中考数学二轮培优复习《几何模型》专题06 对角互补模型在三角形中应用（教师版）

专题06对角互补模型在三角形中应用【专题说明】对角互补模型证明全等三角形，其辅助线的添加非常灵活，尤其是很多全等证明的题目经常和旋转综合考察，作为初二数学中的压轴题型。我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，希望各位同学能从中收益。【知识总结】一、双等边类型△BCD≌△ACE △ABD≌△ACE △BOE∽△COF二、双等腰直角类型△BCD≌△ACE △BCE≌△DCF △ABD∽△ACE

【类型】一、全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③SKIPIF1<0.证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.由角平分线性质可得CF＝CG，在四边形OFCG中，∠FCG＝60º，∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60º，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG（ASA），∴CD＝CE，结论①成立；在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60º，∴OF＝OG＝SKIPIF1<0OC，又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝SKIPIF1<0OC＝OC，结论②成立；SKIPIF1<0，结论③成立.

【类型】二、全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝SKIPIF1<0OC，③SKIPIF1<0.证明：如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N.∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）在正方形MONC中，由题意可得∠MCN＝360º－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90º，∴∠MCD＋∠DCN＝90º，又∵∠DCE＝90º，∴∠ECN＋∠MCD＝90º，∴∠MCD＝∠ECN∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立；∵四边形MONC为正方形，∴OM＝ON＝SKIPIF1<0OC，又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝SKIPIF1<0OC，∴结论②成立；∴SKIPIF1<0，∴结论③成立.

如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝SKIPIF1<0OC，③SKIPIF1<0.证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.由角平分线性质可得CF＝CG，∴四边形CFOG为正方形，∵∠1＋∠2＝90º，∠3＋∠2＝90º，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG，∴CD＝CE，结论①成立；在正方形CFOG中，OF＝OG＝SKIPIF1<0OC，∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝SKIPIF1<0OC＝SKIPIF1<0OC，②成立；SKIPIF1<0

【类型】三、全等型—SKIPIF1<0和SKIPIF1<0如图，已知∠AOB＝SKIPIF1<0，∠DCE＝SKIPIF1<0，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cosSKIPIF1<0，③SKIPIF1<0.证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.证△CDF≌△CEG可得CD＝CE，结论①成立，在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝SKIPIF1<0，∴OF＝OG＝OC·SKIPIF1<0，又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝2OC·cosSKIPIF1<0，结论②成立，SKIPIF1<0，结论③成立.

【类型】四、相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝SKIPIF1<0.结论：CE＝CD·SKIPIF1<0.证明【方法一】：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.先证△CEG∽△CDF，即SKIPIF1<0，又∵四边形CFOG是矩形，∴CF＝DG，在Rt△COG中，SKIPIF1<0，∴CE＝CD·SKIPIF1<0；证明【方法二】：如图2，过点C作CF⊥OC交OB于点F.通过证明△CFE∽△COD可得SKIPIF1<0.

【基础训练】【类型】一、一般情况基本条件:△ABC∽△EDC，连接AE、BD后,有△AEC∽△BDC，相似比为AC边与BC边之比。可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。1、(直接用双子)如图，直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E．(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；(2)着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，说明理由．解析：①全等．理由：∵△AOB和△CBD是等边三角形，∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，BC＝BD，∠CBD＝60°，∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠OBC＝∠ABD，在△OBC和△ABD中，∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）．②不变．理由：∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°，∴Rt△OEA中，AE＝2OA＝2，∴OE＝，∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）．

2、如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（）A．EQ\F(1,2)B．EQ\F(\R(,2),2)C．1D．EQ\R(,2)解析：设Q是AB的中点，连接DQ，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC＝2，O为AC中点，∴AQ＝AO，在△AQD和△AOE中，，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD＝OE，∵点D在直线BC上运动，∴当QD⊥BC时，QD最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形∴QD＝QB，∵QB＝AB＝1，∴QD＝，∴线段OE的最小值是为．故选：B．3、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°,cosC＝EQ\F(5,6),点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时EQ,\F(AE,BD)的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（图1）（图2）解析：当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝；【类型】二、旋转构造双子型此类图的特点在于图形的不完整。一且补全图形,答案即可解出,而方法不仅仅是构造,亦可用旋转,构造与旋转本就可互相代替,但我们常常选用旋转来解决!不过本专题打算用构造的思路去解决!面转的方法读者可自行尝试,图是一样的！1．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则BD的长为_________．解析：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′，∠DAD′＝90°，由勾股定理得DD′＝＝3，∠D′DA＋∠ADC＝90°，由勾股定理得CD′＝＝，∴BD＝CD′＝．2、如图，在△ABC中,∠ABC＝60°,AB＝EQ2\R(,3),BC＝8，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD,且∠DAC＝120°,则BD的长为________.解析：以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，则∠BAE＝120°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，∴BE＝2BP＝6，在Rt△BED中，BD＝＝10，【巩固提升】1、如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD＝39°,那么∠ACE＝_______．解析：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC，BE＝BD，∴∠CBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE＝120°在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE，（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD＝21°，∴∠AEC＝21°，∴∠ACE＝99°2、如图,△ABC为等边三角形,AB＝2,点D为BC边上的动点,连接AD,以AD为一边向右作等边△ADE,连接CE(1)在点D从点B运动到点C的过程中,点E运动的路径长为_________;2)在点D的运动过程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD的长,若不存在,请说明理由.(3)取AC中点P,连接PE,在点D的运动过程中,求PE的最小值.解析：(1)△ABD≌△ACE可得BD=CE,E的运动路径的长即D的运动路径长，BC=2.(2)∠DEC＝60°相当于∠AEC=∠ADB=120°，即∠EDC=0°,此时点D与点B重合.因此不存在.(3)∠ACE=60°,当PE⊥CE时取最小值.PE=PCcos60°=EQ\F(1,2).

3、在锐角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到EQ△A\S\DO(1)BC\S\DO(1)．（1）如图1，当点EQC\S\DO(1)在线段CA的延长线上时，求EQ∠CC\S\DO(1)A\S\DO(1)的度数；（2）如图2，连接EQAA\S\DO(1),CC\S\DO(1)．若EQ△ABA\S\DO(1)的面积为4，求EQ△CBC\S\DO(1)的面积；图1图2解析：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°．（2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，∴，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1，∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴，∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝；

4、【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．图1图2图3（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．（3）∠ABC＝∠ACN；理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝，又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN．5、如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H．（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中,∠AHC的大小是否始终为90°,请说明理由；（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，求DH的最大值；备用图解析：（1）是，理由如下：如图，由旋转知，∠ABE＝CBG，在正方形ABCD，BGFE中，AB＝BC，BE＝BG，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴△ABE≌△CBG，∴∠BAE＝∠BCG，记AH与BC的交点为点P，∵∠APB＝∠CPH，∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°，∴∠AHC＝∠ABC＝90°，（2）DH≤DE+EG=BD=EQ2\R(,2)

6、如图1，已知点A(0,－3)和x轴上的动点C(m,0),△AOB和△BCD都是等边三角形．（1）在C点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC的长度，请将它找出来，并说明理由．（2）如图2，将△BCD沿CD翻折得△ECD,当点C在x轴上运动时，设点E(x,y),请你用m来表示点E的坐标并求出点E运动时所在图象的解析式．（3）在C点运动的过程中，当EQm＞\R(,3)时，直接写出△ABD是等腰三角形时E点的坐标．图1图2解析：（1）连接AD，如图1所示．A、D两点间的距离始终等于OC的长度．理由如下：∵△AOB和△BCD都是等边三角形，∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD，∠OBC＝∠OBD＋∠DBC，∴∠ABD＝∠OBC．在△ABD和△OBC中，有，∴△ABD≌△OBC（SAS），∴AD＝OC．（2）过D作DF⊥y轴于F，连接BE，如图2所示．由（1）可知△ABD≌△OBC，∴AD＝OC＝m，∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°∴DF＝AD•sin∠DAF＝m，AF＝AD•cos∠DAF＝m，∵A（0，﹣3），∴D（m，m﹣3）．∵将△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等边三角形，∴四边形BCED是菱形，∴BE、CD互相平分．∵△AOB是等边三角形，且点O（0，0），点A（0，﹣3），∴点B（，﹣），∴E（m﹣，m﹣）．∵m﹣＝（m﹣），∴点E在图形y＝x上运动．（3）∵点A（0，﹣3），点B（，﹣），点D（m，m﹣3），∴AB＝3，AD＝m，BD＝＝，△ABD为等腰三角形分三种情况：①当AB＝AD时，有3＝m，此时点E的坐标为（﹣，﹣）；②当AB＝BD时，有3＝，解得：m＝0（舍去），或m＝3，此时点E的坐标为（3，3）；③当AD＝BD时，有m＝，解得：m＝（舍去）．综上：在C点运动过程中，当m＞时，△ABD是等腰三角形时E点的坐标为（﹣，﹣）或（3，3）．7、【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE＝AB,AD＝AC,∠BAE＝∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．图1图2图3解析：（1）BD＝CE．理由是：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE；（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，∴EC＝＝＝，∴BD＝CE＝．（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，∴AE＝AB＝7，BE＝＝7，又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴∠BAE＝∠DAC＝90°，∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE，∵BC＝3，∴BD＝CE＝（7﹣3）cm．2、(1)如图1，已知△ABC,以AB、AC为边分别