【2021浙江中考数学】特殊平行四边形含答案

特殊平行四边形

-------------------------课前热身-------------------------

s考点清单

考点一矩形

1.有一个角是的叫做矩形.

2.矩形的个角都是直角.

3.矩形既是对称图形，又是对称图形，它至少有条对称轴.

4.有个角是直角的四边形是矩形.

5.对角线相等的是矩形.

考点二菱形

6.一组相等的叫做菱形.

7.菱形的条边都相等.

8.菱形的互相垂直，并且每条对角线平分.

9.菱形既是对称图形，又是对称图形，它至少有条对称轴.

10.四条边相等的四边形是.

11.对角线的平行四边形是菱形.

考点三矩形和菱形共有的性质

12.矩形和菱形画出两条对角线后，都会出现4个______三角形和4个________三角

形.

13.矩形和菱形常常转化为______三角形或________三角形来解决.

考点四正方形

14.有一组相等，并且有一个角是的平行四边形叫做正方形.

15.正方形的对角线,每条对角线平分一组.正方形既是

对称图形，又是对称图形，有条对称轴.

16.有一组邻边相等的是正方形.

17.有一个角是直角的是正方形.

SJ热身训练

1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角线相等

B.对角相等

C.对边相等

1

D.对角线互相平分

2.若矩形的对角线长为4,一条边长为2,则此矩形的面积为（）

A.8小B.4小

C.2小D.8

3.如图25—1,在菱形ABC。中，ZB=120°,A8=2,点F是AB的中点，点E在AC

上，则ED+EF的最小值是（）

A.2B#C.1.6D.1.5

（图25—1）

4.如图25-2,菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形一组对边的距离等于（）

(IS25-2)

A.1.2B.2.4

C.3.6D.4.8

k

5.（2020福建）设A,B,C,。是反比例函数y="kW0）图象上的任意四点，现有以下

结论：

①四边形A3。可以是平行四边形；

②四边形ABCQ可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形.

其中正确的是一.（写出所有正确结论的序号）

-------------------------分类达标-------------------------

♦达标一特殊平行四边形基本题

例1下列命题中正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形

2

C.有一个角是直角的四边形是矩形

D.内角都相等的四边形是矩形

变式1在四边形A3CO中，AC=8D如果添加一个条件，即可推出四边形A8CZ）是矩

形，那么这个条件是（）

A.AB=BC

B.AC与8。互相平分

C.ACLBD

D.AB±BD

例2在平行四边形月8。中添加下列条件，不能判定四边形ABCO是菱形的是（）

A.AB=BCB.AC±BD

C.AC=BDD.ZABD=ZCBD

变式2如图25—3,将△ABC沿BC方向平移得到△£>CE,连结A。，下列条件中能够

判定四边形A3CO为菱形的是（）

A.AB=BCB.AC=BC

C.N8=60。D.ZACB=60°

例3（2020日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题：如图25—4,四边

形ABCD为平行四边形，现从下列四个条件①A8=8C；②/A8C=90。；③AC=BO；

④AC,8。中选两个作为补充条件，使。45。成为正方形.现有下列四种选法，你认为

其中错误的是（）

变式3如图25—5,平行四边形A8CO的对角线互相垂直，要使平行四边形A8C0成

为正方形，还需添加的一个条件是—.（只需添加一个即可）

3

A

(图25—5)

♦达标二矩形创新题

例4（2019杭州）如图25—6,把某矩形纸片A8CO沿ERG〃折叠（点E,〃在边AO

上，点F,G在边BC上），使得点3,点C落在边AD上同一点P处，点A的对应点为

点4,点。的对应点为点少，若N"G=90。，的面积为4,的面积为1,

则矩形ABCD的面积等于

变式4（2018金华）小靓用如图25—7（1）的七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD

内，装饰图中的三角形顶点E,尸分别在边AB,BC上,三角形①的边G£＞在边A。上，

如图25—7（2）所示.则器的值是

⑵

(IS25-7)

♦达标三菱形创新题

例5（2019宁波）如图25—8,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCQ的边A。，BC

上，顶点忆H在菱形A8CO的对角线5。上.求证：BG=DE.

4

AED

（图25—8）

变式5(2018宁波)如图25—9,在菱形ABC。中，AB=2,是锐角，AE_LBC于点

E,“是45的中点，连结M。，ME.若NEMD=90。,则cosB的值为

（IS25-9）

♦达标四正方形创新题

例6将图25—10中的正方形分割成四个等腰三角形,分割后不出现45。的角.

（图D25-2）

-------------------------|当堂巩固------------------------

1.如图25—12,在平面直角坐标系xOy中，菱形0A3C的顶点C在x轴的正半轴上.若

点A的坐标是(3,4),则点B的坐标为()

A.(5,4)B.(8,4)C.(5,3)D.(8,3)

5

y

（图25—12）

2.如图25—13,在矩形ABC。中，点A的坐标是（1,0）,点C的坐标是（一2,4）,则

BD的长是（）

A.V17D.472

3.已知菱形的边长为2cm,一个内角为60。，那么该菱形的面积为—cm2.

4.将两个完全相同的长方形ABC。与长方形£尸6。按如图25—14放置，点。在线段

AG上，若AG=m，CE=n,则长方形ABC£＞的面积是—.（用小，〃表示）

c

EF

G

（图25—14）

5.如图25—15,以正方形A8CO的一边为边向外作等边则N8E。的度数

是一

（图25—15）

6.如图25—16,正方形ABC。的边长为1,点P为对角线AC上任意一点，作

PFVCD,垂足分别是E,F.则PE+PF=.

6

（图25—16）

7.如图25—17,在菱形ABCO中，E是边A8上一点，且NA=NED尸=60。，有下列

结论：®AE=BF；②是等边三角形；③△BEE是等腰三角形；④NADE=NBEF,

其中正确的有一.（填序号）

B

（图25—17）

8.（2018青岛）如图25—18,已知正方形A8CQ的边长为5,点E,尸分别在AO,DC

上，AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点”为BF的中点，连结GH,则G”的长为

（图25—18）

9.（2018台州）如图25—19,在正方形ABC。中，AB=3,点、E,尸分别在C£>,A£>上,

CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为

2：3,则ABCG的周长为.

（图25-19）

10.（2020哈尔滨）如图25—20,在菱形ABCD中，对角线AC,BO相交于点。，点E

7

在线段3。上，连结AE,若CD=2BE,NDAE=NDEA,EO=1,则线段AE的长为

（图25-20）

------------------------配套练习-----------------

A|基础巩固

1.正方形具有而矩形不具有的性质是（）

A.对角相等

B.对角线互相平分

C.对角线相等

D.对角线互相垂直

2.在矩形ABCZ）中，AB=6,BC=8,则点A到的距离是（）

A.4B.4.6C.4.8D.5

3.如图Z25-1,在菱形A8C。中，Z£>=130°,则NI的度数为（）

（图Z25—1）

A.30°B.25°C.20°D.15°

4.已知菱形的边长为6cm,一个内角为60。，那么该菱形的面积为—cm2.

5.如图Z25-2,菱形A8CO的对角线AC,BO相交于点。，已知。8=4,菱形A8CD

的面积为24,则AC的长为.

（图Z25-2）

6.如图Z25—3,。点是矩形A8CO的对角线AC的中点，菱形A8EO的边长为2,则

8

BC=

(图Z25—3)

7.如图Z25—4,已知点4（3,0）,P为y轴正半轴上一点，以线段布为边在第一象限

内作正方形APBC,

8.如图Z25—5,四边形A8CO是矩形，△PBC和△QC。都是等边三角形，且点P在

矩形上方，点。在矩形内.

求证：（1）/PBA=/PCQ=3O。；

(2)PA=PQ.

(图Z25-5)

位能力提升

9.如图Z25—6,已知正方形ABCQ的边长为2,点E是正方形ABC。的边AQ上的一

点，点A关于BE的对称点为F,若尸C=90°,则EF的长为（）

A.|

B-3C.TD10

9

（图Z25—6）

10.如图Z25—7,在矩形A8C。中，A8=8,BC=4点G,E分别在边AB,CO上，点

F,〃在对角线AC上.若四边形EFGH是菱形，则AG的长是（）

11.如图Z25—8,菱形A3CZ）的边长为6,NA8C=60。，对角线8。上有两个动点E、

F（点E在点尸的左侧），若EF=2,则AE+CF的最小值为（）

A.2yfl0B.46C.6

（图ZD25-3）

12.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方

形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明

了勾股定理.如图Z25—9所示的矩形由两个这样的图形拼成，若。=2,b=3,则该矩

形的面积为.

10

@C思维拓展

13.如图Z25—10,P为正方形A3CO的边8C的延长线上一动点，以。P为一边作正

方形DPEM,以E为一顶点作正方形EFG”，且FG在BC的延长线上.

(1)若正方形A3CQ,。尸EM的面积分别为a,h,则正方形E尸GH的面积为一(直接写

结果).

(2)过点P作BC的垂线交NPDC的平分线于点Q,连结QE,试探求在点P运动过程中,

的大小是否发生变化，并说明理由.

（图Z25-10）

11

答案

1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（A）

A.对角线相等

B.对角相等

C.对边相等

D.对角线互相平分

2.若矩形的对角线长为4,一条边长为2,则此矩形的面积为（B）

A.8小B.4小

C.2小D.8

3.如图25—1,在菱形ABC。中，ZB=120°,AB=2,点F是AB的中点，点E在AC

上，则EO+EF的最小值是（B）

A.2B.小C.1.6D.1.5

（图25—1）

4.如图25—2,菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形一组对边的距离等于（D）

(5125-2)

A.1.2B.2.4

C.3.6D.4.8

5.（2020福建）设A,B,C,。是反比例函数尸W0）图象上的任意四点，现有以下

结论：

①四边形A8CZ）可以是平行四边形；

②四边形ABCQ可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形.

12

其中正确的是①④.（写出所有正确结论的序号）

---------------------------分类达标---------------------------

♦达标一特殊平行四边形基本题

例1下列命题中正确的是（D）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一个角是直角的四边形是矩形

D.内角都相等的四边形是矩形

变式1在四边形ABCD中，AC=BD如果添加一个条件，即可推出四边形ABC。是矩

形，那么这个条件是（B）

A.AB=BC

B.AC与瓦）互相平分

C.AC±BD

D.AB1.BD

例2在平行四边形A8C。中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（C）

A.AB=BCB.AC1BD

C.AC=BDD.NABD=NCBD

变式2如图25—3,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连结A。，下列条件中能够

判定四边形A8CD为菱形的是（A）

A.AB=BCB.AC=BC

C.ZB=60°D.ZACS=60°

例3（2020日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题：如图25—4,四边

形ABCD为平行四边形，现从下列四个条件①AB=8C；②NA8C=90。；③AC=B£＞；

④中选两个作为补充条件，使口ABC。成为正方形.现有下列四种选法，你认为

其中错误的是（B）

DE----------------------KC

AB

13

（图25—4）

A.①②B.②③C.①③D.②④

变式3如图25—5,平行四边形A8CD的对角线互相垂直，要使平行四边形A8CZ）成

为正方形，还需添加的一个条件是.（只需添加一个即可）

♦达标二矩形创新题

例4（2019杭州）如图25—6,把某矩形纸片A8CD沿EF,GH折叠（点E,，在边

上，点RG在边8C上），使得点8,点C落在边上同一点P处，点A的对应点为

点4,点D的对应点为点D',若/FPG=90。，△4EP的面积为4,/XD'PH的面积为1,

则矩形ABCD的面积等于S石+1（）.

：.F,P,。三点共线，:.ND'PH=ZEPF=ZA'EP.

•.•/D'=NA'=90°,A^D'PH^/XA'EP.

,:SAD，PH:SMEP=1：4,：.D'H:A?=1：2.

设Q'”=x,则A'P=AB=DC=D'P=2x.

•S&D，PH=1，・・/A?2X=1,

解得x=1(负值舍去)，

D'H=DH=1,D'P=A'P=AB=2,A'E=AE=2D'P=4,

...由勾股定理可得P"=小，EP=25

S短彩ABCD=AB(AE+EP+PH+。H)=10+6小.

变式4(2018金华)小靓用如图25—7(1)的七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD

内，装饰图中的三角形顶点E,尸分别在边AB,8C上，三角形①的边GO在边AO上，

14

如图25—7(2)所示.则筮的值是一粤二.

(5125-7)

【解析】提示：设七巧板的边长为X,

♦达标三菱形创新题

例5(2019宁波)如图25-8,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC

上，顶点歹，〃在菱形ABC。的对角线80上.求证：BG=DE.

解：不难证明△3GF经△OE”(AAS),

：.BG=DE.

变式5(2018宁波)如图25—9,在菱形ABCQ中，AB=2,N8是锐角，AE_LBC于点

E,"是AB的中点，连结ME.若NEMD=90。,则cosB的值为—乌

（图25—9）

15

解：如图D25—1,延长。M交C6的延长线于点

易证△AQM/△BHM,:.AD=HB=2.

•:EMLDH,:.EH=ED.设BE=x,

'：AE2=AB2~BE1=DE1-AD2,

.,.22-X2=(2+X)2-22,

"'•x='\/3-1(舍负)，：.cosB=AB=^^2,

♦达标四正方形创新题

例6将图25—10中的正方形分割成四个等腰三角形，分割后不出现45。的角.

解：分割方法如图D25—2所示.

变式6将图25—11中的正方形分割成四个等腰三角形，分割后不出现全等三角形.

解：分割方法如图D25—3所示.

-------------------------当堂巩固------------------------

1.如图25—12,在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上.若

点A的坐标是(3,4),则点3的坐标为(B)

A.(5,4)B.(8,4)C.(5,3)D.(8,3)

16

y

（图25—12）

2.如图25—13,在矩形ABC。中，点A的坐标是（1,0）,点C的坐标是（一2,4）,则

BD的长是（B）

A.V17D.472

3.已知菱形的边长为2cm,一个内角为60。，那么该菱形的面积为_Zd^_cm2.

4.将两个完全相同的长方形与长方形EFGO按如图25—14放置，点£>在线段

—f1~

AG上，若AG="?,CE=n,则长方形4BCD的面积是—《一•（用团，”表示）

F

G

（图25—14）

5.如图25—15,以正方形ABCZ）的一边AO为边向外作等边则/BED的度数

是45。

（图25—15）

6.如图25—16,正方形ABC。的边长为1,点P为对角线AC上任意一点，作PE_LAE>,

PFA.CD,垂足分别是E,F.则PE+PF=1.

17

7.如图25—17,在菱形ABCO中，E是边A8上一点，且NA=NED尸=60。，有下列

结论：®AE=BF；②△£>£F是等边三角形；③△BEE是等腰三角形；④NADE=NBEF,

其中正确的有①②④.（填序号）

(图25—17)

8.（2018青岛）如图25—18,已知正方形A8CQ的边长为5,点E,尸分别在AO,DC

上，AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点，为BF的中点，连结GH,则G”的长为

V34

—2-

9.（2018台州）如图25—19,在正方形ABC。中，A8=3,点E,尸分别在C£>,上,

CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为

2:3,则△BCG的周长为.

18

10.（2020哈尔滨）如图25-20,在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点。，点E

在线段BO上，连结AE,若CD=2BE,ZDAE=ZDEA,£0=1,则线段AE的长为2巾

（图25-20）

---------------------------配套练习-----------------

A|基础巩固

1,正方形具有而矩形不具有的性质是（D）

A.对角相等

B.对角线互相平分

C.对角线相等

D.对角线互相垂直

2.在矩形A8CO中，AB=6,8c=8,则点A到的距离是（C）

A.4B.4.6C.4.8D.5

3.如图Z25-1,在菱形A8C。中，N£>=130。，则N1的度数为（B）

（图Z25—1）

A.30°B.25°C.20°D.15°

4.已知菱形的边长为6cm,一个内角为60。，那么该菱形的面积为」®_cm2.

5.如图Z25—2,菱形A8CD的对角线AC,8。相交于点O,已知OB=4,菱形A8C。

的面积为24,则AC的长为6

19

（图Z25—2）

6.如图Z25—3,。点是矩形A3CO的对角线AC的中点，菱形ABE。的边长为2,则

BC=2小

7.如图Z25—4,已知点A（3,0）,P为y轴正半轴上一点，以线段必为边在第一象限

内作正方形APBC,当OB=5时，点P的坐标为

(图Z25—4)

8.如图Z25-5,四边形A8CO是矩形，△PBC和△QC。都是等边三角形，且点P在

矩形上方，点。在矩形内.

求证：（l）/PBA=/PCQ=30°；

(2)R\=PQ.

解：略

9.如图Z25-6,已知正方形ABC。的边长为2,点E是正方形ABC。的边AO上的一

点，点A关于8E的对称点为尸，若NZ）RT=90。，则EP的长为（B）

2

A:B.3ClDio

（图Z25—6）

提示：方法1：如图ZD25—1,过点尸作MNLA。，BHVCF,易证DF=FH=HC,由

DC=2,可知£>F=|^,NF=|,ND，,设AE=EF=x,在中，由勾股定理得

（图ZD25—1）