2021年全国统一高考数学试卷（新高考ⅱ） 含答案

2021年全国统一高考数学试卷（新高考n）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.（5分）复数21在复平面内对应点所在的象限为（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）若全集。={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,3,4},贝llAACuB

=（）

A.{3}B.{L6}C.{5,6}D.{1,3}

3.（5分）若抛物线f=2px（p>0）的焦点到直线y=x+l的距离为我，则p=（）

A.1B.2C.2MD.4

4.（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地

球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000b〃（轨道高度是

指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径/•为6400%?的球，其上

点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到的一颗地球静

止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,该卫星信号覆盖地球表面的表面积S=2nJ（1-

cosa）（单位：kn，）,则S占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

5.（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+1273B.28MC.因D.义返

33

6.（5分）某物理量的测量结果服从正态分布N（10,。2）,则下列结论中不正确的是（）

A.。越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.1）内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等

7.（5分）己知a=log52,匕=k>g83,c=上，则下列判断正确的是（）

2

A.c<h<aB.b<a<cC.a<c<hD.a<b<c

8.（5分）已知函数/（x）的定义域为R,.f（x+2）为偶函数，/（2A+1）为奇函数，则（）

A./(--1)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项是符合题目要求的。全选对得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）

（多选）9.（5分）下列统计量中，能度量样本xi，X2，…，X”的离散程度的有（）

A.样本xi,必，…，X”的标准差

B.样本X”X2，…，X”的中位数

C.样本xi，X2，…，X”的极差

D.样本xi，X2，…，初的平均数

（多选）10.（5分）如图，下列正方体中,。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为

（多选）11.（5分）已知直线/：or+by-，=0与圆C：/+_/=/,点A（a,b）,则下列说

法正确的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点4在圆C外，则直线/与圆C相离

D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

（多选）12.（5分）设正整数L=oo・2°+ai设口…+延-r2*1+研2匕其中°汜{0,1},记3

（〃）=a（）+a\+"-+ak>则（）

A.3（2M）=3（«）B.3（2〃+3）=3（«）+1

C.3（8n+5）=3（4"+3）D.3（2"-1）=〃

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）

13.（5分）已知双曲线止-武=1（a>0,/?>0）的离心率e=2,则该双曲线的渐近线

2,2

ab

方程为.

14.(5分)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(x)：.

®f(xi%2)=f)f(X2);②当(0,+°°)时，f(x)>0；(x)是奇函数.

15.(5分)已知向量:+E+3=G1m=1，后1=[3=2,则小芯+芯・451=.

16.(5分)已知函数f(x)=\ex-l|,Xi<0,%2>0,函数/(x)的图象在点A(xi,/(xi))

和点B(X2,f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则驷，的取

iBNl

值范围是.

四、解答题(本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答

案填在答题卡上)

17.(10分)记为是公差不为0的等差数列｛斯｝的前〃项和，若。3=$5,aia4=S4.

(I)求数列｛〃“｝的通项公式斯；

(II)求使%>即成立的n的最小值.

18.(12分)在△A8C中，角A,B,C所对的边长为a,b,c,b=a+l,c=a+2.

(I)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积；

(ID是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在,

说明理由.

19.(12分)在四棱锥Q-ABC。中，底面ABC3是正方形，若AO=2,QD=QA=辰,

QC=3.

(I)求证：平面QADJ_平面A8CD；

(II)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

20.(12分)已知椭圆C的方程为9+9=1(a>6>0),右焦点为尸(料，0),且离心

率为运

3

(I)求椭圆C的方程；

(H)设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线7+夕=及(x>0)相切.证明：M,

N,尸三点共线的充要条件是|MN|=F.

21.(12分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第。代，

经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每代繁殖的个

数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X

=i)=p/(i=0,1f2,3).

(I)已知〃o=O.4,pi=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X)；

(II)设〃表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：

po+pix+pif+ps^ux的一个最小正实根，求证：当E(X)W1时，p=l,当E(X)>1

时，pVl；

(III)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

22.(12分)已知函数/(x)=(x-1)-ax^^-h,

(I)讨论/(x)的单调性；

(II)从下面两个条件中选一个，证明：/(X)恰有一个零点.

1J

@—<a^——,b>2a；

22

②OVQV工,bW2a.

2

2021年全国统一高考数学试卷（新高考H）

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.（5分）复数2L在复平面内对应点所在的象限为（）

l-3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案.

【解答】解：•.•2L=鸟》^当土卫=咨_』4「

l-3i（l-3i）（l+3i）]2+（.3）21022

•••在复平面内，复数2匚对应的点的坐标为（工，工），位于第一象限.

l-3i22

故选：A.

2.（5分）若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},8={2,3,4},则ACICuB

=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6）D.{1,3}

【分析】先利用补集的定义求出CuB,再利用交集的定义求解即可.

【解答】解：因为全集£/={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B=[2,3,4）,

所以Cu2={l，5,6）,

故4CCuB={l,6}.

故选：B.

3.（5分）若抛物线V=2px（p>0）的焦点到直线y=x+l的距离为M，则p=（）

A.1B.2C.2&D.4

【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可.

【解答】解：抛物线V=2px（p>0）的焦点（R,0）到直线y=x+l的距离为加，

2

l^-0+l|

可得上■尸一3解得p=2.

V27"

故选：B.

4.（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地

球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000的？（轨道高度是

指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径r为6400h〃的球，其上

点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到的一颗地球静

止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,该卫星信号覆盖地球表面的表面积S=2TtM（1-

cosa）（单位：Art?）,则s占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【分析】由题意，地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，求解cosa,根据卫

星信号覆盖的地球表面面积可得S占地球表面积的百分比.

【解答】解：由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，

地球睁止同步轨道

则OP=36000+6400=424000,那么cosa=6400

4240053

卫星信号覆盖的地球表面面积S=2TTJ（1-cosa）,

2

那么，S占地球表面积的百分比为271r）=至_%42%.

4兀/

故选：C.

5.（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

D.萼

A.20+12立B.28圾56

~3

【分析】过A作AE_L48i，得AIE=2N=1,

2

出正四棱台的体积.

【解答】解：如图A8CO-A向CIOI为正四棱台，AB=2,A向=4,A4i=2.

在等腰梯形481BA中，过4作AELAiBi，可得4归=生2=1,

2

42=也12_庆通2=^^1=痣

连接AC,AC”

AC=V4+4=2V2-AICI=<L6+16=4加,

过A作AG_LA1C1，4G=啦-2a=料,

2

AG=22==,

^AA1-A1G^2^2

正四棱台的体积为：

s上+s=+4s上，s下

丫=-------------------Xh

o

_22+42+^22X42乂

---------3---------*亚r

=28&

3,

6.(5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,。2),则下列结论中不正确的是()

A.。越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

【分析】利用正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义对四个选项逐一分析判断即可.

【解答】解：因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10,。2),

所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差。2越小，则分布越集中，

对于A,。越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内

的概率越大，故选项4正确；

对于B,测量结果大于10的概率为0.5,故选项8正确；

对于C,由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概

率，故选项C正确；

对于£>,由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10,

10.3)分布在10附近的区域，

故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项O错误.

故选：D.

7.(5分)己知。=k)g52,b=log83,c=X,则下列判断正确的是()

2

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【分析】可得出10比2<£，log83>y-然后即可得出b,c的大小关系.

££

【解答】解：log52-logsS?loggBAloggS?4，

.".a<c<h.

故选：C.

8.(5分)已知函数/(x)的定义域为R,/(x+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数，则()

A./(-A)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D./•⑷=0

2

【分析】根据/(x+2)为偶函数，可得/(x+4)=/(-X),/(2x+l)为奇函数，可得/

(-2x+l)=-f(2x+\),即可判断选项.

【解答】解：•••函数f(x+2)为偶函数，

：.f(2+x)=/(2-x),

V/(2x+l)为奇函数，

•V(1-2JV)=-f(2x+l),

用x替换上式中2x+l,得/(2-x)=-f(x),

:.f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),即/(x)—f(x+4),

故函数/(x)是以4为周期的周期函数，

'：f(2x+l)为奇函数，

：.f(1-2x)=-f(2x+l),即/(2x+l)+f(-2x+l)=0,

用x替换上式中2x+l,可得，/(x)+f(.2-x)=0,

'.f(x)关于(1,0)对称，

又•"⑴=0,

.V（-1）=/（-1+4）=/（3）=-/<!）=0.

故选:B.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项是符合题目要求的。全选对得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）

（多选）9.（5分）下列统计量中，能度量样本加，X2,…，心的离散程度的有（）

A.样本XI，X2,X”的标准差

B.样本x\,X2>X”的中位数

C.样本XI,X2,X”的极差

D.样本XI，XI，X”的平均数

【分析】利用中位数、标准差、极差、平均数的定义以及含义分析求解即可.

【解答】解：中位数是反应数据的变化,

方差是反应数据与均值之间的偏离程度,

极差是用来表示统计资料中的变异量数,反映的是最大值与最小值之间的差距,

平均数是反应数据的平均水平,

故能反应一组数据离散程度的是标准差,极差.

故选：AC.

（多选）10.（5分）如图，下列正方体中,。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为

正方体的顶点，则满足尸的是（）

C.

【分析】对于A,设正方体棱长为2,设MN与OP所成角为0,求出tanO=Y0,

从而

2

不满足MNLOP；对于8,C,D,作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2,利用向量

法进行判断.

【解答】解：对于4,设正方体棱长为2,设与。尸所成角为0,

则tan0=丁」一=返，.•.不满足MALLOP,故A错误;

对2

对于8,如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2,

则N(2,0,0),M(0,0,2),P(2,0,1),O(1,1,0),

而=(2,0,-2),QP=(1，-1，1)，

MN•0P=0，；•满足MN,OP,故8正确；

对于C,如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2,

则M(2,2,2),N(0,2,0),O(1,1,0),P(0,0,1),

MN=(-2,0,-2),QP=(7，-1，1)，

诵•而=0,.•.满足MNLOP,故C正确；

对于£>,如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2,

则M(0,2,2),N(0,0,0),P(2,1,2),O(1,1,0),

MN=(0,-2,-2),0P=(1,0,2),

诵•而=-4,.•.不满足MNLOP,故。错误.

故选：BC.

(多选)11.(5分)已知直线/：ax+by-J=0与圆C：/+/=/,点A(a,b),则下列说

法正确的是()

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离

D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.

【解答】解：•••点4在圆C上,

/+匕2=於,

10Xa+0Xb-r之r2

圆心C(0,0)到直线/的距离为d=

直线与圆C相切，故A选项正确,

点A在圆C内,

/+如〈出

|0Xa+0Xb-r2||「2|

圆心C(0,0)到直线/的距离为d=

2-2

a+b

直线与圆C相离，故B选项正确,

点A在圆C外,

10Xa+0Xb-r2

圆心C(0,0)到直线/的距离为d=^X<n

2-2=2-2

a+ba+b

直线与圆C相交，故C选项错误,

点A在直线/上,

a2+b2=r2',

|0Xa+OXb-r2|Ir2|

圆心C(0,0)到直线/的距离为d=

a2+-b2

.•.直线与圆C相切，故。选项正确.

故选：ABD.

(多选)12.(5分)设正整数”=ao・2°+ai+…+鼐-1•2*1+四・2”，其中劣6{0,1},记3

(〃)=ao+a\+-+ak>则()

A.3(2M)=3(«)B.3(2〃+3)=3(〃)+1

C.3(8"+5)=3(4"+3)D.3(2"-1)="

【分析】2〃=ao・2i+ai,2?+…+你一1・24+魂・2"1可判断A；取〃=2可判断8；

把8"+5和4"+3都化成n=ao^)+ai'2'+-+ak-\*2k''+ak*2k,可判断C；

2"-l=I・2°+I・2i+・+l・2"”可判断O.

【解答】解：方法1：2n=a(),21+a।•22+,,,+ak-1,2k+ak,2A+1»co(2/1)=CD(/i)=a()+ai+,,•

+ak>对；

当”=2时,2n+3=7=P2°+l*2'+l*22,Aw(7)=3.V2=O>2o+l»2',Aw(2)=0+1

=1,Aco(7)#3(2)+1,-B错;

34/:+3234K3

8«+5=ao-2+ai•2+*+w«2+5=1.2°+l«2+670*2+<71•2+«+ar2,

/.(i)(8"+5)="o+ai+・+aK+2.4n+3=ao*2~+ai•2',+*+az；,2^+'+3=1*2^+1,21+«o*22+ai

•23+,+W2;:+2,

；.3(4"+3)=a()+ai+•+ak+2=(8"+5).C对；

n01,,l,,

V2-l=P2+P2+«+l«2).,.w(2-l)=n,.二。对.

方法2：根据题意得n<io>—akak-\*a\ao⑵，

3(n)为"的二进制表示下各位数字之和.

对于选项A,2〃在二进制意义下为末尾添0,不改变各位数字之和.

对于选项8,2n+3是二进制意义下末尾添0,然后加上11⑵，可能会改变各位数字之和，

如10⑵-111(2).

对于选项C,8〃+5是二进制意义下末尾添101,4〃+3是二进制意义下末尾添11,各位数

字之和相等.

对于选项。，(2"-各位数字之和为七

、n个1’

综上所述：选项4CD符合题意.

故选：ACD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）

13.(5分)已知双曲线2匕-工：=1(a>0,b>0)的离心率e=2,则该双曲线的渐近线

22

aub

方程为v=±\/^r・

【分析】根据双曲线离心率为2,列出关于4、匕的方程，解之得b=由双曲线渐

近线方程的公式可得到该双曲线的渐近线方程.

22

【解答】解：•••双曲线的方程是¥-%=l(a〉O,b>0)，

...双曲线渐近线为y=±且x

a

又•离心率为e=£=2,可得c=2n

a

.*.c2=4a2,BPa2+fe2=4«2.可得

由此可得双曲线渐近线为y=±V3x

故答案为：y—±，^x

14.(5分)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)："x)=/.

®fCxiX2)=f(x\)f(X2);②当(0,+8)时-，/(x)>0；@f(x)是奇函数.

【分析】可看出/(x)=/满足这三个性质.

22=22;

【解答】解：f(x)=AHt,f(x1X2)=(x1X2)x1x2=f(x1)f(x2)当疣

(0,+8)时，f(x)=2x>0；f(无)=2x是奇函数.

故答案为：/(%)=?.

另解：累函数/(x)=九〃(a>0)即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，

综上所述，取/(X)=/即可.

15.(5分)已知向量a+b+c=0，lal=l，lbl=lcl=2,则a，b+b，4c・a=-、.

2

【分析】a+b+c=0u>a+b=-c或a+c=-b或b+c=-a，三等式两边平方可解决此

题.

【解答】解：方法1：由a+b+c=0得a+b=-c或a+c=-b^Kb+c=-a,

:.(a+b)2=(-c)2或(a+c)2=(-b)之或(b+c)2=(-a)2>

又••,|al=l，lbl=ld=2,.,.5+2a'b=4,5+2a，c=4,8+2b*c=1»

-*•a*b=」，a*c=」，b*c='，*"-a*b+a*c+b*c=-—•

2222

故答案为：-9.

2

方法2：0nWH1S1112-£|2=0b44=9

222

故答案为：——.

2

16.(5分)已知函数/(k)=\^-1|,总<0,X2>0，函数/(x)的图象在点A(xi,f(xi))

和点8(X2,/(X2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则料，的取

iBNl

值范围是(0,1).

【分析】分别求得x<0,x>0时，f(x)的解析式和导数，可得切线的斜率和方程，令

x=0,可得M,N的坐标，再由两直线垂直的条件和两点的距离公式，化简整理，可得

所求范围.

【解答】解：当x<0时，/(x)=1-导数为/(x)=-，，

可得在点4G1，1-声)处的斜率为心=-用，

切线AM的方程为y-(1-R)=-用(x-xi),

令x=0,可得y=l-川+xiR,即M(0,1-囚+加川)，

当x>0时，f(x)=^-1,导数为/(x)=",

可得在点8(“2,”7)处的斜率为七=£%

令x=0,可得-1-X2/2，即N(0,-九2，)，

由/(x)的图象在A,B处的切线相互垂直，可得女次2=-4•/2=-1,

即为Xl+X2=0,XIVO,X2>0,

1AHi_Jl+e2x：(-Xi)_Ji+e_2g_

所以.—e(0,1).

时

故答案为：(0,1).

四、解答题(本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答

案填在答题卡上)

17.(10分)记S”是公差不为0的等差数列｛“"｝的前”项和，若43=S5，0204=54.

(I)求数列｛%｝的通项公式4”；

(II)求使的>的成立的n的最小值.

【分析】（I）直接利用等差数列的性质和前〃项和的应用求出数列的通项公式；

（II）直接利用作差法的应用和数列的分解因式的应用求出结果.

【解答】解：（I）数列S"是公差”不为0的等差数列｛斯｝的前〃项和，若“3=S5,a244

=*54«

根据等差数列的性质，的=*=5。3,故〃3=0，

根据42a4=§4可得（。3-d）（〃3+d）=（。3-2d）+（。3-d）+。3+（。3+。），

整理得-/=-2d,可得d=2（d=0不合题意），

故斯=〃3+（〃-3）d=2n-6.

（II）-6,〃1=-4,

Sn--二X2=M-5”，

2

Sn>a”即M2-5n>2n-6,

整理可得〃2-7n+6>0,

当n>6或〃<1时，Sn>an成立，

由于”为正整数，

故〃的最小正值为7.

18.（12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边长为a,b,c,b=a+l,c=a+2.

（I）若2sinC=3siM,求△ABC的面积：

（ID是否存在正整数a,使得aABC为钝角三角形？若存在，求出“的值；若不存在，

说明理由.

【分析】（/）根据已知条件，以及正弦定理，可得a=4,b=5,c=6,再结合余弦定理、

三角形面积公式，即可求解，（〃）由c>6>m可推得AABC为钝角三角形时，角CM

为钝角，运用余弦定理可推得J-2〃-3V0,再结合a>0,三角形的任意两边之和大于

第三边定理，即可求解.

【解答】解：（/）：2sinC=3sinA,

根据正弦定理可得2c=3a,

•"=a+l,c=a+2,

••々=4,Z?=5,C=6,

22222

在△ABC中，运用余弦定理可得8sC=曳*4+5-6\l

2ab2X4X5一百

Vsin2C+cos2C=l,

,'•sinC=Vl-cos2C=^l-(y)2=~^~,

'SAABCVabsinC=^X4X5义手^岑

(〃)'：c>b>a,

.二△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角,

ca2+b2-c2-a2+(a+l)2-(a+2)2

cosC=-2^—―27(74)<0,

.*.a2-2a-3<0,

V«>0,

AO<^<3,

•・•三角形的任意两边之和大于第三边,

Aa+b>c,艮|JQ+Q+1>〃+2,E|Ja>1,

Al<a<3,

,.z为正整数，

••。=2.

19.(12分)在四棱锥Q-ABCO中，底面ABCO是正方形，若A£>=2,QD=QA=^,

QC=3.

(I)求证：平面QA。，平面ABC。；

(II)求二面角B-Q。-A的平面角的余弦值.

【分析】(I)由CJ+QJMQCZ证明co_LQZ),再由CDLAD,证明CZ)_L平面QAD,

即可证明平面QAZ)_L平面A8CD

(II)【解法1】设AO的中点为M,连接QM、BM,求出cosZQDB,cosZQDA和/

BDA,再列方程求出二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

【解法2】取AO的中点O,在平面ABCD内作OxVAD,以OD所在直线为y轴，。。

所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AOQ的一个法向量。，平面BDQ的

一个法向量6,再求cos<a,即可.

【解答】(1)证明：△QCQ中，CD=AD=2,。。=旄，QC=3,所以Co2+Q》=Qc2,

所以CQLQ。；

XCDLAD,ADQQD=D,AOu平面Q/LD,QOu平面Q4。，所以CQ_L平面QA£>；

又C£>u平面A8CZ),所以平面QAO_L平面ABCZ).

(II)解：【解法1】设4。的中点为M,连接QM、BM,如图所示：

根据题意知，2M=2,BM=旄，。8=3,BD=2近,

△BQA中，cosZQDB=-^,cosZQDA^-L,NB£>A=45°,

V10V5

因此根据三射线定理知，二面角B-QD-A的大小满足：

cosZBDA=cosZQDBcosZQDA+sinZQDBsinZQDAcoscp，

B|J2^2.=-1=-+--2=•-?=.•cos(p，

2V10V5V10V5

解得COS(p=2.

3

【解法2】取AO的中点O,在平面48co内作。x_LA。，

以。。所在直线为y轴，。。所在直线为z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,如图所示:

则O(0,0,0),B(2,-1,0),D(0,1,0),Q(0,0,2),

因为Ox_L平面ADQ,所以平面ADQ的一个法向量为五=(1,0,0),

设平面BOQ的一个法向量为8=(x,y,z),

由而=(-2,2,0),DQ=(0,-1,2),

得停乎0,即「2x+2y=0,

B•而=0l-y+2z=0

令z=l,得y=2,x=2,所以6=(2,2,1)；

所以cosV五，"X>=一°，•日■—=——2+0+0—2：

|a|•|B|ix-4+4+13

22

20.（12分）已知椭圆C的方程为"+匚=1右焦点为尸（«,0）,且离心

2,2

ab

率为逅.

3

（I）求椭圆c的方程；

（H）设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线/+y2=/>2（x>0）相切.证明：M,

N,F三点共线的充要条件是|MN=b.

【分析】（I）利用离心率以及焦点的坐标，求出。和c的值，结合/=/+/,即可求

出6的值，从而得到椭圆的标准方程;

（II）先证明充分性，设直线MN的方程，利用圆心到直线的距离公式求出机的值，联

立直线与椭圆的方程，求出|MN|即可；再证明必要性，设直线MN的方程，由圆心到直

线的距离公式求出，”和/的关系，联立直线与椭圆的方程，求出|MN|,得到方程，求出相

和f的值，从而得到直线MN必过点凡即可证明必要性.

【解答】（I）解：由题意可得，椭圆的离心率£=返，又cfR,

a3

所以贝！I-沙=1,

2门

故椭圆的标准方程为3—+y2=1；

3丫

（］［）证明：先证明必要性，

若M,N,b三点共线时，设直线MN的方程为》=,町，+&,

则圆心。（0,0）到直线MN的距离为d=/"2一=1，解得m2=1,

vm2+l

，x=iny+亚

联立方程组x22，可得（m2+3）y2+2&my-l=0，

—+y=1

即4y2+2V2W-l=0,

2

所以IMN|=Vl+m+=&X华"=对；

所以必要性成立；

下面证明充分性，

当|MN|=“时，设直线MN的方程为x=0+s,

此时圆心。（0,0）到直线心N的距离d=J।=1，贝iJ，-P=l，

Vt2+i

x=ty+s

联立方程组1V2°,可得（P+3）丁+2》+，-3=0,

[―+y=1

则△=442-4（於+3）（S2-3）=12（?-J2+3）=24,

因为|MN|=V1+t2"=V§'

tz+3

所以7=1,S2=2,

因为直线MN与曲线/+夕=序（x>0）相切，

所以s>0,则s=V^，

则直线MN的方程为乂气丫+近恒过焦点F（V2，0），

故M,N,尸三点共线，

所以充分性得证.

综上所述，M,N,尸三点共线的充要条件是=

21.(12分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，

经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每代繁殖的个

数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X

=z)=pf(i=0,1f2,3).

(I)已知po=O.4,pi=0.3,p2=0.2,“3=0.1,求E(X)；

(II)设〃表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，〃是关于x的方程：

po+pix+p4+ps/ux的一个最小正实根，求证：当E(X)W1时，p=l,当E(X)>1

时，p<l；

(III)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

【分析】(I)利用数学期望的计算公式求解即可；

(II)对〃o+mx+p2?+温=不进行等量代换，然后再进行因式分解，构造函数/G),由

二次函数的性质分析证明即可；

(III)由题中〃的含义，分析〃=1和p<l的含义即可.

【解答】(I)解：由题意,po=O.4,pi=0.3,p2=0.2,〃3=0.1，

故E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1；

(II)证明：由题意可知，po+pi+p2+p3=l，则E(X)=pi+2P2+3p3，

231

所以P()+P1X+P2X+P3X=X,变形为po_(1-pi)X+p2X+p3X^=Of

所以8+冲2+〃/-(po+p2+〃3)X=0，

即PO(1~X)+p2X(X-1)+p3X(X-1)(X+1)=0,

即(X-1)[p3^+(P2+P3)X-po]=O,

令/(X)=〃3)+(〃2+〃3)X-/X)，

若P3*0时，则f(X)的对称轴为x=-W」<0,

2P3

注意到/(0)=-poWO,/(l)=2p3+0-po=pi+2/72+3p3-1=E(X)-1,

若P3=0时，/(I)=£(X)-1,

当E(X)W1时，/(I)WO,/(x)=0的正实根xo2l,原方程的最小正实根p=l,

当E(X)>1时，/⑴=pi+2p2+3p3-1>0，

故存在xo€(0,1),使得f(x)在(xo，1)上单调递增，f(xo)<0,

因为po=O时，微生物不会灭绝，p=0,此时p是/(x)的非负实根，

则由E(X)V0,可知po>O,

故.f(0)>0,

所以/(x)在(刈，1)上有零点，故原方程的最小正实根p=xo<l；

(III)解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁

殖后临近灭绝；

当i个微生物个体繁殖下一代的期望大于1