2020春人教版八年级数学下册 第16章 全章教学设计

二次根式的除法

一、内容和内容解析

1.内容

二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。

2.内容解析

二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二

次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式

依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术

平方根的性质，最简二次根式.

二、目标和目标解析

1.教学目标

(1)利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的

性质；

(2)会进行简单的二次根式的除法运算；

(3)理解最简二次根式的概念.

2.目标解析

(1)学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式

的除法法则；

(2)学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘

除法法则，对简单的二次根式进行运算.

(3)通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次

根式的运算结果化为最简二次根式.

三、教学问题诊断分析

本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，

学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平

方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法

法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似，如果

分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算.教学中不能只是列

举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明

确运算方向.

本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间

的关系和应用.

四、教学过程设计

1.复习提问，探究规律

问题1二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎

样？

师生活动学生回答。

【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除

法法则.

2.观察思考，理解法则

问题2教材第7页“讨论”栏目，结果如何？有何规律？

师生活动学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次

根式除法法则：

一序之0,八0),

问题3对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有

何变化？

师生活动学生思考，回答。学生能说明根据分数的意义知道，分母不为

零就可以了.

【设计意图】学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法

法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现

错误.

问题4对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？

师生活动学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的

因数.

【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运

算.

问题5对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？

师生活动学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即

监=4(a20,&>0)

4b.利用该性质可以进行二次根式的化简.

3.例题示范，学会应用

-73逑昱

例1计算：⑴B(2)、②;(3)岳.

师生活动提问：你有几种方法去掉分母中的根号？去分母的依据分别是

什么？

再提问：第(2)用什么方法计算更简捷？第(3)题根号下含字母在移出

根号时应注意什么？

【设计意图】通过具体问题，让学生在实际运算中培养运算能力，训练运算

技能，

问题5你能从例题的解答过程中，总结一下二次根式的运算结果有什么

特征吗？

师生活动学生总结，师生共同补充、完善。要总结出：

（1）这些根式的被开方数都不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

（3）分母中不含根号；

【设计意图】引导学生及时总结，提出最简二次根式的概念，要强调，在

二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

问题6课件展示一组二次根式的计算、化简题.

【设计意图】让学生用总结出的结论进行二次根式的运算.

4.巩固概念，学以致用

例2教材

5.归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：

（1）除法运算的法则如何？对等式中字母的取值范围有何要求？

（2）你能说明最简二次根式需要满足的条件吗？

6.布置作业：

五、目标检测设计

II

1.在灰、石、心中，最简二次根式

为.

【设计意图】考查对最简二次根式的概念的理解.

2.化简下列各式为最简二次根式：后x屈*、历=；

1

聒一贬一.

【设计意图】复习二次根式的运算法则和运算性质.鼓励学生用不同方法

进行计算.对于分母含二次根式的处理，要结合整式的乘法公式进行计算.

3.化简：（1）x巧;（2）L+

【设计意图】综合运用二次根式的概念、性质和运算法则进行二次根式的运

算.

二次根式的加减

一、内容和内容解析

1.内容

二次根式加减运算.

2.内容解析

在二次根式性质和乘除运算的基础上，本课进一步学习二次根式的加减运

算.二次根式的加减法是把二次根式化为最简二次根式后，合并被开方数相同的

二次根式就可以了，所以本课内容与整式的加减法类似，在教学中可以让学生体

会类比思想的实质，通过具体例子，引导学生探索发现二次根式加减运算的核心

是合并被开方数相同的二次根式，基本依据是二次根式的性质和分配律.

基于以上分析，可以确定本课的教学重点是应用分配律进行二次根式的加

减运算.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）掌握二次根式加减运算的步骤和方法.

（2）会灵活运用二次根式的有关性质进行二次根式的加减运算.

2.目标解析

达成目标（1）的标志是学生经历类比合并同类项的方法后能探究归纳，

概括出二次根式加减运算的方法，先把每一个二次根式化成最简二次根式，再运

用分配律合并被开方数相同的二次根式.

目标（2）是通过例题教学使学生掌握运算的技巧方法，并能在练习中加

以运用，能说出依据.

三、教学问题诊断分析

类比思想是根据不同对象在某些方面的类似之处，猜想新、旧知识之间的联

系与区别.在二次根式的加减运算中，最后是合并被开方数相同的二次根式.但

几个二次根式是否可以合并，这一判断没有整式同类项的判断直接.前者往往

需要把每一个二次根式化成最简二次根式，这会造成学生学习的困难.所以在

教学教师引导学生进行类比时，指向一定要明确，由浅入深，总结得出“一化简”、

“二判断”、“三合并”的步骤.

本课的教学难点是准确判断可以合并的二次根式，灵活运用性质、算律运

算.

四、教学过程设计

(-)提出问题

问题1:你认为可以怎样计算J恒+花？

师生活动：让学生讨论，教师了解学生的思路，有的提出可化简求和，教师

适时给予肯定评价.

设计意图：通过分析如何计算J恒+花让学生了解到本课内容并不是孤立的

全新知识，而与二次根式的化简密切相关.

(二)探索新知，解决问题

问题2：化简2x+3x的结果是多少？

师生活动：学生回答，并复习合并同类项的方法.

追问1：你能化简2工+3y吗？

师生活动：学生指出它们不是同类项不能合并，老师给予肯定评价.

追问2：你能化简20+3点吗？

师生活动：教师引导学生类比合并同类项，令应=x,学生总结方法得出结

果.

追问3：能化简2应+3后吗？与上题2④+3应区别在哪？

师生活动：学生讨论，教师引导，令亚=x,导V,得出结论：不能血、

力的被开方数不相同.

设计意图：让学生经历类比合并同类项的方法去探究二次根式加减运算的方

法，

问题3：血、力都是最简二次根式，那J恒、曲是最简二次根式吗？

师生活动：学生回答：不是，J恒=30、&=2五,教师给予肯定评价.

追问：如何化简质+曲？

师生活动：学生讨论得出J南+的=30+2/=50，教师引导学生类比

合并同类项，总结得出二次根式加减运算的方法.“先化成最简二次根式，再

把被开方数相同的二次根式进行合并.”

设计意图：让学生感受到合并同类项与二次根式加减运算的联系与区别，

归纳概括出二次根式加减运算的步骤.“一化简，二判断，三合并.”

问题4：化简瓦+J后.

师生活动：学生独立思考计算，请学生板演，说出计算步骤与依据（二次

根式的性质和分配律）.

设计意图：将具体数字的运算推广到含有字母的一般二次根式加减运算，

渗透从特殊到一般的转化思想，同时强化算理.

（三）典型例题

例1计算（1）；

2712-+3-748

(3)(4)(病+屈)+(4-/).

师生活动：学生独立完成计算，教师强调步骤和算理，对出现的错误给予评

价.

设计意图：通过例题的教学，使学生进一步巩固二次根式加减运算的步骤

和算理.

练习1下列计算是不正确？为什么？

(1)场-也=&-3；(2)&+由=也+9；

(3)岳岳=J9x27；(4)a一啦=2血.

练习2计算

(1)2币-6币;(2)--1^7).

(3)-^0--7204--^；(4)

(6)a2^Sa+3aV50a3.

设计意图：练习1可引导学生辨析计算中的常见错误；练习2加强对己学知

识的复习，检验本堂课教学的知识目标达成度.

（四）课堂小结

1.二次根式加减运算的一般步骤与依据是什么？

2.在二次根式加减运算中，有哪些地方易错？

设计意图：通过归纳总结，实现学生记忆的优化，知识的内化.

五、同步练习

1.填空

V2_V2

(1)5屿+4石=__________________(2)T~-r

（3）瓜+-5蕊=（4）

3币—2r+后—3忑）—

设计意图：用分配律做二次根式加减运算.

2.下列二次根式能与血合并的是（）

①加②厅③£④

772

A.①与②B.②与③C.③与④D.①与④

设计意图：强调二次根式加减运算的基础是将二次根化成最简二次根式.

二次根式的性质

教学目标

（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；

（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；

（3）了解代数式的概念.

二、教学重点：二次根式的性质和应用

三、教学难点：运用二次根式的性质进行二次根式的化简。

四、教学过程：

（一）自学指导：

1、当a>0时，石表示2的（），因此，石（）0；当a=0时，石

表示a的(),因此而=()；就是说而(a20)总是一个()

数。

2、问题1你能解释下列式子的含义吗？

(/)2,(&)*,11，),(0))

这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.

问题2根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.

3)2=;(3)2=;[A);

(拘2_,

学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据.

问题3从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律

吗？

师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：(6)2=。(a20)

例2计算

⑴(0歹；(2)Q我二

(二)合作探究：

问题4你能解释下列式子的含义吗？

P而,后,府\(这些式子都表示一个数的平方的算术平方根.)

问题5根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.

,而=,后=,把=.

问题6从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律

吗？

师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：6=a(a20)

例3计算

(1)灰;(2)斤?.

3.归纳代数式的概念

问题7回顾我们学过的式子，如5,a,a+b,-ab,7,也,而(a

20),这些式子有哪些共同特征？

师生活动：学生概括式子的共同特征，得出代数式的概念.

4.综合运用

(1)算一算：

(34-Q5舟；旧:一FJ)：

(2)想一想：G中，a的取值范围是什么？当a20时，G等于多少？当

时，G又等于多少？

(3)谈一谈你对(布P与旧的认识.

5.总结反思

(1)你知道了二次根式的哪些性质？

(2)运用二次根式性质进行化简需要注意什么？

(3)请谈谈发现二次根式性质的思考过程？

(4)想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对

代数式的认识.

6.布置作业：教科书习题16.1第2,4题.

五、目标检测设计

1..•7?=；"(70)2=.

2.下列运算正确的是()

A.(&丫=2B.(-72)2=-2c.正2)2=-2D.

-7HF=2

3.若&-2)2=2-a,则a的取值范围是.

4.计算:如_正5y-(2")2.

二次根式的乘法

一、内容和内容解析

1.内容

二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.

2.内容解析

二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章，因此承担着整理“数与

式”的内容、方法和基本思想的任务.本节研究二次根式的乘法运算.

本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.

二、目标和目标解析

1.教学目标

经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程；会进行简单

的二次根式的乘法运算；

2.目标解析

(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则

的内容；

(2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，进行简

单的二次根式的乘法运算.

三、教学问题诊断分析

本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于

何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算

能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，

整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力

气.，培养学生良好的运算习惯.

本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用.

四、教学过程设计

1.复习引入，探究新知

我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次

根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.

问题1什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？

师生活动学生回答。

【设计意图】乘法运算需要用到二次根式的性质.

2.观察比较，理解法则

问题2简单的根式运算.

师生活动学生动手操作，教师检验.

问题3指•、加=、.成立的条件是什么？等式反过来有什么价值？

师生活动学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质.

【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则

的掌握情况.乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的,

积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根

的积.

3.例题示范，学会应用

例1化简：(1)716x81；(2)石谖.

师生活动提问：你是怎么理解例(1)的？

如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成此痛可

以吗？你认为本题怎样才达到了化简的效果？

师生合作回答上述问题.对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开

得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质阴=W将其移出根号外.

再提问：你能仿照第(1)题的解答，能自己解决(2)吗？

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向.

积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简.

例2计算：(1)V14x^7.(2)3君x2、伍;(3)

师生活动学生计算，教师检验.

(1)在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由而直

接可得*2而不必先写成屈再分解;

(2)二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是

适用的.对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，

再对根式进行运算；

(3)例(3)的运算是选学内容.让学有余力的学生学到“根号下为字母

的二次根式”的运算.本题先利用积的算术平方根的性质，得到展，然后利用

二次根式的乘法法则，变成夕由于3x20可以判断xNO,因此直接将*

移出根号外.

【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公

式简化运算.让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算

律，关于整式运算的公式和方法也适用.

教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应

强调，看到根号就要注意被开方数的符号.可以根据二次根式的概念对字母的符

号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题.

4.巩固概念，学以致用

练习：教科书第7页做一做.

【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况.

5.归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：

(1)你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？

(2)你能说明乘法法则逆用的意义吗？

(3)化简二次根式的基本步骤是怎样？一般对最后结果有何要求？

6.布置作业：教科书第9页习题选做.

五、目标检测设计

1.下列各式中，一定能成立的是()

A.2.5)。=(7^司B.忑7=体?

C.—2x+l=x-1D.J—-9=-jx-3-Jx+3

【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的

基础.

2.化简J(-36)X16*(-9)=0

【设计意图】二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根

式.

3.已知a<5,化简二次根式Jr%的结果是()

A.-a-J-abB.a^-abC.a~JabD.

J-ab

【设计意图】巩固二次根式的性质，利用积的算术平方根的性质正确化简二

次根式.

二次根式的定义

教与目标

【知识与技能】

1.理解二次根式的概念，并利用&(aNO)的意义解答具体题目.

2.理解&(a20)是非负数和(&)2=a.

3.理解J/=a(a^O)并利用它进行计算和化简.

【过程与方法】

1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出6(a20)是一个非

负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(&)2=a(a»0),最后运用结论

严谨解题.

3.通过具体数据的解答，探究向=F("N°)并利用这个结论解决

具体问题.“"I-a(«<0)

【情感态度】

通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念

及二次根式的有关性质.

【教学重点】

1.形如五(a20)的式子叫做二次根式.

2.8(a20)是一个非负数；(五')2=a(a^O)及其运用.

肝—(心0)

【教学难点】

利用(a»0)”解决具体问题.

关键：用分类思想的方法导出a(aNO)是一个非负数；用探究的方法导出

肝—y(心0)

I-a(a<0)

¥教孚国土

一、情境导入，初步认识

回顾：

当a是正数时，〃■表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.

当a是零时，〃■等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.

当a是负数时，〃■没有意义.

【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.

二、思考探究，获取新知

概括：6(a20)表示非负数a的算术平方根，也就是说，W(a20)

是一个非负数，它的平方等于a.即有：

(1)&20；(2)(疝2=a(a20).

形如〃’(aNO)的式子叫做二次根式.

注意：在〃■中，a的取值必须满足a20,即二次根式的被开方数必须是非

负数.

思考：77等于什么？

我们不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3等，分别计算对应的后的值，

看看有什么规律.

概括：当a20时，7?=a；当a<0时，7^=-a.

三、运用新知，深化理解

1.x取什么实数时，下列各式有意义？

(3)V(.t-3)2；(4)^57^4+

2.计算下列各式的值：

(1)(V18)2(2)(1尸

(3)(，)2(4)(35尸

3.若67T+7n=0,求(产4+/严4的值

4.化简：

(1)。；(2)GZ产；

(3)唇(4)--3广

5.若一3W%W2H寸，试化简I%-2I

+“X+3)2.

【答案】1.(1)*W于(2)%三-1且%工

4

4

2(3)全体实数(4"=；

29

2.(1)18(2)胃(3)4(4)453.2

316

4.(1)3(2)4(3)5(4)35.5

【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：(1)(V^)2=a(a^O)；(2)

当a»0时，=a；当a<0时，=~a.

2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和

知识归纳.

T课后作业

1.布置作业：从教材相应练习和''习题”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

,"教学反思

本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计

算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获

得数学知识与技能，体验教学活动的方法.

二次根式的混合运算

一、内容和内容解析

1.内容

二次根式的加减乘除混合运算.

2.内容解析

二次根式的混合运算是本章所学内容的综合运用，运算过程中用到乘法分

配律，还需用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，教学中要注意让学生体会二

次根式的运算与整式运算的联系.

基于以上分析，可以确定本课的教学重点是运用乘法分配律、多项式乘法

法则及乘法公式进行二次根式的加减乘除混合运算.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）掌握二次根式混合运算的法则，合理使用运算律.

（2）灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便.

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能在有理数混合运算及整式的混合运算基

础上，类比得出二次根式混合运算的法则及算理.

目标（2）是通过类比整式乘法公式让学生能熟练进行二次根式混合运算.

三、教学问题诊断分析

二次根式的混合运算，困难在于让学生体会二次根式的运算与整式运算的

联系.在二次根式运算中，法则和