第12讲 勾股定理 （教师版）-数学八年级上册同步讲义（苏科版）江苏初中数学（苏教版）

第3章勾股定理

3.1勾股定理

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课程标准课标解读

1.掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的

多种证明方法，体验数形结合的思想；

1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，

2.能够运用勾股定理求解三角形中相关的

会用面积法证明勾股定理。

边长(只限于常用的数)；

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3.通过对勾股定理的探索解决简单的实际

问题，进一步运用方程思想解决问题.

岩笈知识精讲

燮、知识点01勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为。，斜边长为c,

那么片+/=c2.

【微点拨】

(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

(2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就

将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

(3)理解勾股定理的一些变式：

a2=c2—b2,b2=c2—a2,c1—^a+—2ab.

【即学即练1】《九章算术》中有一道题目译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木

柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分有3尺，牵绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽设

绳索的长为x尺，下列方程正确的是()

A.(x-3)2-%2=82B.X2-(X-3)2=82

C.(x+3)2-%2=82D.x2-(x+3)2=82

【答案】B

【分析】设绳索的长为x尺，则木柱高为（x-3）尺，长8尺构成直角三角形，利用勾股定理列方程.

【详解】解：设绳索的长为x尺，由题意得产-（x-3）?=8、

故选:B.

叁'知识点02勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图⑴中“做g=(a+by=J+4xLa6,所以J+b'j.

2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图⑵中斗弁|84A3)=/=(b-a)2+4x-“b,所以—=[‘+户

名712今

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

D

b

C

斗3="吗"=2蒋必+#,所以『+从=（?.

【即学即练2】在学习勾股定理的过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据

图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明实际上它也可用于验证数与代数、图形与

儿何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）

b

A.分类思想

【答案】D

【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想.

【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想

是数形结合思想，

故选：D.

4

工'知识点03勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.与勾股定理有关的面积计算；

4.勾股定理在实际生活中的应用.

【即学即练3】如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积

和是56,大直角三角形一边长为6,则斜边长（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】A

【分析】根据图形面积，可求出大正方形面积为28,即4炉=28,由此即可求出4C.

【详解】解：由图形可知，两个小正方形的面积和=大正方形的面积，

•••三个正方形阴影部分的面积和是56,

."4=28,

/MC2=AB2+BC2=28+36=64,

.*.AC=8.

故选：A.

Qi能力拓展

考法01用勾股定理解三角形

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用

勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾

股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.

【典例1］如图，A8C中，NB=45。,BC=2近，。是边A3靠近点B的三等分点，ZADC=ZA,则C。

长为（）

D.布

【答案】C

【分析】作CELAD交4。于点E,求出5E=CE=2,再求出BD=£>E=AE=1,利用勾股定理求解即可.

【详解】解：作CEL4）交AD于点£,

A

,:ZADC=ZAf

：.AC=CD,

是AO中点，

VZB=45°,BC=2。

・•・BE=CE=2,

:是边A8靠近点3的三等分点，E是AD中点,

:.BD=DE=AE=T,

JCD=A/22+12=A/5•

故选：C

四分层提分

题组A基础过关练

1.如图，网格中的小正方形边长均为1,ABC的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（）

A.2及B.2后C.无）D.25

【答案】C

【分析】直接利用勾股定理解答即可.

【详解】解：由勾股定理可得：AC=y^^=5

故答案为C.

2.如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（)

。

AAB.28100

【答案】D

【分析】山勾股定理即可求出答案.

【详解】由勾股定理可知：S,=36+64=100.

故选：D.

3.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路他们仅

仅少走了几步路，却踩伤了花草，他们少走的路长为（）

A.2mB.3mC.3.5mD.4m

【答案】D

【分析】先利用勾股定理可得A8=10m,再利用AC+BC-AB即可得.

【详解】解：由题意可知，AC=6m,8C=8m,AC，BC,

AB=yjAC2+BC2=10m，

r.AC+8C-43=6+8-10=4（m）,

即他们少走的路长为4m,

故选：D.

4.直角三角形的两条直角边长分别为2和3,那么它的斜边的长是（）

A.0或加B.4C.小D.713

【答案】D

【分析】根据勾股定理计算即可.

【详解】解：由勾股定理得，斜边长=户手=后，

故选：D.

5.在如图所示的直角三角形中，x=

12

【答案】13

【分析】直接利用勾股定理求解即可得出结果.

【详解】解：X=A/FWF=13，

故答案为：13.

6.如图，ZC=90°,AB=\2,BC=3,CD=4.若ZAB3=90。，则A。的长为

【答案】13

【分析】多次利用勾股定理求相关边的长即可.

【详解】解：在BCD中,

ZC=90°

...△BCD是直角三角形

在RtABCD中

VBC=3,CD=4

由勾股定理可得：

BD=^BC'+CET=耳+4?=5

,/ZABD=90°

...△A3。是直角三角形

在Rt&ABD中

V«A=12,BD=5

由勾股定理可得:

AD=yjAB^BD2=7122+52=13

故答案为：13.

7.如图，在AABC中，ZACB=90°,CO_LA3于点。，BC=3cm,AC=4cm,A8=5cm.请求出△ABC

的面积和CD的长.

【答案】△ABC的面枳为6cm2,

【分析】根据直角三角形面积公式即可求解三角形的面积，再根据直角三角形面积的两种计算方法求出斜

边上的高.

【详解】解：：NAC8=90。

=—BC-AC=—x3x4=6fcm2

22

=-ABCD

2

：.-ABCD=6

2

-x5C£>=6

2

/.CD=£(cm)

,12

答：△ABC的面积为6cm2,CO的长为M-cm.

题组B能力提升练

1.如图，ABC是边长为2的等边三角形，将沿直线3c平移至的位置，连接3。，则BO的

长是（）

D

A.73B.2C.2A/3D.3

【答案】C

【分析】根据题意得到△OCETA48C,进而得到。E=2,ZCBD=ZCDB=3G°,求出8E=2£）E=4,利用勾

股定理求出BD即可.

【详解】解：•••将oABC沿直线BC平移至‘OCE的位置，ABC是边长为2的等边三角形，

.,.△DCE^AABC,

NE=N4C8=60°,ZDCE=ZABC=60°,DE=2,CD=AB=BC,

：.NCBD=NCDB=3。。,

：.ZBDE=90°,

在中，BE=2DE=4,

BIAsiBE2-DE2=2x/3，

故选：C.

2.如图，/A0C=/80C,点尸在OC上，尸OJ_OA与点。，PELOB与点、E,若00=4,0P=5,则尸E的

长为（）

A.3B.GC.4D.V15

【答案】A

【分析】利用勾股定理列式求出PC,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD

【详解】解："：OD=4,0P=5,PDLOA,

，由勾股定理得，PDZ5?-4?=3,

VZAOC=ZBOC,PD1OA,PELOB,

:.PE=PD=3.

故选A.

3.如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形.己知大

正方形的面积是26,小正方形的面积是2,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,那么（〃+。）2

的值为（）.

A.28B.50D.169

【答案】B

【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到油的

值，然后根据3+初2=/+2。匕+〃即可求解.

【详解】根据勾股定理可得/+从=26，

四个直角三角形的面积是：1^x4=26-2=24,即加=24,

则（a+b）2=a2+2ab+/>2=26+24=50.

故选：B.

4.如图，字母8所代表的正方形的边长是（）

A.12cmB.15cmC.144cmD.306cm

【答案】A

【分析】根据勾股定理求出字母B所代表的IE方形的面积，根据正方形的性质计算，得到答案.

【详解】解：在RdDE尸中,由勾股定理得，。产+£尸2=。后，

，字母8所代表的正方形的面积=£尸2=。£2-£)产=225-81=144(cm2),

字母B所代表的正方形的边长=12(cm),

故选A.

5.周长为24,斜边长为10的直角三角形面积为.

【答案】24

【分析】设直角三角形两直角边长为mb,由周长与斜边的关系得。+匕=14,中由完全平方公式和勾股定

理求出时的值，即可求出三角形的面积.

【详解】解：解：设直角三角形两直角边长为a,b,

•••该直角三角形的周长为24,其斜边长为10,

/.24-(a+h)=10,

即a+b=\4t

由勾股定理得：«2+/72=102=100,

・.・(〃+〃)2=142,

a2+b2+2ah=196,

即100+2"=196,

而=48,

二直角三角形的面积=3"=24,

故答案为：24.

6.如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在

注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图连接四条线段得到如图2的新的图案.如果图1中的

直角三角形的长直角边为5,短直角边为3,图2中阴影部分的面积为S,那么S的值为.

图1图2

【答案】16

【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积.

【详解】解：由题意作出如下图，

得47=，3?+52=取,80=5-3=2,AB=CD,△AB。是直角三角形，

则大正方形面积=4C2=34,

19

△4。(7面积=:(5x3-2x3)=-,

22

9

阴影部分的面积S=34-44=16,

2

故答案为：16.

7.如图，在「ABC中，AB^AC,fiC=10,CDLAB,垂足为£>,C£>=8.求AC的长.

【答案】AC=y

【分析】由勾股定理可先求出8。的长，然后设AC=AB=x,则AD=x-6,进而根据勾股定理可建立方

程求解

【详解】解：8_LA8,

ZADC=^BDC=90°,

•；3c=10,8=8,

二在心8C£>中，BD=\jBC2-CD2=6>

设AC=A8=x,则A£>=x—6,

在R/AACC中，AC2=AD2+CD2,BPX2=(X-6)2+82,

2525

解得，乂=子，BPAC=y

8.如图，在，MC中，ZACB=90°,BC=\2,AC=16,CD是高.求CD的长.

【答案】y

【分析】在ABC中，由勾股定理可求得A8的长度，然后根据等积法即可求得C£>的长.

【详解】解：：在./BC中，ZACB=90°,BC=12,AC=16,

AB=dBC，+AC?=7122+162=20>

5AAfi£.=1^CAC=1xl2xl6=96,

又是,.血的高，

SZAAA/loKCr=-2ABCD=-2x20CD=96,

48

解得：CD=y,

48

•••CD的长为

9.如图，在四边形ABC。中，对角线AC,8。交于点E,ZBAC=90°,ZCED=45°,ZDCE=30°,DE=y/2,

BE=2-J1.求AC的长和四边形ABC。的面积.

AD

B

［答案］21M

2

【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=l,进而再利用直角三角形30。所对的直角边是斜边的一

半求出AC、AB的长，即可得出四边形A8C。的面积.

【详解】过点。作

VZCED=45°,DHLEC,DE=6,

EH=DH=1,

又：Z£>C£=30°,

ADC=2,HC=上,

,ZZAEB=45°,ABAC=90°.BE=2五,

，AB=AE=2,

AC=2+1+G=3+百，

smmABCD=；x2x(3+8)+；x]x(3+6)=■+；-1

10.勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹫，其中有著名的数学

家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：

把两个全等的直角三角形(R3ABC丝RtADAE)如图1放置，ND4B=/B=90。，AC_L£>E于点F,点E

在边A8上，现设RdACB两直角边长分别为CB=Z?、BA=a,斜边长为4C=c,请用a、氏c分别表示出

梯形ABC。、四边形AECD、aEBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理

(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；

(2)如图2,铁路上A、B两点(看作直线上的两点)相距40千米，8为两个村庄(看作直线上的两点)，

ADLAB,BCLAB,垂足分别为A、B,AO=25千米，8C=16千米，则两个村庄的距离为多少千米.

【答案】(I)见解析

(2)两个村庄相距41千米.

【分析】(1)根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出.

(2)连接C。,作CEJ_于点E,根据ADLAB,BC1.AB得至ljBC=AE,CE=AB,从而得至I」OE=AO-AE=24-16=8

千米，利用勾股定理求得CO两地之间的距离.

【详解】(1)解：S^.ABCD——ci(〃+。)，SAEBC——b(a-b),S^/--AECD——(?,

它们满足的关系式为：~ci(a+b)=5。(a-b)c2,

即a2+h2=(r^

(2)解：如图2①，连接CO,作于点£

图2

*：AD.LAB.BC-LAB,

:,BC=AE,CE=AB,

：.DE=16=9千米,

-'-CD=4DE?+CE,=W+4()2=4](千米),

，两个村庄相距41千米.

题组C培优拔尖练

1.如图，AB,BC,CD,OE是四根长度均为5cm的小木棒，点4、C、E共线.若AC=6cm,CDVBC,

则线段CE的长度是（）

A.7cmB.6^/2cmC.8cmD.875cm

【答案】C

【分析】过点B作BMLAE于点”，过点。作于点N,先根据三角形全等的判定定理证出

*BCM"DN,根据全等三角形的性质可得=CN,再根据等腰三角形的三线合一可得

CM=lAC=3cm,利用勾股定理可得8W=4cm,从而可得CN=4cm,然后根据等腰三角形的三线合一

即可得.

【详解】解：如图，过点3作于点M，过点。作DNLA石于点N,

・•./BMC=/CND=9Q0,

:./BCM+NCBM=90°,

CD上BC,

.・ZBCM+ZDCN=90。，

:"CBM=4DCN,

4BMC=/CND=90。

在43cM和△8N中，4cBM=4DCN,

BC=CD

:-BCMMCDN(AAS),

:.BM=CN,

,AB=BC=5cm,AC=6cm,BM_LAE,

:.CMAC=3cm(等腰三角形的三线合一)，

BM=\lBC2-CM2=4cm，

CN=4cm，

又：CD=DE,DNLAE,

.•.CE=2CW=8cm(等腰三角形的三线合一)，

故选：C.

2.如图RtAiABC中，/B=90。，BC=10,点尸是BA延长线上一点，过点F作FD〃8C,交C4延长线

于点。，点E是的中点，若BF=12,。尸=5则EF的长是()

DF

A.3B.5C.6.5D.6

【答案】c

【分析】延长在交8C于G,根据平行线的性质及利用AS4可得花一CGE,根据全等三角形的性质可

得FE=GE,CG=DF=5,进而可得BG的长，再利用勾股定理求出FG即可求得答案.

【详解】解：延长FE交BC于G,如图所示：

:./D=/C,

又,・,点E是OC的中点，

；・DE=CD,

在^DEE■和△CGE中，

ZD=ZC

DE=CE,

/DEF=NCEG（对顶角）

:.：DFE=^CGE{ASA）.

LFE=GE,CG=DF=5,

：.BG=BC-CG=10-5=5,

在RSFBG中,ZB=90°,

・•・FG=<BF2+BG?=J122+5z=13,

113

，FE=-FG=—=6.5,

22

故选：C.

3.如图在四边形A3CD中，AD//BC,ZD=90°,4）=5,BC=4,分别以A,。为圆心，大于;AC的

长为半径作弧，两弧交于点E,作射线的交AO于点F,交AC于点。，若点O是AC的中点，则CO的长

为（）

E

A.715B.y/ilC.3D.4

【答案】A

【分析】连接尸C,根据基本作图，可得0E垂直平分AC,由垂直平分线的性质得出AF=FC再根据ASA

证明△FOAg^BOC,那么Af=BC=4,等量代换得到FC=AF=6,利用线段的和差关系求出尸=1.

然后在RtAFDC中利用勾股定理即可求出CD的长.

【详解】解：如图，连接FC,由题可得，点E和点。在AC的垂直平分线上,

垂直平分4C,

：.AF=FC,

\'AD//BC,

：.ZFAO=ZBCO,

在AFOA与△80c中，

ZFAO=ZBCO

<OA=OC

ZAOF=NBOC

：.△尸OA丝△80C(AAS)：.A尸=BC=4,

：.FC=AF=4,FD=AD-AF=],

在△FDC中，ZD=90°,

CD2+DF2^FC2,

即CO2+12=42,

解得a)=A.

故选：A.

4.如图，已知.ABC为等边三角形，30为中线，延长8c至E,使CE=A£),连接。E,若DE=6贝hABC

的面积()

A.B

B.G

2

【答案】B

【分析】过点C作CF_LOE于点凡根据等边三角形的性质得出3O_LAC,AD=CD,ZACB=6Q°,

/48D=/C8C=30。，利用等边对等角确定/COE=30。，设CF=x,则CD=2x,根据勾股定理求解确定8=1,

利用含30度角的直角三角形的性质得出AC=2,再山勾股定理得出8庆后二产=豆，根据面积公式求解

即可.

【详解】解：过点C作CFLOE于点F,

••,AA8c为等边三角形，8。为中线，

ABDLAC,AD=CD,ZACB=60°,N4BD=/C8D=30°,

：.ZDCE=\20°,

,:CE=AD,

：.CD=CE,

：.ZCDE^30°,

是OE的垂直平分线，

,\DF=-DE=—,

22

：.设CF=x,则CD=2x,

（2x）2=/+（用，

解得：尸;（负值舍去），

.'.8=1,

.'.AC=2,BD=五一f=6,

A48c的面积为：；AC*BD=6,

故选：B.

5.如图，折叠直角三角形纸片，直角顶点C恰好落在斜边AB的中点E处，已知8c=3五，则OE之长为

【答案】72

【分析】根据折叠和直角三角形的性质可得NEW=N3=NC4Q=30。，继而得出AC=3BC=#，再结

3

合含30。角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.

【详解】折叠直角三角形纸片，直角顶点C恰好落在斜边A8的中点E处，

AC=AE=BE,BPAC=-AB,

2

AEAD=ZB=ZCAD=30°,

BC=3五，

:.AC=—BC=y/6,

3

AB=2AC=2yf6,

:.AE=BE=-AB=-j6,

2

设Z)E=x,则A£)=2x,由勾股定理得/+(6了=4/,

解得了=夜(-夜舍去)，

:.DE=6,

故答案为：应.

6.已知RtAABC中，AB=8,BC=10,N8AC=90。，则图中阴影部分面积为

【答案】24

【分析】根据阴影部分面积等于以A及4c为直径的半圆的面积与ABC的面积的和减去以8c为直径的半

圆面积即可求解.

【详解】解：RdABC中，AB=S,8c=10,NBAC=90。,

AC=yjBC2-AB2=6-

+S

•••5阴影部分=)%(3^8)+；乃(；4。)^ABC

=—x8x6

2

=24.

故答案为：24.

7.如图，在四边形ABC。中，AB//CD,ABA.BD,48=5,80=4,C£>=3,点E是AC的中点，则8E的

长为.

【答案】亚

【分析】过A点作4尸垂直于CC的延长线于尸点，构造直角三角形，计算出AC的长，再证明△ABC是等

腰三角形，然后在/?/△ABE中根据勾股定理计算BE的长.

'SAB//CD,ABLBD

.".CDVBD

：.ZABD=ZCDB=90°

延长CO至尸，作AFLCF于尸点

则N8£>F=90°,ZF=90°

四边形A5Z）尸是矩形

：.AF=BD=4,OF=AB=5

CD=3

/.CF=5+3=8

AC=>/82+42=底=46

•.•H△BCD中，CD=3,BD=4

：.BC=5

：.AB=BC

「△ABC是等腰三角形

•••点E是AC的中点

/.AE=-AC=2>/5,且B-

2

BE2=AB2—AE?=5~-（2石）2=5

BE=>/5

故答案为逐.

8.如图，正方形ABC。的边长为2,其面积标记为5-以C7）为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三

角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为邑，…，按照此规律继续下去，则反。”的值为

【答’案】尹瓦

【分析】根据勾股定理可得应2+四2=/2,从而得到$2=；*,依次类推，即可得到S3=gs2=；E，

找出规律，进而得到S2022的值.

【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形，

则CE=DE,庞2+应2=笈2,

22

；•2DE=CD,

即52=3=1?2?2，

同理可得：S=ls=ls,=l,

3254=1S3=1S,=^S1=1

，4ZoZZ.

a

9.如图，△ACS和^ECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90,的顶点A在.ECD的斜边ED±.,

连接应）.

(1)求证：△EAC丝△D5C.

(2)若AE=5,DE=17,求4c的长.

【答案】(I)证明见解析；(2)AC=M

2

【分析】(1)根据△ACB和△ECO都是等腰直角三角形，可直接得到相等的边和相等的角，用“边角边证明

出全等即可”;

(2)根据全等的性质，得到对应角/E=/CO8,对应边AE=BO=5,通过角度的等量代换，得到△A3。是

直角三角形，勾股定理即可求出A8的长度，最后用勾股定理求出AC即可.

【详解】(1)证明：和都是等腰直角三角形

：.EC=DC,AC=BC,ZECD=ZACB=90°

：.ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,即：NECA—DCB

EC=DC

在△EAC和△OBC中，■ZECA=ZDCB

AC=BC

，△E4C公△DBC(SAS)⑵由(I)可知△E4C丝△£>8C

AZE