高考数学大二轮专题复习 专题七 概率与统计 第二讲 统计与统计案例适考素能特训 理试题

专题七概率与统计第二讲统计与统计案例适考素能特训理一、选择题1．[2016·兰州双基测试]某乡政府调查A、B、C、D四个村的村民外出打工的情况，拟采用分层抽样的方法从四个村中抽取一个容量为500的样本进行调查．已知A、B、C、D四个村的人数之比为4∶5∶5∶6，则应从C村中抽取的村民人数为()A．100 B．125C．150 D．175答案B解析由题意可知，应从C村中抽取500×eq\f(5,4＋5＋5＋6)＝125名村民．2．[2016·湖北武汉第二次调研]如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45)的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为()A．0.04 B．0.06C．0.2 D．0.3答案C解析由频率分布直方图的知识得，年龄在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，设年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的频率为x，y，z，又x，y，z成等差数列，所以可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝1－0.05－0.35，,x＋z＝2y，))解得y＝0.2，所以年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.故选C.3．[2016·开封一模]下列说法错误的是()A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好答案B解析根据相关关系的概念知A正确；当r>0时，r越大，相关性越强，当r<0时，r越大，相关性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好．二是R2越大，拟合效果越好，所以R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，C，D正确，故选B.4．[2016·河南郑州二模]某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价(元)456789销量(件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程eq\o(y,\s\up16(^))＝－4x＋a，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案B解析由表中数据得eq\x\to(x)＝6.5，eq\x\to(y)＝80.由(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在直线eq\o(y,\s\up16(^))＝－4x＋a上，得a＝106.即线性回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝－4x＋106.经过计算只有(5,84)和(9,68)在直线的下方，故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，选B.5．[2016·湖南永州一模]为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015附：P(K2≥k)0.100.050.025k2.7063.8415.024K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”答案C解析由题设知，a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，所以K2＝eq\f(100×45×15－30×102,55×45×75×25)≈3.0303.2．706<3.0303<3.841.由附表可知，有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C.二、填空题6．[2016·石家庄质检二]将高三(1)班参加体检的36名学生，编号为：1,2,3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6、24、33的学生，则样本中剩余一名学生的编号是________．答案15解析根据系统抽样的特点可知抽取的4名学生的编号依次成等差数列，故剩余一名学生的编号是15.7．[2015·豫北十校联考]2015年的NBA全明星赛于北京时间2015年2月14日举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是________．答案64解析应用茎叶图的知识得，甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别为28,36，因此甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64.8．[2016·吉林通化月考]某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：广告费用x(万元)3456销售额y(万元)25304045根据上表可得回归方程eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\o(b,\s\up16(^))x＋eq\o(a,\s\up16(^))中的eq\o(b,\s\up16(^))为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元．答案73.5解析由题表可知，eq\x\to(x)＝4.5，eq\x\to(y)＝35，代入回归方程eq\o(y,\s\up16(^))＝7x＋eq\o(a,\s\up16(^))，得eq\o(a,\s\up16(^))＝3.5，所以回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝7x＋3.5.所以当x＝10时，eq\o(y,\s\up16(^))＝7×10＋3.5＝73.5.三、解答题9．[2016·河北三市二联]下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：月份91011121历史(x分)7981838587政治(y分)7779798283(1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\o(b,\s\up16(^))x＋eq\o(a,\s\up16(^)).附：eq\o(b,\s\up16(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up16(^))＝eq\o(y,\s\up16(^))－eq\o(b,\s\up16(^))eq\x\to(x)解(1)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(79＋81＋83＋85＋87)＝83，∵eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(77＋79＋79＋82＋83)＝80，∴seq\o\al(2,y)＝eq\f(1,5)×[(77－80)2＋(79－80)2＋(79－80)2＋(82－80)2＋(83－80)2]＝4.8.(2)∵eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝30，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝40，∴eq\o(b,\s\up16(^))＝0.75，eq\o(a,\s\up16(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up16(^))eq\x\to(x)＝17.75.则所求的线性回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝0.75x＋17.75.10．[2016·江淮十校一联]某学校在高一、高二两个年级学生中各抽取100人的样本，进行普法知识调查，其结果如下表：高一高二总数合格人数70x150不合格人数y2050总数100100200(1)求x，y的值；(2)有没有99%的把握认为“高一、高二两个年级这次普法知识调查结果有差异”；(3)用分层抽样的方法从样本的不合格同学中抽取5人的辅导小组，在5人中随机选2人，这2人中，正好高一、高二各1人的概率为多少？参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)χ2≥5.0246.6357.87910.82897.5%99%99.5%99.9%解(1)x＝80，y＝30.(2)由(1)得χ2＝eq\f(200×70×20－80×302,150×50×100×100)≈2.67<6.635，所以没有99%的把握认为“高一、高二两个年级这次普法知识调查结果有差异”．(3)由分层抽样得从高一抽取3人，设为A，B，C，从高二抽取2人，设为1,2.从5人中选2人，有(AB)，(AC)，(A1)，(A2)，(BC)，(B1)，(B2)，(C1)，(C2)，(12)，共10种选法．其中正好高一、高二各1人，有(A1)，(A2)，(B1)，(B2)，(C1)，(C2)，共6种选法．所以所求概率为P＝eq\f(3,5).11．[2016·正定统考]班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取—个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(只要求写出计算式即可，不必计算出结果)；(2)随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60,65,70,75,80,85,90,95，物理分数从小到大排序是：72,77,80,84,88,90,93,95.①若规定85分以上(包括85分)为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))；回归直线的方程是eq\o(y,\s\up16(^))＝bx＋a，其中对应的回归估计值b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)，yi是与xi对应的回归估计值．参考数据：eq\x\to(x)＝77.5，eq\x\to(y)＝84.875，eq\i\su(i＝1,8,)(x－eq\x\to(x))2≈1050，eq\i\su(i＝1,8,)(yi－eq\x\to(y))2≈457，eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))≈688，eq\r(1050)≈32.4，eq\r(457)≈21.4，eq\r(550)≈23.5.解(1)应选女生25×eq\f(8,40)＝5位，男生15×eq\f(8,40)＝3位，可以得到不同的样本个数是Ceq\o\al(5,25)Ceq\o\al(3,15).(2)①这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)(或Aeq\o\al(3,4))，然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是Aeq\o\al(5,5)，根据乘法原理，满足条件的种数是Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5).这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有Aeq\o\al(8,8)种．故所求的概率P＝eq\f(C\o\al(3,4)A\o\al(3,3)A\o\al(5,5),A\o\al(8,8))＝eq\f(1,14).②由已知数据可得变量y与x的相关系数r≈eq\f(688,32.4×21.4)≈0.99.可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．设y与x的线性回归方程是eq\o(y,\s\up16(^))＝bx＋a，根据所给数据，可以计算出b≈eq\f(688,1050)≈0.66，a＝84.875－0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是eq\o(y,\s\up16(^))≈0.66x＋33.73.12．为了调查学生星期天晚上学习时间的利用问题，某校从高二年级1000名学生(其中走读生450名，住宿生550名)中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学星期天晚上学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组：①[0,30)，②[30,60)，③[60,90)，④[90,120)，⑤[120,150)，⑥[150,180)，⑦[180,210)，⑧[210,240)，得到频率分布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．(1)求n的值并补全频率分布直方图；(2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生10总计据此资料，是否有95%的把握认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？(3)若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组、第②组各有1人的概率．参考数据：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考公式：K2＝\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)))解(1)设第i组的频率为Pi(i＝1,2，…，8)，由图可知P1＝eq\f(1,1500)×30＝eq\f(2,100)，P2＝eq\f(1,1000)×30＝eq\f(3,100)，∴学习时间少于60分钟的频率为P1＋P2＝eq\f(5,100)，由题意得n×eq\f(5,100)＝5，∴n＝100.又P3＝eq\f(1,375)×30＝eq\f(8,100)，P5＝eq\f(1,100)×30＝eq\f(30,100)，P6＝eq\f(1,120)×30＝eq\f(25,100)，P7＝eq\f(1,200)×30＝eq\f(15,100)，P