南京大学《数值分析》课件-第7章

南京大学《数值分析》课件-第7章汇报人：郑老师2023-12-31目录引言线性方程组的数值解法非线性方程组的数值解法数值分析的误差分析习题解答引言0101数值分析的发展历程数值分析是一门研究数值方法的科学，随着计算机技术的不断发展，数值分析在各个领域得到了广泛应用。02数值分析的应用领域数值分析的方法和思想被广泛应用于科学计算、工程、经济、金融等领域。03数值分析的重要性数值分析为解决实际问题提供了有效的数值方法，是现代科学和技术不可或缺的重要工具。背景介绍通过学习本章，学生应掌握数值分析的基本概念和原理，了解数值方法的数学基础。掌握数值分析的基本概念和原理学生应理解常用数值方法的实现原理和应用场景，能够运用这些方法解决实际问题。理解常用数值方法的实现和应用通过学习和实践，培养学生的数学建模和解决实际问题的能力，提高数学素养和应用能力。培养解决实际问题的能力本章的学习为后续课程如计算物理、计算化学、计算金融等打下基础，提供必要的数值分析知识和方法。为后续课程打下基础章节目标线性方程组的数值解法02高斯消元法是一种直接求解线性方程组的方法，通过消元和回代过程求解未知数。高斯消元法的基本思想是将增广矩阵通过一系列行变换化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解未知数。该方法适用于系数矩阵为方阵且系数矩阵可逆的情况。总结词详细描述高斯消元法迭代法总结词迭代法是一种求解线性方程组的迭代算法，通过不断迭代逼近方程的解。详细描述迭代法的基本思想是构造一个迭代公式，通过迭代公式不断逼近方程的解。常见的迭代方法有雅可比迭代法和SOR方法等。总结词共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代算法，结合了梯度法和共轭方向法的思想。详细描述共轭梯度法的基本思想是利用已知的梯度和共轭方向，构造一个迭代公式，通过迭代公式不断逼近方程的解。该方法具有较快的收敛速度和较小的数值误差。共轭梯度法非线性方程组的数值解法03牛顿-拉夫森方法是一种迭代算法，用于求解非线性方程组的根。该方法基于牛顿法的思想，通过迭代逼近方程的根，具有较高的收敛速度。牛顿-拉夫森方法需要计算函数的一阶导数，因此需要对方程进行求导。牛顿-拉夫森方法在处理非线性方程组时，可能会遇到局部最小值和鞍点问题。牛顿-拉夫森方法拟牛顿法是一种改进的牛顿法，用于求解非线性方程组的根。该方法通过构造一个拟牛顿矩阵来近似海森矩阵，避免了直接计算二阶导数，降低了计算成本。拟牛顿法具有较好的全局收敛性和局部超线性收敛性，适用于大规模非线性方程组的求解。拟牛顿法需要存储拟牛顿矩阵，因此需要较大的存储空间。拟牛顿法信赖域方法是一种求解非线性最小二乘问题的迭代算法。该方法通过在每一步迭代中构造一个信赖域，并求解该信赖域内的二次模型问题，来逼近原问题的最优解。信赖域方法具有较好的全局收敛性和局部收敛性，适用于处理大规模非线性最小二乘问题。信赖域方法需要选择合适的信赖域半径，以平衡算法的收敛速度和稳定性。信赖域方法数值分析的误差分析04舍入误差由于计算机的有限精度，导致计算过程中产生的误差。初始误差由于问题的初始条件或边界条件不准确而产生的误差。截断误差由于对微分或积分进行近似处理而产生的误差。算法误差由于算法本身的缺陷或近似处理而产生的误差。误差来源误差传递公式数值稳定性算法的数值稳定性决定了误差在计算过程中的传播情况。收敛性当算法收敛时，误差会逐渐减小，否则误差可能会放大。误差在计算过程中的传播可以用误差传递公式来描述。病态问题对于某些病态问题，即使初始误差很小，也可能导致计算结果的巨大误差。误差传播01020304网格划分在数值积分和微分中，合理划分网格可以减小误差。迭代收敛性在迭代算法中，保证迭代收敛可以控制误差的放大。防止溢出和下溢在计算过程中，防止数值溢出和下溢可以减小误差。数值滤波对计算结果进行滤波处理，可以减小噪声和误差。误差控制习题解答05求下列函数的极值点：$f(x)=x^4-2x^2+5$题目首先求导数$f'(x)=4x^3-4x$，令$f'(x)=0$，解得$x=0,pm1$。然后检查二阶导数$f''(x)=12x^2-4$，发现当$x=0$时，$f''(0)=-4<0$，因此$x=0$是函数的极大值点。而当$x=pm1$时，$f''(x)>0$，因此$x=pm1$是函数的极小值点。解答第1题解答题目求下列函数的极值：$f(x)=x^3-3x^2+2$解答首先求导数$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$，解得$x=0,pm2$。然后检查二阶导数$f''(x)=6x-6$，发现当$x=pm2$时，$f''(x)=0$，无法判断极值。而当$x=0$时，$f''(0)<0$，因此$x=0$是函数的极小值点。第2题解答题目：求下列函数的最值：$f(x)=x^2-x+1,quadxin[-1,1]$解答：首先求导数$f'(x)=2x-1$，令$f'(x)=0$，解得$x=frac{1}{2}$。由于在区间端点和导数为零的点上函数值可能为最值，计算得$f(-1)=3$$f