CD2＝3，∴DE2+CD2＝12＝EC2，∴△CDE为直角三角形，且∠D＝90°，∴ED⊥CD．【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理和其逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键．22．证明见分析【分析】根据不同图形拼成的两个正方形面积相等即可证明解：证明：①左图大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，分成了四个直角边为a，b，斜边为c的全等的直角三角形和一个边长为c的小正方形，；②右图大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，分成了边长为a的一个正方形，边长为b的一个正方形，还有四个直角边为a，b，斜边为c的全等的直角三角形，；综上所述：，即．【点拨】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．23．(1)见分析；(2)；(3)的长为【分析】（1）