九年级数学上册23.2一元一次方程的解法

23.2一元二次方程的应用制作:鲁红坡ax2+bx+c=0学习如逆水行舟不进则退一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程，(1)当时，方程有两个不相等的实数根：(2)当时，方程有两个相等的实数根：(3)当时，方程没有实数根．根的判别式知识点一：根的判断式用配方法将其变形为：一、一元二次方程的根的判断式【例1】不解方程，判断下列方程实根的个数.解

(1)

∴原方程有两个不相等的实数根．∴原方程有两个相等的实数根．(2)原方程可化为：例1解方程一、解一元二次方程的方法：1.直接开方法；因式分解法（提取公因式法、十字相乘法（利用根与系数的关系）。一、一元二次方程的根的判断式【例1】不解方程，判断下列方程实根的个数.方法提炼：△与0的大小关系决定方程实根的情况；另外，在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．解

(3)

∴原方程没有实数根．原方程可化为：例1一、一元二次方程的根的判断式【例2】解一元二次方程．解法一（因式分解）移项,得①方程化为一般形式解题步骤②因式分解成A.B=0的形式③A=0或B=0④写出方程的两个根方程左边因式分解,得例2解法一两边同时除以3,得配方，得开平方,得①二次项系数化1.②配方,并写成(x+m)2=k(k≥0)的形式.③开平方,写出方程的两个解.一、一元二次方程的根的判断式【例2】解一元二次方程．解法二（配方法）解题步骤例2解法二2.配方法：（1）解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;(2)记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；(3)在数学思想方法方面，体会“转化”的思想和掌握配方法。3.用配方法解一元二次方程的步骤

(1)化二次项系数为1；

(2)移项，使方程左边只有二次项及一次项；

(3)在方程两边都加上一次项系数一半的平方；

(4)变形为(x+m2)=n的形式，如果n≥0，得x+m=±,x=-m±.所以x1=-m+,x2=-m--一、一元二次方程的根的判断式【例2】解一元二次方程．解法三（公式法）解题步骤移项,得①将方程化成一般式,并确定出a,b,c的值.②求出b2-4ac的值(特别注意b2-4ac＜0)③代入求根公式.④写出方程的两个根.故例2解法三公式法：强调公式的条件：二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．知识点二：韦达定理韦达定理成立的前提是．方程可化为：根与系数关系1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当

b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.3.可以通过一元二次方程系数判断方程根的情况.二、一元二次方程的根与系数的关系例3(1)(2)二、一元二次方程的根与系数的关系例3(3)(4)二、一元二次方程的根与系数的关系方法提炼：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

韦达定理体现了整体代换思想．例3方法提炼二、一元二次方程的根与系数的关系例4解法一二、一元二次方程的根与系数的关系例4解法二-3-2-10123-1-2-3123xy

课堂小结课堂小结1.一元二次方程的求解方法：①直接开平方法；②因式分解法；③公式法；④配方法等，通常先考虑直接开平方法和因式分解法。课堂小结2.应用韦达定理时,务必要注意韦达定理成立的条件是;根据根与系数的关系有方程.

求根公式：某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，若二月份的产钢量上升,增长了20％,则【情景引入】（1）二月份增加的产钢量为多少吨？（2）该钢铁厂二月份的产钢量为多少吨？（3）若该钢铁厂三月份的产钢量增长了

20％，则三月份产钢为多少吨？某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长率都是10％，则该厂三月份产钢多少吨？【小试牛刀】某厂一月份产钢a吨，二、三月份的增长率都是x，则该厂三月份产钢多少吨？增长率问题：(1)

最终产量=原产量+增产量(2)增产量=原产量×增长率(3)最终产量

=原产量＋原产量×增长率

=原产量×(1＋增长率)．归纳某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，若二月份的产钢量下降,减少了20％,则【情景引入】（1）二月份减少的产钢量为多少吨？（2）该钢铁厂二月份的产钢量为多少吨？（3）若该钢铁厂三月份的产钢量减少了

20％，则三月份产钢为多少吨？某厂一月份产钢50吨，二、三月份的下降率都是10％，则该厂三月份产钢多少吨？【小试牛刀】某厂一月份产钢a吨，二、三月份的下降率都是x，则该厂三月份产钢多少吨？归纳下降率问题：(1)

最终产量=原产量-减产量(2)减产量=原产量×下降率(3)最终产量

=原产量-原产量×下降率

=原产量×(1-下降率)．

解：设平均每月的增长率为x．根据题意得

5000(1+x)2=7200

某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

(1+x)2=1.44解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）取x=0.2=20％．

答：平均每月增长的百分率是20％．1.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.2.某市进行环境绿化，计划两年内把绿化面积增加44%，问平均每年增长的百分率是多少？【课堂练习】3.某种药剂原售价为4元,经过两次降价,现在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分之几?

【探究升级】某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10％,5月份营业额达到633.6万元,求3月份到5月份营业额的平均月增长率?(2004年广东省中考数学试题)2、情景引入：（1）、2008年我市将作为足球分赛区参加奥运会，为此，我市领导决定，将2006年已有的绿化面积300公顷，经过两年绿化，到2008年底增加到363公顷，如果每年的增长率均为x，这2007年绿化面积为

公顷；2008年绿化面积为

公顷。可列方程

:

大家一起来加油！加油！300（1+x）300（1+x）2300(1+x)2=363（2）、秦新大世界有一种线衣从原来的每件40元，经两次调价后，调至每件32.4元，若两次调价的降价率均为x，则第一次调价后降至

元，第二次调价后降至

元。可列方程为：

。40（1-x）40（1-x）240（1-x）2=32.4增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为，二次增长后的值为降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降低后的值为，二次降低后的值为．智慧结晶a(1+x)a(1＋x)2a(1－x)a(1－x)2最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数

的基本关系：

M=a(1±x)n

n为增长或降低次数

M为最后产量，a为基数，x为平均增长率

或降低率

例1：政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调一些药品的价格，某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒，假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率数学与日常生活解：设这种药品的每次降价的百分率为x根据题意得：

125(1-x)2=80

解这个方程，得：

x1=0.2，x2=1.8∵x=1.8不合题意，舍去。∴x=0.2=20%答：这种药品每次降价率为20%。例2、2004年，自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市开办区内初中班，重点招收农牧民子女及其他家庭贫困的学生．某市2004年9月招收区内初中班学生50名，并计划在2006年9月招生结束后，使区内初中班三年招生总人数达到450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率．

解：设平均增长率为Ｘ

2004年：502005年：50(1+X)2006年：50(1+X)2

列方程得： 50+50(1+X)+50(1+X)2＝450得X１＝1.37X２＝-4.37

∵X２不符合题意

∴X＝137%答：平均增长率为137%。一元二次方程的解法举例(选用适当的方法解方程)1.解一元二次方程的方法有：①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法⑴5x2-3x=0⑵3x2-2=0⑶x2-4x=6⑷2x2-4x-16=0⑸x2+7x-7=0

2.引例：给下列方程选择较简便的方法（运用因式分解法）（运用直接开平方法）（运用配方法）（运用配方法）（运用公式法）（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）（()2=CC≥0

）(化方程为一般式）（二次项系数为1，而一次项系为偶数）（二次项系数不为1时，先在方程两边同时除以二次项系数再配方）例1.选择适当的方法解下列方程：①（x-2)2=9②t2-4t=5③(m+1)2-4(2m-5)2=0

解：x-2==3∴x=23∴x1=5,x2=-1解：t2-4t+4=5+4（t-2)2=9∴t-2==3∴t=23∴t1=5,t2=-1巩固练习：

1、填空：

①x2-3x+1=0②3x2-1=0③-3t2+t=0④x2-4x=2⑤（x-3）2=2(3-x)⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0⑧2x2+4x-1=0⑨(x-2)2-16=0

适合运用直接开平方法适合运用因式分解法适合运用公式法适合运用配方法

②3x2-1=0

⑥5(m+2)2=8③-3t2+t=0⑤（x-3）2=2(3-x)

⑨(x-2)2-16=0①x2-3x+1=0

⑦3y2-y-1=0

⑧2x2+4x-1=0④x2-4x=2

规律：①一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；若常数项为0（

ax2+bx=0），应选用因式分解法；若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。⑨

(x-2)2-16=0⑧2x2+4x-1=0②公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）例2.解方程

①(x+1)(x-1)=2x②(x-2)2-2(x-2)=-1