考点利用空间向量求解立体几何中角与距离届高三数学理个黄金动员版

【考点特训【考点特训四棱A¢BCDE,A¢O⊥平BCDEA¢D与平A¢BC所成的角的正弦值等于）233322241考点：1.直线和平面垂直的性质定理；2.直线和平面所成的角2.【2014年浙江省嘉兴市2014届高三3月教考点：1.直线和平面垂直的性质定理；2.直线和平面所成的角2.【2014年浙江省嘉兴市2014届高三3月教学测试（一】如图1,在等腰DABC中A900BC6,DE分别是ACAB上的点CDBE=2OBC的中点DADEDE折起,得到所示的四棱锥A'BCDE,若A'O^平面BCDE,则AD与平面ABC所成角的正弦值等于)23332224学年第一学期温州市十校联合体期末联考】在二面角-l-3.【中a b,A˛l,B˛l,AC^l,BD^l,若AB AC=BD=2CD5则二面a-l-b的余弦值 12【答案【解析试题分析：根据题意画出图形：在平面β内，过A作AEBD，过点DDEl，交24.【湖北省部分重2014-2015年度上学期高三起19（本小题满分4.【湖北省部分重2014-2015年度上学期高三起19（本小题满分12分）B90AB=2,BC=1,DE两点分别是线AB、AC的中点，现将DABCDE折成直二面ADEB(Ⅰ)求证面ADC^面ABE(Ⅱ)AD与平ABE所成角的正切值ADCB33【答案】(Ⅰ)证明.【解析试题分析：(Ⅰ)本小题可由面面垂直的判定定理加以证明，即线面垂直面面垂直，通过3E面ABE，所以得到面ADC^面ABEBECDHAHDDO^AHO，可证得DAOADABE=4ABCDA1B1C1D1AB4AD2AA12,FBC的中点，点E在棱C1D1D1ElEC1（l为实数15轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-1+则A（2，0，0），C（0，4，0），D轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-1+则A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），E（0，2），F（1，40）D1A＝(2，0，−2)，D1C＝(0，4，1(1)当λ＝时，E（01，2）EF=（1，3，2）3z)，则D1的法向量为n＝(x66.【河北省“五个一名校联盟”6.【河北省“五个一名校联盟”2015（一）19（本小题满12分如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1⊥底面ABCD，AB∥DCAA11AB3kAD=4k，BC=5k，DC=6k(k>0)（Ⅰ）求证：CD⊥平面6（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值k的值7【答（Ⅰ）见解析【解析BC2=BE2EC2，所以BE⊥DC，所以ADBC垂直，AA1⊥面ABCD，所以AA1⊥CD，所CD垂直7AA1D1DAA1D1D（Ⅱ）8(1求证：A1B(2AB⊥AC，AB＝AC＝1(1求证：A1B(2AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，求平ADC1ABA1所成二面角的正弦值(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系 1C1(0，1，2)D(2，2 →→AD＝22，0)，AC1＝(0，1，2)．…6设平ADC1的法向量m＝(x，y，z)， 12x2y＝0不妨取m＝(2，－2…99易得平面ABA1的一个法向量＝AC…10易得平面ABA1的一个法向量＝AC…10m·n 【考点】空间几何体，空间线面关系，空间向…12如图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面的中点，AQ＝2BD，PDEQG，PCFQ交于H，连结（1）求证（2）PABPCD所成角的正弦值．z=1n(0,2,1)-x-y+2z=n(xyz，由nDP0nCP0，得-y+2z=1量夹角的余弦值cosnBQn 2·2 量夹角的余弦值cosnBQn 2·2 5，从PAB与平PCD所成角的5|n||BQ 5·值为1-555=5故平PAB与平PCD所成角的正弦值为1-5 12=551考点：1.线线平行的证明；2.利用空考点：1.线线平行的证明；2.利用空间向量求线面角9.【四川省成都市2015业班摸底测试19】(本小题满分12分如图，已知OAB＝3C为OA，BVC^ABCVC＝2MVB的中点BC^AC＝1，求M－VA－C的余弦值考点：空间直线与平面垂直的判定，二面角的计算，空间直角坐标系，空间向量的应110.【北京市西城2014届高三一模（理（本小题14分10.【北京市西城2014届高三一模（理（本小题14分如下图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1E是的中点D1E^CD，AB=2BC=2（1）BC（3）BCCBBEDpDE的长度1113试题解析：（1）因为底面ABCD和侧BCC1B1是矩形，BC^CD，BC^CC1又因为CDCC1CBC^DCC1D1所DCC1D1因1BC^D1EE0,0,0B(1,1BC^D1EE0,0,0B(1,10D1(00a、C(0,10B1(12a、G(100D1Ea，设平BED1法向量为n(x,y,，，ED1=(0,0,， nEB=x+y=由 ，得z=x=1n(1-1.1考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面平行；3.二面角；4.空考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面平行；3.二面角；4.空间向11.【海淀区高三年纪第二学期其中练习（理（本小题满分14分如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点AE^BDE，延长AE交BC于F，将DABD沿BD折起，使平面ABD^平面BCD，如图2所示.（Ⅰ）求证：AE⊥平面（Ⅱ）求二面角A–DC–B的余弦值（Ⅲ）在线AF上是否存在MEM平面ADC？若存在,请指明M的位置；若不存在，请明理由=（Ⅱ）（Ⅲ）5 【解析AE^试题分析：（Ⅰ）已知条件为面面垂直用定理转化为线面垂直.折叠前后皆而111设平ADC的法向量n(xyz，3x+y=n=设平ADC的法向量n(xyz，3x+y=n=即3z=令z=1，则y=3,x=1，所以n=(1,3,- 8DCB所以cosnEAEA55=，|EA||n55所以二面ADCB的余弦值------------------------------分12.【北京市朝阳2014届高三年级第一次综合练习（理（本小题满分14分如图，四棱PABCD的底面为正方形，侧PAD^底面ABCD△PAD为等腰直角三角形，PA^AD．EF分别为底AB和侧PC的中点（Ⅰ）求证EF∥平PAD（Ⅱ）求证EF^PCD11EF¸PADEF¸PADPAD1zPFADyEBxC2zPFADyEBxC213.【2014年石景山区高三统一测试（理（本小题满分1413.【2014年石景山区高三统一测试（理（本小题满分14分ABCA1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3DAC的中如图（Ⅲ）AA1上是否存在一A1BD，若存在，求E，使得平在，说明理2试题解析（Ⅰ）证明：连AB1A1B试题解析（Ⅰ）证明：连AB1A1BM，连B1CDM因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱所以四边形AA1B1B是矩形MA1BMD是三角AB1C的中位线分A1BDB1C¸A1BDB1CA1BD2学科由题意可AA1(030)是平学科由题意可AA1(030)是平……………7分ABD的一个法向量21所以cosn，AA1=2……………84p．3……………91214.【北京市丰台2014届高三一模14.【北京市丰台2014届高三一模（理】141A1B1C1D1EAB上的动点；（Ⅱ）若直线DA与平面CED成角为45o， 11（Ⅲ）ED1CE的位置（结论不要求证明试题解析：解：以D2(0,0,0)（1(0,0,0)（1，0，0，(1,1,0，(0,1,0)1(0,1,2)1(1,0,1)（Ⅱ）求直线CDACM（Ⅲ）NACM的距离以2222x+4y=n^ACn^AM可得，2y+2z=2x+4y=n^ACn^AM可得，2y+2z=z=1n(2,-1,1)63CD设所求角为，则n=.=16.【浙江省“六市六校”联届高考模拟考试】如图，将边长2的正方ABCD折成一个直二面角，且EA⊥平ABD，AE=a（Ⅰ）若a22，求证：AB∥平（Ⅱ）a的值，使得二面角A-EC-D的大小为ECADB解析：（Ⅰ）如图建立空间指教坐标系，则2),D(0,2,0),E(0,0,22AB=(2,0,0),DE=(0,-2, 2,DC=(1,-1,2设平面CDE的一个法向量为n1(x,y则有-2y设平面CDE的一个法向量为n1(x,y则有-2y22z0xy+2z0，2------------4\n10AB不在平面CDE内，所AB平面CDE------------7考点：１、直线和平面平行的判定定理；2、二面角的求法17.【2013年第一学期温州市十校联合体期末联考】如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为一直AD,CDADCD2AD2AB,平PAD^底ABCDEPC的中PAD(2)BCBDE所成角的余弦值理由PECAB2DABCDABCD，CD^PAD^2PAD^PAD^3zPECyAB设AB2a，如图建立空间坐标系，xA(a,zPECyAB设AB2a，如图建立空间坐标系，xA(a,0,0),B(a,2a,0)，P(0, 3a)E(-a,3aC(-a,4a,0),D(-a,0,0)22.……33D故在线段上不存在M满足题意考点：(1)空间的位置关系的故在线段上不存在M满足题意考点：(1)空间的位置关系的证明；（2）线面角的求法；（3）量在立体几何中的应用18.【浙江省东阳中学2013-2014学年高二3月阶段考试】如图，四棱锥PABCDABCD是平AD2,AB1ABC60PA^ABCDEPCFPDPF=2FD（Ⅰ）BEACFPA的长（Ⅱ）ACFD的大小为q，若|cosq（PA^ABCDABACAPx,yzA(0,0,0B(1,0,0C(0,30D(-33设P(0,0,c)，则 ,2)23Fx,yzPF2FD(x,y,z-c)=2(-1-3-y,-x2y，z=c3333所以F(-2, ,3．……..5 所以AF=(-2,Fx,yzPF2FD(x,y,z-c)=2(-1-3-y,-x2y，z=c3333所以F(-2, ,3．……..5 所以AF=(-2, ,),AC=(0,3,0)，BE=(-33,) 22c-xy+z=ACFnx,yz333n(c0,2)y=nBE=-c+c=0，且BE¸面ACF，所以BE//平面ACF 919.【2014安徽六校教育研究2月联考数（本小题12分等边三角、分别是边、上的点,且满沿折起到的位置,使二为直二面角,连、（Ⅰ）求证平;（Ⅱ）在线上是否存在点与平所成的角?若存在,求的长,若存在,请说明理由33333解,,符合题意,所以在线上存在点与平所成的角考点解,,符合题意,所以在线上存在点与平所成的角考点：1、直线与平面垂直的判定；2、直线与平面所成角的求法；3、空间直角坐标系,母线,BCO的直径,D,E分别是AA1BB1的中点（I）证明:DE//平面（II）证明:平面B1DC^平面CBB1（III）若BB1BC,求二面角A1B1CB的余弦值33【答（I）见解析;（II）见解析;（III）【解析试题分析：（I）证明直线与平面平行,只需用判定定理即可;（II）要证面面垂直,只要找到其中一个平面的线,再利用判定定理即可;（III）求二面角,可以先找出这个二面角的平面角,再求即可,也可用向量法求解试题解析：证明（Ⅰ）如图3EOOA,E,O分别为CB1、BC的中点,EOEOOA,E,O分别为CB1、BC的中点,EO是DBB1C的中位线1EOBBEO=BB1121DABB1DA2BB1EO,DAEODAEOAOED是平行四边形,DEOADE¸平面ABC平面ABC,DE平面ABC……………43【考点预测1.【热1测】如图，在直三棱柱【考点预测1.【热1测】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1ACABAA12BCBCAA1的中点G为棱CC1上的中点（Ⅰ）EG^A1C2EF分别（Ⅱ）求二面A1AGE的余弦FGCAEB3zFGxAEy2.【热zFGxAEy2.【热（1）为的中点，求证面；（2）证面.（3）求PECPAD所成的角的余弦值66【答（1）详见（2）详见解（3【解（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长4的正方形PA^面ABCDPAEBPAAD4EB2PD的中点F，如图所示3∵PA=AD∵PA=AD,∴AF^PDCD^DACD^PAPADAACD^ADPCD^AF