近世代数课件-置换群

第三章置换群置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却简单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置换群的有关结论.§3.1置换群的共轭类

1.置换的循环与对换分解在§1.2节我们曾介绍过置换的概念,n个符号的任意置换记为：1/5/20241数学与计算科学学院其中是1－n中的某一数字.(1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之积来表示，如其中(5)称为单循环，它代表5变为5.即5不变.(14)为二循环，它代表1变为4，而4又变为1.(236)为三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2.

一般用记号1/5/20242数学与计算科学学院代表一个k循环，并称k为循环的长度，两个数字的循环(即循环长度k=2)又称为对换.显然，两没有公共数字的独立循环之间是相互对易的，如而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结果，如

单循环往往省去不写，如(2)式可写成1/5/20243数学与计算科学学院任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之积，如而一般情况下可以证明：

1/5/20244数学与计算科学学院当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易的，如由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相同数字的对换之积.因此，一个置换可分解为若干个含有相同数字的对换之积.由于一个循环分解为对换乘积的形式不是唯一的，如(3)式示,所以一个置换可分解为对换之积的形式不是唯一的.一个置换若能分解为奇数个对换之积，则称为奇置换.反之,一个置换若能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换.一个置换可分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性1/5/20245数学与计算科学学院却是唯一的.因为任一置换可分解为形式一定的循环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积,如.反之，若长度k为奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如

.任一置换和它的逆具有相同的奇偶性.如

显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与一个偶置换之积为奇置换.

记所有偶置换的全体为，则的数目正好1/5/20246数学与计算科学学院等于个.并且由于偶×偶=偶满足封闭,单位元(恒等置换—零个对换)，另，故构成的一个子群，且是一个不变子群.因为对于任意的，有显然商群是二阶群,它有两个一维表示与,而任何一商群的表示也一定是其大群的表示，所以群一定有两个不等价的一维表示,其中一个是，即中的所有置换都对应于单位元1，此为恒等表示.另一个一维表示是,在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换1/5/20247数学与计算科学学院都对应于－1.2.的共轭类现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类.

设有两个置换与，它们都是的群元素，其中则的共轭元素为：1/5/20248数学与计算科学学院这一结果表明，欲求置换的共轭置换，只需对置换中的上下两行数字同时施行置换

,例如对的上下两行数字同时施行置换

得：若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求共轭元素的规则又可表述为：欲求置换的共轭置换

,先将与写成独立的循环之积的形1/5/20249数学与计算科学学院式，然后对的每个循环因子中的数字分别施行置换.

如在上例中，我们有对中的每个数字分别施行置换得：与前面所得结果相同.

由上面的讨论可见，与它的共轭元素有相同的循环结构.反之，有相同的循环结构的元素1/5/202410数学与计算科学学院一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组成一个共轭类，为了确定群中共轭类的数目,人们引入了配分的概念:

约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n，这样n可分解为一些不增加的整数之和，称为n的一个配分,且每一个n次置换都对应于一个n的配分，如置换

其配分为：

6=3+2+1或简记为[321].由于相互共轭的元素具有相同的1/5/202411数学与计算科学学院循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的.也就是说的一个共轭类中的所有元素对应于n的同一个配分，所以置换群的共轭类数目等于n的不同的配分数.

例1:

有两个类

配分[11]=[],有一个元素:(1)(2)=.

配分[2],有一个元素:(12).

有三个类

配分[111]=[],有一个元素:(1)(2)(3)=.

配分[21],有三个元素:(12)、(13)、(23).

配分[3],有两个元素:(123)、(132).1/5/202412数学与计算科学学院

有五个类配分[1111]=[],有一个元素:(1)(2)(3)(4)=.

配分[211]=[2],有六个元素:(12)、(13)、(14)、(23)、(24)、(34).

配分[22]=[],有三个元素:(12)(34)、(13)(24)、(14)(23).

配分[31]，有八个元素:(123)、(132)、(124)、(142)、(134)、(143)、(234)、(243).

配分[4]，有6个元素：(1234)、(1243)、(1324)、(1342)、(1423)、(1432).

由§1.3节的讨论知，与群同构，所以也有两个一维与一个二维不可约表示.1/5/202413数学与计算科学学院

有不变子群其商群为：其中

1/5/202414数学与计算科学学院显然与群同构，因此，群的三个不可约表示还是的表示.由于有5个类(=5个不可约表示)，它的阶数为4！=24.所以由§2.6节(6)式知，各不可约表示维数的平方和满足关系亦即所以故：

1/5/202415数学与计算科学学院所以的5个不可约表示分别为：两个一维表示、一个二维表示及两个三维表示.1/5/202416数学与计算科学学院§3.2杨图与杨盘由上节的讨论可以看出，群的类是和n的配分联系在一起的，n的各种配分可以形象地用杨图表示出来.1.杨图设n的某种配分为，其中,且，该配分是由n个格子组成的方格图，其中第一行为个格子，第二行为个格子等等.如图所示.上面一行的方格数大于等于下面一行的方格数，左侧一列的格子数大于等于右侧一列的格子数合起来总共有n个方格.此方格图即称为n次杨图.1/5/202417数学与计算科学学院

例1:

群的杨图由两个格子组成，各配分的杨图为:1/5/202418数学与计算科学学院群的杨图由三个格子组成，各配分的杨图为:

群的杨图由四个格子组成，各配分的杨图为:

1/5/202419数学与计算科学学院

显然杨图数=配分数=共轭类数=不等价不可约表示数.

假设在n的配分中，单循环有个，2循环有个，n循环有个等等，则

对于中一个确定的类，n的配分是一定的，所以可以用数组来标记的共轭类，这种标记方法的好处之一是可以用数组方便地求出各类中所包含的元素数，其结果是1/5/202420数学与计算科学学院

证:

设中某置换的循环结构为在括号中点子的总数为n个，现在有n个不同的数字放入上述括号中的点子处，若不考虑其它限制条件，总共有种放法.但中有许多是属于相同的置换，一是各独立循环的对易不给出新置换，所以个i循环中有种置换是属于同一种置换，因此中必须除去，再就是各循环中数字的轮换不给出新置换，如(123)=(231)=(312).所以一个i循环中将重复置换i次，个i循环要重复置1/5/202421数学与计算科学学院换次，所以中必须除去，因此得结果(1)式.

例2:对于群，在类中，故,故按(1)式，在类中包含的元素数为在类中，则,故1/5/202422数学与计算科学学院在类中，，则故在类中，，则故在类中，，则故1/5/202423数学与计算科学学院这些结果与§3.1节例1的结果是一致的.2.杨盘置换群的不可约表示的个数与杨图的个数联系起来(二者相等)，再引入杨盘的概念，就可以确定出各不可约表示的维数.

在的杨图上，将n个数字无重复地填满n个格子，并且每一行自左向右是按增加顺序排列的，而每一列由上往下，数字也是增加的，由此得到的填了数字的杨图，称之为杨盘(或杨表).

例3:,n=1,2,3,4时的杨盘如下图示1/5/202424数学与计算科学学院杨盘1/5/202425数学与计算科学学院

定理：群中不可约表示的维数等于杨图上杨盘的个数.

例4:

对于群杨图 ,杨盘1个,.

杨图 ,杨盘2个,.

杨图 ，杨盘1个，.

故在群的三个不可约表示中，两个是一维的，另一个是二维的，这与§3.1节例1得到的结论是一致的.

对于群杨图，杨盘1个，.1/5/202426数学与计算科学学院杨图，杨盘2个，.

杨图，杨盘3个，.

杨图，杨盘3个，.

杨图，杨盘1个，.

所以在群的5个不可约表示中，其中有两个是一维的，一个是二维的，另两个是三维的.这与§3.1节例1得到的结论是一致的.

群不可约表示的维数，亦可通过如下简单的公式求得：1/5/202427数学与计算科学学院其中一个方格的曲距定义为该方格右面和下面的方格数之和加1.例如，对于杨图，由上式可得其不可约表示的维数为对于杨图，与上例所得结果相一致.1/5/202428数学与计算科学学院§3.3的不可约表示由前面的讨论可知，由杨图与杨盘，我们可以确定不可约表示的个数与维数，这节我们将讨论的不可约表示矩阵的具体求法.

为此目的，我们先对杨图中的每个杨盘作标号,如用来标记它们，即代表杨图中标号为i的杨盘.假设共有个杨盘，则对应于杨图的不可约表示是维的，矩阵元

1/5/202429数学与计算科学学院下脚标r、s是对应于杨图的诸杨盘的标号.

根据置换群理论，群的不可约表示中相应于对换的矩阵元由以下规则确定:其中的代表将杨盘中的数字1/5/202430数学与计算科学学院互换后得到的杨盘.为杨盘中的数字的轴距，计算轴距有一个简单的规则，即如果规定沿着杨盘向上或向右移动一格为+1，向下或向左移动一格为-1，则从k-1出发，沿着直角路线到达k总共经过的方格的代数和就是轴距.

上述规则仅给出了两相邻数字对换的不可约表示的矩阵，利用下列递推关系就可将任一对换用相邻数字的对换表示出来，比如1/5/202431数学与计算科学学院由于任一置换都可以分解为对换之积，这样只要知道了的所有相邻对换元素(k-1,k)的表示矩阵.就可以确定出的任一元素的表示矩阵，从而群的不可约表示也就完全确定了.

例1:

现在我们利用上述方法求出群的表示矩阵.

对于群，其杨图与杨盘为：1/5/202432数学与计算科学学院所以不可约表示与都是一维的.

对于杨盘，，故,

对于群，其杨图与杨盘为：1/5/202433数学与计算科学学院所以，不可约表示与是一维的，而是二维的.故得：对于杨盘,再由关系(3)知:

1/5/202434数学与计算科学学院对于盘，,故由(1)式得:.对于盘，，故由(1)式得:.因故由(1)式得:

这样1/5/202435数学与计算科学学院对于盘，故由(1)式得:对于盘，故由(1)式得:又故由(1)式得:这样1/5/202436数学与计算科学学院再由上面的关系(3)可求解其它元素的表示,结果为:由此可见，群的各表示与§2.4节例1求得的群的不可约表示一一对应，其结果完全一样，这是显然的.因为群与同构.1/5/202437数学与计算科学学院§3.4群不可约表示的特征标群的不可约表示的特征标称为它的单纯特征标，它是类的函数，常用来标记，这里的右上角为n的一种配分

,用以标记的不可约表示，右下脚也是n的一种配分.用以标记中的某一类，按置换群理论，群相应于配分的不可约表示在类中的特征标为：上式求和i是对将个连续格子添加到1/5/202438数学与计算科学学院杨图中的所有可能的方法进行的，而其中为在每次添加中连续格子的“距”之和，而“距”为最长一列中的格子数减1.所谓连续格子是指处在杨图同一行的格子，每一行的格子标号相同，且由上而下标号依次增大，如下图所示:1/5/202439数学与计算科学学院将的格子添加到杨图的规则是：添加每一组数字相同的连续格子不许出间断，添加的每一步都要使所得到的方格图为一杨图，且从上而下或从左而右看，数字必须是不减次序，每一步添加相同数字的格子必须形成那一步的杨图阶梯的一个连续段，所谓杨图的阶梯是由杨图右下方的边缘带上的格子组成.

如杨图的阶梯是由下图中有阴影的格子所组成，即每一步应将数字添加到杨图的最外层.1/5/202440数学与计算科学学院

例1:

各不可约表示的特征标由上节(§3.3节)例1的结果可以容易的得到，这里我们将用公式(1)求得其特征标.

对于对于1/5/202441数学与计算科学学院

对于1/5/202442数学与计算科学学院§3.5的分支律

现在假设在某一组基矢下，相对于杨图群的不可约表示为,如果用来作为n-1个符号(1,2,……,n-1)的置换群的表示时，它一般不再是不可约的了.适当地选取一组新基矢，即对作一相似变换,我们可将其分块对角化，这样其中各就构成的不可约表示，那么是如何确定的呢？这就是分支律将要回答的问题.1/5/202443数学与计算科学学院

分支律:

对于n次杨图，如果它的某一行的格子数多于下一行的格子数，那么从这一行挪去一个格子可得到一个n-1次杨图，用这种方法得到的所有n-1次杨图就给出了的不可约表示中所包含的各种不可约表示，而且的每一个不可约表示只出现一次.

如群的杨图按分支律所述规则，可以从这5个格子中分别挪去一个格子，得到1/5/202444数学与计算科学学院只有这两种去格子的方法，而按照如下方法去格子是不允许的一是因为去格子的行的格子数不多于它的下面一行,另外，去格子后的图不是杨图，因此由群的杨图到群杨图的约化只能是1/5/202445数学与计算科学学院相应的表示有关系

例1:

在§3.3节例1，我们曾求得群的不可约表示为：对于，元素(e)与(12)的各不可约表示为：

1/5/202446数学与计算科学学院对于杨图故亦即对于杨图故，亦即1/5/202447数学与计算科学学院对于杨图，故亦即所得结果与§3.3节例1的结果相符合.

1/5/202448数学与计算科学学院§3.6SU(n)群的不可约表示本节将扼要地介绍杨图在特殊幺正群SU(n)表示中的应用.

设有非奇异n阶复矩阵U(n)群,如果它的元素满足关系亦即则称U(n)为幺正群(UnitaryGroup),

在U(n)中,行列式等于1的元素的全体构成的群称为特殊幺正群(SpecialUnitaryGroup),记为SU(n),即1/5/202449数学与计算科学学院1.杨图与SU(n)的不可约表示

SU(n)群的不可约表示通过n-1个参数来描述，这一组参数可用杨图表示出来，如图所示，为具体起见，图中取、、、、若这个杨图代表的是SU(7)群的一个不可约表示，则该表示应记为

1/5/202450数学与计算科学学院若代表的是SU(6)群的一个不可约表示，则该表示应记为：同理若代表的是SU(5)群的一个不可约表示，则该表示应记为：这时标有的一列格子是多余的.因为SU(5)群的不可约表示有四个参数，因此最多只需四行格子，这样多余的五行格子可以去掉，如下图所示1/5/202451数学与计算科学学院

SU(n)群各不可约表示的维数由下述公式求得.SU(2)群各不可约表示由一个参数描述，记为，其维数为：

SU(3)群的不可约表示由两个参数、

描述，记为，其维数为1/5/202452数学与计算科学学院一般地，SU(n)群的不可约表示由个n-1个参数描述，记为，其维数为

如：SU(4)群不可约表示的维数为SU(5)群不可约表示的维数为

1/5/202453数学与计算科学学院另简单地计算可得：2.表示直积的分解现在我们来介绍一下如何用杨图将SU(n)的两个不可约表示的直积分解为不可约表示的直和的方法，也就是给出表示直积的克莱布施—戈登展开:1/5/202454数学与计算科学学院作出两个直积的不可约表示的杨图.例如，SU(3)群两表示的直积，相应的杨图为：选择其中的一个杨图作为基础图，为了简单起见，通常选择比较复杂（格子数较多者）