可测函数的定义与性质概述

第11讲可测函数的定义与性质目的：熟练掌握可测函数的定义，熟悉其性质，掌握常见的一些可测函数。重点与难点：可测函数的引入，性质的证明。第11讲可测函数的定义与性质基本内容：一．可测函数的定义为了定义新的积分，我们已经对Rn中的一般集合定义了测度概念，但同时也看到了，Rn中的确存在一些集合，它们是不可测的，因此，有必要对定义于Rn中某个可测子集E上的函数f，考察形如第11讲可测函数的定义与性质

的集合这可测性,假如对一切的上述集合都是可测的，则下面的和式就有意义了（见本书的引言），从而可以讨论其极限的存在性，本章的目的，就是研究使得集合第11讲可测函数的定义与性质

对一切都可测的函数之结构。（1）关于∞的运算由于我们允许函数值取，所以需作一些规定，我们所讨论的函数都是指单值实函数，并且规定（i）（ii）对任意第11讲可测函数的定义与性质（iii）对任意（iv）但是第11讲可测函数的定义与性质

及是没有意义的，因此，不允许作这种运算。（2）定义定义1假设是可测集，是E上的函数，如果对任意常数a，集合都是可测集，则称f是E上的可测函数。第11讲可测函数的定义与性质问题1：为了定义函数的Lebesgue积分，须要求这些函数满足什么条件？问题2：列举几类可测函数的例子？第11讲可测函数的定义与性质（3）简单函数的可测性定义设是可测集,E1，E2，…，En

是E的互不相交的可测子集，且

C1,C2，…,Cn是常数，则称E上的函数为简单函数。/dx//dx/150910/4694207.html/dx/151205/4738748.html/dx/151205/4738750.html/dx/151205/4738751.html/dx/150910/4694176.html/dx/150907/4692216.html/dx/150905/4691645.html/dx/150902/4691147.html/dx/151207/4739192.html/dx/151207/4739197.html/dx/151207/4739201.html/dx/151207/4739215.html/dx/150902/4691141.html/dx/151208/4740618.html/dx/151208/4740619.html/dx/151209/4741159.html/dx/151209/4741163.html/dx/151209/4741170.html/dx/151209/4741172.html/dx/151210/4741687.html第11讲可测函数的定义与性质记为的特征函数，则显然有命题1对任意可测集E，E上的简单函数是可测的。证明：设是E上的简单函数，不失一般性，假设第11讲可测函数的定义与性质（若，则将看作某个Ek

），往证对任意

是可测集。显然，

第11讲可测函数的定义与性质

所以是可测集。证毕。（4）非负函数可测性的等价定义如果可测函数，则称其为非负可测函数。定理1如果是可测集上的非负函数，则下列各陈述相互等价：第11讲可测函数的定义与性质（i）在E上非负可测；（ii）存在E上的非负简单函数列使得证明，其中第11讲可测函数的定义与性质是E上的非负简单函数，满足则对任意实数a及任意是可测集，但故是可测集。(i)

(ii)假设f是E上的非负可测函数，即第11讲可测函数的定义与性质任意实数a,是可测集,不难看到故是可测集，于是对任意常数a，b，集合也是可测的。第11讲可测函数的定义与性质对任意正整数m及令则是互不相交的可测集，且定义简单函数

第11讲可测函数的定义与性质可以证明（请读者自行验证）。下面证明若使则对任意，所以若则可取正整数则当时，第11讲可测函数的定义与性质因此。证毕。由于定理1中（i）与(ii)的等价性，所以，也可将（ii）作为非负可测函数的定义。第11讲可测函数的定义与性质（5）一般可测函数的等价定义而对一般的实值函数，可以作的正负部分解：第11讲可测函数的定义与性质

则,于是又可利用的可测性来定义的f的可测性。即称可测当且仅当都是可测函数。可以证明该定义与定义1是等价的。第11讲可测函数的定义与性质定理2设是Rn中可测集E个的函数，则在E上可测当且仅当下列条件之一成立。

(i)对任意常数a,可测；

(ii)对任意常数a,可测；第11讲可测函数的定义与性质(iii)对任意常数a,可测；证明：因为第11讲可测函数的定义与性质

故可测

(i)

(ii)

(iii)

可测。证毕。问题3：可否用E{x|f(x)=α}(α∈R)的可测性作为可测函数的定义？为什么？第11讲可测函数的定义与性质问题4：可否用E{x|α≤f(x)<β}的可测性作为可测函数的定义？问题5：若f是可测函数，则E{f(x)=±∞}是否可测？第11讲可测函数的定义与性质命题2若是E上的可测函数，则都是可测集。证明由立得证明。第11讲可测函数的定义与性质

二．可测函数的性质（1）几乎处处相等的函数下面讨论可测函数的基本性质。一般地，如果E是可测集，是与x有关的命题，且存在E的零测子集E0，使得对任意，命题成立，则说在E上几乎处处成立。第11讲可测函数的定义与性质性质1如果两个函数与在上几乎处处相等，则当其中一个在E上可测时，另一个也可测。证明：假设可测，则对任意实数是可测集，由于

是零测集，且

第11讲可测函数的定义与性质故是可测集与一个零测集的并，它当然可测。证毕。第11讲可测函数的定义与性质

从性质1可以看到，函数的可测性与其在零测集上的取值无关，因此，讨论的函数的可测性允许在任何零测集上改变其值，比如，我们来看看Dirichlet函数。第11讲可测函数的定义与性质

由于，故可以在上重新定义D的值，从而得新的函数这是常值函数，它与几乎处处相等，所以与的可测性相同。尽管处处不连续，但和一个常值函数却是几乎处处相等的。在第四章中将会看到，这样的函数虽然不是Riemann可积的，却是最简单的Lebesgue可积函数。事实第11讲可测函数的定义与性质

上，它正是我们前面定义的简单函数。（2）

可测函数定义域的分割性质2如果是E上的可测函数，E0是E的可测子集，则也是E0上的可测函数。反之，如果已知在每一个Ei上都可测，i=1,2,3,…,则在可测。第11讲可测函数的定义与性质证明：由立得性质2。由于我们允许可测函数取值为，所以讨论两个可积函数的和、差、商的可第11讲可测函数的定义与性质

测性，需假定这些运算是被允许的。（3）

可测函数的和与差的可测性性质3若，都是E上的可测函数则（i）在E上可测。

(ii)当在E上几乎处处有意义时，在E上可测；第11讲可测函数的定义与性质证明：若，则，它当然在E上可测。若，则对任意

从而由的可测性知可测。

第11讲可测函数的定义与性质若则故仍可测。（i）证毕。为证(ii)，不妨设处处有意义，将R1中的全体有理数排成序列，则对任意第11讲可测函数的定义与性质

由