解析函数的级数表示

第四章解析函数的级数表示§4.1复数项级数§4.2复变函数项级数§4.3泰勒级数§4.4洛朗级数1/5/20241§4.1复数项级数1.复数序列的极限1/5/202421/5/202432.复数项级数1/5/202441/5/20245定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.1/5/202461/5/20247[解]1)

因发散;收敛,

故原级数发散.1/5/202481/5/202491/5/202410(1)发散;(2)绝对收敛;(3)收敛,条件收敛;(4)绝对收敛;(5)绝对收敛.1/5/202411§4.2复变函数项级数1.复变函数项级数1/5/2024121/5/2024132.幂级数(阿贝尔定理)1/5/2024141/5/2024151/5/2024161/5/2024171/5/2024181/5/2024191/5/2024204.幂级数的运算和性质

象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设1/5/202421这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.1/5/2024221/5/2024233)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即1/5/202424§4.3泰勒级数1/5/202425利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:把f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法例如,求ez

在z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.1/5/202426同样,可求得sinz与cos

z在z=0的泰勒展开式:除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:1/5/202427[解]由于函数有一奇点z=-1,而在|z|<1内处处解析,所以可在|z|<1内展开成z的幂级数.因为

例1

把函数展开成z的幂级数.1/5/202428例2

求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.[解]ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,

-1是它的奇点,所以可在|z|<1展开为z的幂级数.-1OR=1xy1/5/202429推论1:推论2：

推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)1/5/202430推论4：例如：它有两个奇点

i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.1-z2+z4-…如复变函数1/5/2024311/5/2024321/5/202433§4.4洛朗级数1/5/202434一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的洛朗级数.根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.R1R2zrK1zRK2zz01/5/202435解：函数f(z)

在圆环域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+

内是处处解析的,应把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO21/5/202436先把f(z)用部分分式表示: