选修4-4第二讲-参数方程(曲线的参数方程)

曲线的参数方程第一页第二页，共34页。？救援点投放点一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？如图，建立平面直角坐标系。因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度，由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，第二页第三页，共34页。xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？t时刻，水平位移为x=100t，离地面高度y，即：y=500-gt2/2，物资落地时，应有y=0，得x≈10.10m；即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s，因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。第三页第四页，共34页。

参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。第四页第五页，共34页。例1:已知曲线C的参数方程是（为参数）

(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上．把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以解得t=2,a=9所以，a=9.第五页第六页，共34页。练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）x=100t=1000,t=10,y=gt2/2=10×102/2=500m.第六页第七页，共34页。练习1、曲线与x轴的交点坐标是()BA(1，4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(±25/16,0)2、方程所表示的曲线上一点的坐标是()DA(2，7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0)3已知曲线C的参数方程是点M(5,4)该曲线上.(1)求常数a;（2）求曲线C的普通方程(1)由题意可知:1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；代入第二个方程得:y=(x-1)2/4第七页第八页，共34页。4动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程.解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得A一个定点B一个椭圆C一条抛物线D一条直线D第八页第九页，共34页。ABCD5下列在曲线上的点是()B第九页第十页，共34页。（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.参数方程求法:

（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为;（2）选取适当的参数;（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式;第十页第十一页，共34页。圆的参数方程第十一页第十二页，共34页。yxorM(x,y)圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，怎样刻画运动中点的位置呢？第十二页第十三页，共34页。那么θ=ωt.设|OM|=r，那么由三角函数定义，有如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x,y)，即这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程参数t有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有第十三页第十四页，共34页。圆心为原点半径为r的圆的参数方程.其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度

圆心为，半径为r的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。第十四页第十五页，共34页。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,(x+1)2+(y-3)2=1∴参数方程为(θ为参数)例1已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。练习：第十五页第十六页，共34页。例2如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).由中点坐标公式可得因此，点M的轨迹的参数方程是第十六页第十七页，共34页。例3已知x、y满足,求的最大值和最小值．解：由已知圆的参数方程为第十七页第十八页，共34页。2点P(x,y)是曲线为参数)上任意一点，则的最大值为()A1B2CD练习1P(x,y)是曲线(α为参数)上任意一点,则的最大值为()AA．36B．6C．26D．25D3圆的圆心的轨迹是()A．圆B．直线C．椭圆D．双曲线A第十八页第十九页，共34页。(为参数)上任意一点,则4点P(x,y)是曲线的最大值为

..5已知点P是圆上一个动点,定点A(12,0)，点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹．解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ).∵2|PM|=|MA|,∴由题设∴(x-12,y)=

因此，点M的轨迹的参数方程是第十九页第二十页，共34页。例4(1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程;(2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程.已知P(x,y)圆C：x2+y2－6x－4y+12=0上的点。(1)求的最小值与最大值(2)求x－y的最大值与最小值例5最值问题例6参数法求轨迹已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.AQ:QP=2:1第二十页第二十一页，共34页。例7已知A（―1，0）、B（1，0）,P为圆上的一点,求的最大值和最小值以及对应P点的坐标.

第二十一页第二十二页，共34页。参数方程和普通方程的互化第二十二页第二十三页，共34页。把它化为我们熟悉的普通方程，有cosθ=x-3,sinθ=y;于是(x-3)2+y2=1，轨迹是什么就很清楚了在例1中，由参数方程直接判断点M的轨迹是什么并不方便，一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.把参数方程化为普通方程：第二十三页第二十四页，共34页。例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？解:(1)由得代入得到这是以（1，1）为端点的一条射线；所以把得到第二十四页第二十五页，共34页。(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x2（-1≤x≤1）(3)x2-y=2（x≥2或x≤-2）练习、将下列参数方程化为普通方程：步骤：（1）消参；（2）求定义域。第二十五页第二十六页，共34页。练习将下列参数方程化为普通方程(2)第二十六页第二十七页，共34页。B例2求参数方程表示（）（A）双曲线的一支,这支过点（1,1/2）;（B）抛物线的一部分,这部分过（1,1/2）;（C）双曲线的一支,这支过点（–1,1/2);（D）抛物线的一部分,这部分过（–1,1/2).第二十七页第二十八页，共34页。参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数2.三角法：利用三角恒等式消去参数3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,整体上消去化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。小结第二十八页第二十九页，共34页。普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数：如：直线l的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程:一般地,如果知道变量x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g(t)，那么:就是曲线的参数方程。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致第二十九页第三十页，共34页。例3求椭圆的参数方程：(1)设为参数；(2)设为参数.为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？第三十页第三十一页，共34页。在y=x2中，x∈R,y≥0，因而与y=x2不等价；练习:曲线y=x2的一种参数方程是（）.在A、B、C中，x,