数学建模培训

开设数学建模培训班的目的是数学建模研究会的活动之一。是为参加今年9月19日举行的全国大学生数学建模竞赛的培训工作之一。对培训成绩优秀、经研究会推荐的同学，将代表学校参加全国大学生数学建模竞赛。为鼓励广大学生参与，对学完整个课程，并通过考核的同学，将给予2个学分。第一页第二页，共75页。通过培训班的学习，使同学们增加如何应用数学知识来解决实际问题的能力，培养创新精神，提高自身综合素质，激发同学们的创造力，创新力、加强应变能力、培养团体精神和拼搏精神，活跃校园学术气氛，促进学校素质教育的发展。开设数学建模培训班的目的第二页第三页，共75页。培训方式理论授课与实践上机相结合，以周五、周日晚上7：00—9：00为理论授课时间，地点在旧区和昌楼103教室，从本周开始到第17周结束；上机实践时间另定。自学与讨论相结合，发挥团结合作精神，增强团队合作意识。由各学习小组自定时间和地点。现有2个QQ群：（数学建模群），（数模研究会）。我的QQ号：254223799。第三页第四页，共75页。培训班考勤按数模研究会相关制度执行。采用教材：使用姜启源编，《数学模型》（第三版），高教出版社2003年第3版。价格31.60元，经研究会与网上书商联系，可8.4折。需要者请课后登记找组长登记。暑假培训教材采用韩中庚编著的《数学建模方法及其应用》，高教出版社2005年6月第1版。价格31.10元，其余参考书，请自购或到图书馆借阅。培训班要求第四页第五页，共75页。第五页第六页，共75页。听课及考勤：本培训班将以培养兴趣为目的，参加竞赛为目标。兴趣是最好的老师，若中途无兴趣者可选择退出。无特殊原因旷课3次者，成绩会降一个等级，旷课5次者，将没有成绩。培训班要求第六页第七页，共75页。作业要求：每次课后将会布置适当的作业，同学们应按时按量完成作业。5次不交作业将没有成绩。考试要求：学习结束后，每人将完成一个具体的数学建模问题，并撰写数学建模论文。开卷考试，时间2周，可以2－3人合作，但需说明各人在本篇论文中所做的工作。培训班要求第七页第八页，共75页。第一讲，建立数学模型与数学建模竞赛，简单的数学建模案例分析。主要内容：

什么是数学建模，数学模型的意义，数学建模的基本方法和步骤，数学建模对能力的培养，数学建模竞赛的简介，简单数学建模的案例分析，几个思考题。第二讲，层次分析法建模：主要内容：

层次分析法的应用领域，如何将定性问题转化为定量问题进行研究，如购买电脑，工作选择等决策问题。层次分析法的基本步骤及计算，应用案例分析（旅游目的地的选择）。布置作业。近期课程安排第八页第九页，共75页。第三讲，数学软件mathematica：软件的安装，基本概述，基本计算，图形功能，编程功能。以高等数学、线性代数的计算为主要内容，体验用数学软件来解决诸如微积分，求线性方程组等复杂而繁琐的计算步骤。布置作业。第四讲，规划模型及优化软件lingo：什么是规划模型，如何建立线性规划模型，如何用数学软件来求解规划模型，分析求解报告，对整数规划模型、非线性规划模型的求解。主要案例：奶制品的生产，汽车生产与原油采购等。布置作业。近期课程安排第九页第十页，共75页。第五讲，规划软件winqsb的使用：介绍qsb软件的使用方法，应用领域，它能覆盖几乎运筹学的所有内容，主要有：线性规划与整数线性规划，目标规划，决策分析，动态规划，网络模型，二次规划，排队分析，排队系统模拟，预测与线性回归，质量管理控制图，综合计划编制，存储论与控制系统，作业调度与编制工作进度表，等。第六讲，初等方法建模：介绍利用初等数学的方法来解决实际问题的案例。席位的公平分配，录像机的计数器作用，双层玻璃的功效，刹车距离的判断等。近期课程安排第十页第十一页，共75页。第一讲数学模型与数模竞赛1时代的要求2

从现实对象到数学模型3数学模型与数学建模4全国大学生数学建模竞赛简介5简单实例6数学模型示例分析7怎样学习数学建模8数学建模的方法和步骤第十一页第十二页，共75页。知识＋能力＝力量缺乏知识的能力是低层次的能力,缺乏能力的知识是僵死的知识。大百科全书式的知识积累，如果缺乏转化到应用中去的能力，仅仅是百科全书而已。因此，强调培养“应用能力”是数学建模的主要特点。1.时代的要求第十二页第十三页，共75页。近几十年来，随着各门科学技术特别是计算机的不断进步，数学应用在它的传统领域——物理领域（力学、电学等学科及机电、土木等工程技术）取得了重要进展，在非物理领域（经济、人口、生态、医学），也得到了广泛的应用。社会正在数学化。为了培养高素质、高层次的人才，必须重视用数学来解决实际问题的能力和素质。随着数学逐步向各个领域的渗透，对理工、经济、管理甚至是人文、社会学科的学生，都提出了这方面的要求，于是数学模型和数学建模课程、数学建模竞赛便应运而生。第十三页第十四页，共75页。玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征2.从现实对象到数学模型我们常见的模型第十四页第十五页，共75页。如牛顿第二定律：这就是数学模型！它刻画了质量为m的物体在受到力F的作用下，与产生的加速度a之间的相互关系。同理，万有引力定律：也是一个数学模型，它描述了两个物体之间在r的距离上所产生的引力大小。可以说，数学模型是连接现实世界与数学世界的桥梁。第十五页第十六页，共75页。再有：某人生于1985年，到2008年时，他多少岁？数学模型航行问题甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？第十六页第十七页，共75页。解：假设船速、水速均为匀速，用分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米/小时。建立数学模型结果解释模型的解整个求解问题的过程也称为数学建模简化假设设置变量模型求解第十七页第十八页，共75页。3.数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模第十八页第十九页，共75页。实际问题数学模型模型求解实际问题数学建模是指从实际问题出发经数学方法的处理再回到实际问题的若干次循环。是双向翻译过程。数学建模的重心是“建”，建好了模型才能为数学处理打好基础。关键是“求解”，没有结果的模型是无用的模型，求解错误的模型是失败的模型，这需要借助计算机技术的帮助。实际问题的专业知识；广博的数学理论；熟练使用数学计算软件并具有一定的计算机编程能力。数学建模工作者的知识结构第十九页第二十页，共75页。数学建模的具体应用

分析与设计

预报与决策

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼第二十页第二十一页，共75页。全国大学生数学建模竞赛简介第二十一页第二十二页，共75页。全国大学生数学建模竞赛的由来1985年美国工业与数学学会举办“美国大学生数学建模竞赛”。简称MCM

(MathematicalContestinModeling)。1989年我国大学生首次开始参加MCM1990年上海率先举办“上海市大学生数学模型竞赛”1992年教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办了“中国大学生数学建模竞赛”。简称CUMCM（Chinaundergraduatemathematicalcontestinmodeling）。它面向全国普通高校的理、工、文、医、农等本科学生，(99年起增设专科组)，于每年9月中旬的最后一个星期五开始，至下周一结束，历时三天。第二十二页第二十三页，共75页。1992年有10省/市79所院校的314队参加。其规模以每年25%的速度增加，到2006年全国有30个省/市/自治区(含香港)864所院校、9985个队、近3万名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的！现已成为全国高校规模最大的课外科技活动。福建省共有17所本科高校，06年有13所本科高校，204个队参加此项竞赛，获全国一等奖6队，全国二等奖15队。第二十三页第二十四页，共75页。序号学校参赛队数序号学校参赛队数1厦门大学1910仰恩大学82集美大学3311福州大学223厦门理工学院912福建师范大学304华侨大学1013福建工程学院125泉州师范学院1514闽江学院176龙岩学院1415福建师范大学福清分校77莆田学院1716福建农林大学238三明学院15合计25707年福建赛区参赛情况第二十四页第二十五页，共75页。创新意识

团队精神

重在参与

公平竞争数学建模竞赛的宗旨培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，培养创新意识、团队精神，鼓励参与、提倡公平竞争，提高学生综合素质。

通过训练和竞赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高，而且在团结合作发挥集体力量攻关，以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有益的锻炼。第二十五页第二十六页，共75页。数学建模竞赛的参赛形式开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。由三名学生组成一队，专业不限，每队可设一名指导教师（或教师组），从事赛前辅导和参赛组织工作。各参赛队任选一竞赛题。在三天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。第二十六页第二十七页，共75页。数学建模竞赛的竞赛题目要求参赛学生运用数学知识、计算机技术和问题的背景学科等方面的知识，解决极富挑战性的实际问题。

竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。以下是近几年来的竞赛题：第二十七页第二十八页，共75页。1998A、投资的收益和风险；B、灾情巡视路线1999A、自动化车床管理；B、钻井布局2000A、DNA序列分类；B、钢管订购和运输；2001A、血管的三维重建；B、公交车调度；2002A、车灯线光源优化设计；B、彩票中的数学；2003A、SARS的传播；B、露天矿生产的车辆安排；2004A、奥运会临时超市网点设计；B、电力市场的输电阻塞管理；2005A、长江水质的评价和预测；B、DVD在线租赁；2006A、出版社的资源配置；B、艾滋病疗法的评价及疗效的预测。数学建模竞赛的竞赛题目第二十八页第二十九页，共75页。参赛队的答卷是一篇完整的论文，包括对所选问题的重新阐述模型假设模型的分析模型的建立模型的求解模型结果的检验和分析模型的优缺点等。最后，还要有不超过一页的论文摘要。数学建模竞赛的答卷第二十九页第三十页，共75页。由于数学建模竞赛题没有事先设定的答案，所以评卷的标准并不是看答案对不对，而是以①假设的合理性、②建模的创造性、③结果的正确性、④文字表述的清晰程度为主要标准。评阅时不对论文评定分数，也不采用“通过”、

“失败”这种记分，只是将论文分成一些等级，有全国一等奖(占2.5%)、全国二等奖(占7.5%)、赛区一等奖(占15%)、赛区二等奖(占25%)、成功参赛奖(占50%)。所有参赛的队员和教练都能得到一张证书。数学建模竞赛的结果第三十页第三十一页，共75页。数学建模竞赛的证书第三十一页第三十二页，共75页。2我校的情况在学校领导的关心和支持、教务部的大力协助下，我们于今年4月初举办了数学建模培训班，理论讲授20余次，从报名时的140人逐步筛选剩下60人完成了学习并取得了相应的学分，再从中筛选出30人参加暑假的强化训练，最后组织24人共8个参赛队于9月21日参加了竞赛。取得福建赛区

一等奖2队二等奖4队成功参赛奖2队获奖比例达75%。为仰恩大学的数学建模活动开创了一个崭新的局面，在素质教育方面开辟了一个新的平台。第三十二页第三十三页，共75页。2007年仰恩大学参加全国大学生数学建模竞赛师生合影第三十三页第三十四页，共75页。A题：中国的人口增长预测获福建赛区一等奖05数学郑兴04市销王滢05工管程春B题：乘公交看奥运获福建赛区一等奖05工管蔡晓煌04财管陈顺贵04信管杨俊强

第三十四页第三十五页，共75页。A题福建赛区二等奖第三十五页第三十六页，共75页。11月23日，我们又组织了27位同学组成9个参赛队参加了全国大学生电工数学建模竞赛。A题：发电机组组合问题B题：城市供水量预测第三十六页第三十七页，共75页。第三十七页第三十八页，共75页。为什么这样的单项竞赛能够产生如此的吸引力？为什么我们要又向更多的大学生宣传这项竞赛？原因：一由于新技术特别是计算机技术的飞速发展，大量的实际问题需要用计算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通。二社会对大学生的要求越来越高，大学生毕业后要适应社会的需求，一到工作岗位就能创造价值。三数学建模对能力的培养第三十八页第三十九页，共75页。

建立数学模型来解决实际问题，是大学生们在走上工作岗位后常常要做的工作。做这样的事情，所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力，而需要多方面的综合知识和能力。而这也是现代社会对当代大学生们的迫切需求。这种竞赛对参赛者来说，在相当程度上“模拟”了今后在工作岗位上可能会遇到的实际情况，是一类小型的“科研活动”。培养了他们为取得事业成功所需要的能力，因此受到了广大学生的热烈欢迎，他们用不同的方式表达了同一个体会，“一次参赛，终身受益”。以下是部分参加者的感言：第三十九页第四十页，共75页。数学建模，简而言之，就是用数学的知识解决生产生活中的实际问题；小而言之，我们小学做过的数学应用题就是数学建模问题；大而言之，我们国家每年的经济预算和经济规划也是数学建模问题。在我们的日常生活中它无处不在，它可以让我们感受到知识的魅力和巨大作用，它就是有这个神奇的魔力将理想变成现实。从这次建模竞赛中每个人获益非浅，不仅仅是体会到了用自己所学到的知识解决实际复杂问题的乐趣，最重要的是培养了我们克服困难的毅力与决心。现在回想起来，我很惊奇那三天里自己的精神是如此的饱满与坚定，这也许是对建模那份执著与自信吧。第四十页第四十一页，共75页。是数学建模使我找到了真实的自己，是数学建模让我的大学生活焕发光彩！真心感谢带我进入数学建模神圣殿堂的老师们，是您让我发现了如此精彩的世界；感谢共同奋战的队友们，你们的友谊让我充满力量；感谢数学建模，你是我生活中新的起点，相信我会有更美好的明天！对于想通过数模来寻找自信的朋友，我恭喜你，你找对路子了。

对于对数模望而生畏的朋友，我建议你不妨拿出自己的自信来博一博，人生难得几回博啊！

对于那些班里的佼佼者，你们更应来参加了，它会让你领悟成功的另一层含义。第四十一页第四十二页，共75页。数学建模竞赛培养了学生多方面的能力。第一，应用数学进行分析、推理、计算的能力，特别是“双向”翻译的能力大大提高；第二，应用计算机、相应数学软件以及互联网的能力大大提高；第三，获得应变能力（独立查找文件、在短时间能阅读、消化、应用的能力）的培养；第四，培养和发展了广大同学的创造力、想象力、联想力和洞察力；第五，培养了学生组织、管理、团结、协调（合作）以及及时妥协的能力；第六，培养了交流、表达和写作能力；第七，获得了竞争意识、坚强意志力的培养；建立数学模型，解释模型解在现实中的意义熟练使用matlab,lingo,mathematica,word,excel的能力熟练使用互联网查阅资料并应用的能力综合应用资料并发展创新的能力第四十二页第四十三页，共75页。第八，培养了同学们自律、“慎独”的优秀品质；第九，培养了正确的数学观（正确理解数学的作用，数学和外界的关系）。第十，极富挑战性的问题，给予选手高强度脑力劳动中挑战极限的体验。现在，全国大学生数学建模竞赛已经成为培养富有创新能力和竞争力的人才的极为重要的载体，通过大体上说来的“赛前精心准备、竞赛三天拼搏、赛后继续学习”三个阶段的不断实践，培养了一大批能初步应用数学建模的思想和方法来解决各种实际问题的大学生。第四十三页第四十四页，共75页。数学建模竞赛的意义培养选手进行科学研究的能力培养选手通过研究学习新知识的能力培养选手勇于创新、理论联系实际的学风培养选手相互协调、团结合作的精神极富挑战性的问题，给予选手高强度脑力劳动中挑战极限的体验素质教育的体现直接推动了数学的教学内容、课程体系的改革第四十四页第四十五页，共75页。成功的要素浓厚的兴趣敏锐的洞察力和活跃的思维；获取新知识的能力扎实的数学基础熟练的计算机编程清晰的论文表达第四十五页第四十六页，共75页。推荐参考书叶其孝主编,大学生数学建模竞赛辅导教材(一、二、三、四),湖南教育出版社，2001CUMCM优秀论文汇编（1992-2000），中国物价出版社，2002姜启源等，数学模型(第三版)，高等教育出版社，2003刘来福等，数学模型与数学建模(第二版)，，北京师范大学出版社，2002.袁震东等，数学建模，华东师范大学出版社，1997.吴建国等，数学建模案例精编,中国水利水电出版社，2005.胡良剑等，数学实验，上海科学技术出版社，2001第四十六页第四十七页，共75页。数学建模竞赛网上资源CUMCM网站:

国防科大浙江大学数学建模基地第四十七页第四十八页，共75页。1某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。对吗？为什么？数学建模简单实例想象力、洞察力和判断力的考察对！因为……第四十八页第四十九页，共75页。37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？一般思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。第四十九页第五十页，共75页。3某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？车站家5：30相遇早10钟5分钟5分钟6：005：55共走了25分钟。第五十页第五十一页，共75页。4一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程？

所需时间半小时，故奔波了3km在男孩和女孩之间的任意处？！如果男孩和女孩上学时小狗也忘返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？第五十一页第五十二页，共75页。5某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。）dAB河第五十二页第五十三页，共75页。示例1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。第五十三页第五十四页，共75页。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用

(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是

的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f(

)B,D两脚与地面距离之和~g(

)两个距离

椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性第五十四页第五十五页，共75页。用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(

),g(

)是连续函数对任意,f(

),g(

)至少一个为0数学问题已知：f(

),g(

)是连续函数;对任意

，

f(

)•g(

)=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地第五十五页第五十六页，共75页。模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因为f(

)•g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.建模的关键~考察四脚呈长方形的椅子

和f(

),g(

)的确定第五十六页第五十七页，共75页。实例2商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)第五十七页第五十八页，共75页。模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题第五十八页第五十九页，共75页。模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}第五十九页第六十页，共75页。实例3公平的席位分配系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.5乙6331.5丙3417.0总和200100.020.02021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.00021问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比例加惯例对丙系公平吗系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.02021席的分配比例结果10.815116.61573.570321.00021第六十页第六十一页，共75页。“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数席位A方p1

n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2

时，分配公平

p1/n1–p2/n2~对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者对A的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同若p1/n1>p2/n2，对不公平A

p1/n1–p2/n2=5第六十一页第六十二页，共75页。公平分配方案应使rA

,rB

尽量小设A，B已分别有n1，n2

席，若增加1席，问分给A,还是B不妨设分配开始时p1/n1>p2/n2，即对A不公平~对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定义第六十二页第六十三页，共75页。1）若p1/(n1+1)>p2/n2，则这席应给A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1,n2)应计算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),则这席应给应讨论以下几种情况初始p1/n1>p2/n2

问：p1/n1<p2/(n2+1)

是否会出现？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),则这席应给B第六十三页第六十四页，共75页。当rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),该席给ArA,rB的定义该席给A否则,该席给B定义该席给Q值较大的一方推广到m方分配席位该席给Q值最大的一方Q

值方法计算，第六十四页第六十五页，共75页。三系用Q值方法重新分配21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席给丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配结果丙系保住了席位Q1最大，第20席给甲系第六十五页第六十六页，共75页。数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通