圆知识点复习

圆的知识点复习

知识点1垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

1.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽46=800mm,

则油的最大深度为mm.

2.如图，在AABC中，NC是直角，AC=\2,BC=16,以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于。，求

AO的长。

知识点2

定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。

1.如果两条弦相等，那么（）

A.这两条弦所对的弧相等B.这两条弦所对的圆心角相等

C.这两条弦的弦心距相等D.以上答案都不对

2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是一，弦所对的圆心角是.

3.如图，AB为。0直径，E是中点，OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=.

4.如图，AB和DE是。0的直径，弦AC〃DE,若弦BE=3,则弦CE=.

5.如图，已知A8、为。。的两条弦，弧4。=弧86;求证：AB=CD。

6.如图，为。。的直径，OA是。。的半径，弦求证：AC=AE。

知识点3

圆周角定理

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形性质：

圆内接四边形的对角互补。

题型

1.下列说法正确的是（）

A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角

C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

2.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（）

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

3.等边三角形ABC的三个顶点都在。0上,D是弧AC上任一点（不与A、C重合），则NADC的度数是

4.。0中，若弦AB长20cm,弦心距为&cm,则此弦所对的圆周角等于-

5.如图，在。0中，AB是直径,CD是弦,AB_LCD.

（1）P是弧CAD上一点（不与C、D重合），试判断/CPD与NC0B的大小关系，并说明理由.

（2）点P'在劣弧CD上（不与C、D重合时），/CP'D与NCOB有什么数量关系?请证明你的结论。

24.2点、直线、圆和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

知识点1点和圆的位置关系

知识点2确定圆的条件

不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

知识点

三嗡%的3外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

1,若。。所在平面内一点P到。O上的点的最大距离为a,最小距离为b（a>b）,则此圆的半径为（）。

a+ba-ba+ba-b

A.2B.2C.2或2D,a+b或a-b

2.三角形的外心是（）

A.三条中线的交点B.三条边的中垂线的交点C.三条高的交点D.三条角平分线的交点

3.下列命题不正确的是（）

A.三点确定一个圆B.三角形的外接圆有且只有一个C.经过一点有无数个圆D.经过两点有无数个圆

4.锐角三角形的外心位于，直角三角形的外心位于，钝角三角形的外心位于。

5.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是。

6.AABC的三边为2,3,V13,设其外心为0,三条高的交点为11,则011的长为。

7.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离A

相等,求作供水站的位置（不写作法,尺规作图，保留作图痕迹）o°

••

BC

8.如图，已知在AABC中，NACB=90",AC=12,AB=13,CDJ_AB,以C为圆心,5为半径作。C,试判断A,D,B三点

与。C的位置关系。

9.已知AABC内接于0D1BC,垂足为D,若BC=2百，0D=l,求/BAC的度数。（注意：分类讨论）

24.2.1直线和圆的位置关系

知识点1基本概念

知识点2直线和圆的位置关系的判定

1.在平面直角坐标系中，以点（2,1）为圆心，1为半径的圆，必与（）

A.x轴相交B.y轴相交C.x轴相切D.y轴相切

2.已知。。的半径为5cm,直线1上有一点Q且0Q=5cm,则直线1与。0的位置关系是（）

A、相离B、相切C、相交D、相切或相交

3.已知圆的半径等于10厘米，直线和圆只有一个公共点，则圆心到直线的距离是______»

4.OM与x轴相交于点A（2,0）,B（8,0）,与y轴相切于点C求圆心M的坐标.

知识点3

切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

1.PA是。。的切线，切点为A,PA=2拒,ZAP0=30°,则（DO的半径长为

AB

图4

2.如图，/PAQ是直角，。。与AP相切于点T,与AQ交于B、C两点.

(1)BT是否平分NOBA?说明你的理由；

(2)若已知AT=4,弦BC=6,试求。0的半径R.

3.在Rt^ABC中，ZB=90°,NA的平分线交BC于D,以D为圆心，DB长为半径作。D,

试说明：C是。D的切线。

4.已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB1BC,以腰DC的中点E为圆心的圆与AB相切，梯形的上底AD

7

与底BC是方程x--iox+16=0的两根，求(DE的半径r。

5.如图，Z\ABC内接于。O,直线EF经过B点，ZCBF=NA。求证：EF是。O的切线。

6.如图，RtAABC中，ZB=90°,。是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E,交AC

于点D,其中DE〃OC。

(1)求证：AC为。。的切线。

(2)若AD=2G，且AB、AE的长是关于x的方程x2-8x+k=0的两个实数根，求。O的半径、CD的长。

7.如图，AB为。O的直径，D为BE的中点，DCLAE交AE的延长线于C。

(1)求证：CD是(DO的切线。

(2)若CE=1,CD=2,求。O的半径。

8.如图，钝角△ABC,CD1AC,BE平分NABC交AC于E,且NCEB=45。，以AD为直径作。O。

(1)求证：BC是。O的切线。

(2)若。O直径为10,AC=BC,求△ABC的周长。

9.如图，Z^ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN,若/MAC=NABC.

(1)求证：MN是半圆的切线。

(2)设D是弧AC的中点，连结BD交AC于G,

过D作DEJ_AB于E,交AC于F.求证：FD=FG。

知识点4

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条

切线的夹角。

1.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18,从这点到圆的最短距离为()

A.9百B.9(V3-1)C.9(V5-1)D.9

2.有圆外一点P,PA、PB分别切。。于A、B,C为优弧AB上一点，若NACB=a,则NAPB=()

A.180°-aB.900-aC.90°+aD.1800~2a

6.如图，PA、PB分别切。。于A、B,并与。0的切线分别相交于C、D,已知PA=7cm,贝

△PCI)的周长等于。\*0)

CB

7.如图，。。的直径45=2,AM和BN是它的两条切线，OE切。。于E,交AM于D,交BN于C。设

AD=x,BC=yo

(1)求证：AM//BN(2)求y关于x的关系式

8.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为(-3,-2),0A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切。A于点Q,

则当PQ最小时，求P点的坐标是多少？.v

9.如图，△力比'中，NC=90°,AC^8cm,力6=10cm,点。由点。出发以每秒2cm的速度沿。向点力运动(不

运动至4点)，。。的圆心在彼上，且。。分别与49、力。相切，当点尸运动2秒钟时，求。。的半径。

10.已知：ZMAN=30°,0为边AN上一点，以0为圆心、2为半径作。0,交AN于D、E两点，设AD=x.

(1)如图⑴当x取何值时，。。与AM相切；

(2)如图⑵当x为何值时，。。与AM相交于B、C两点，且/B0C=90°。

图⑴

图(2)

知识点5

内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

1.已知△ABC的内切圆0与各边相切于I）、E、F,那么点0是ADEF的（）

A.三条中线交点B.三条高的交点

C.三条角平分线交点D.三条边的垂直平分线的交点

2.如图，。。为aABC的内切圆，NC=90°,A0的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则。0的半径等于（）

B.-C.-D.-

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3.直角三角形有两条边是2,则其内切圆的半径是o

4.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8.求aABC的内切圆半径r。

24.3正多边形和圆

知识点1正多边形和圆的关系

知识点2正多边形有关概念

知识点3正多边形的有关角

1.若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（）

A.36°B、18°C.72°D.54°

2.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）

A.互余B.互补C.互余或互补D.不能确定

3.如果正三角形的边长为a,那么它.的外接圆的周长是内切圆周长的倍。

4.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积。

24.4弧长和扇形面积

知识点1计算公式

Ln。的圆心角所对的弧长：/=—

180

2.扇形面积：（由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形）

H7TR2

方法—s扇形=S扇形=

方法二：2

1.如果一条弧长等于/,它的半径等于R,这条弧所对的圆心角增加「，则它的弧长增加（）

2.扇形的周长为16,圆心角为幽，则扇形的面积是（）

A.16B.32C.64D.16n

3.如图，AB是半圆。的直径，以。为圆心，为半径的半圆交A8于E,尸两点，弦4c是小半圆的切线,

。为切点，若OA=4,OE=2,则图中阴影部分的面积为。

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4.如图，在中，NC=90,NA=60',AC=J5cm