专题7.1 平行线证明综合（强化）（解析版）

专题7.1平行线证明综合1．已知：如图，点、、、都在的边上，，且．（1）求证：；（2）若平分，，求的度数．【解答】（1）证明：，．，．．（2）解：，，．平分，．．由（1）知，．2．如图，在中，，，．（1）求的度数；（2）若，求的度数．【解答】解：（1），，，，，，；（2），，，，．3．已知：如图，和的平分线交于点，交于点，．（1）试说明：；（2）试探究与的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：和的平分线交于点，，，，，；（2）解：，理由如下：，，，，平分，，，，．4．如图，平分，，．（1）求的度数；（2）若；求的度数．【解答】解：（1），，平分，．．，．（2）设，则，，，．，．解得．．5．已知：如图，，．（1）判断与的位置关系，并说明理由．（2）若平分，若，求的度数．【解答】解：（1）．理由：，，又，，；（2），，平分，，，．6．如图，中，、是角平分线，它们相交于点，是高，，求及的度数．【解答】解：，，，，，、是角平分线，，，答：，．7．如图，，．（1）试说明：；（2）若是的平分线，，求的度数．【解答】（1）证明：，，，，；（2）解：，，，是的平分线，，，．8．如图，若，于，于，求证：．【解答】证明：，，，，，，，．9．如图，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，已知，．（1）求证：；（2）若是的平分线，，求的度数．【解答】（1）证明：，，，，；（2）解：，，，是的平分线，，，．10．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①，其中，，，，设．（1）填空：，；（用含的代数式表示）（2）若，求的度数；（3）若三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当等于多少度时？【解答】解：（1）由题知，，，故答案为：，；（2），，，，解得，即；（3）若分以下两种情况：①如图①，此时，，，，；②如备用图所示，此时，，，，综上，当等于30或150度时．11．如图，在中，，，是角平分线，是高．（1）求的度数；（2）求的度数．【解答】解：（1），，，是角平分线，；（2）是边上的高，，，．12．如图，已知，，．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【解答】解：（1）证明：，，，，，，．（2），，，，，，．13．小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，于．猜想、、的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入、的值求值，得到下面几组对应值：度1030302020度7070606080度30152030上表中20，于是得到、、的数量关系为．（2）小明继续探究，在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出、、之间的数量关系，并说明理由．（3）小明突发奇想，交换、两个字母位置，如图3，过的延长线是一点作交的延长线于，当，时，度数为．【解答】解：（1），，中，，平分，，，，故答案为：20；．（2）如图，过点作于，，，，，内角和为，，平分，，同时，可得出，综上所述，；（3）同理（2），依旧可得，故答案为：28．14．（1）探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由；（2）探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系；（3）探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系；解决问题：如图，在中，，，分别平分，，，，分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则．【解答】解：（1）平分，平分，设，，则，，即：，，联立可得：．（2）平分，平分，设，，则由外角定理可得：，，即：，，联立可得：．故答案为：．（3）平分，平分，设，，则由外角定理可得：，，联立可得：．故答案为：．解决问题：由（1）（2）（3）的结论可得：，，．故答案为：．15．如图，，．（1）求证：．（2）若，，则的大小为．【解答】（1）证明：，，，，，，，；（2）解：，，，，，，即，解得：，．故答案为：．16．如图，在中，是的高线，是的角平分线，已知．（1）若，求的度数；（2）设，用含有的代数式表示的大小．【解答】解：（1）在中，，，又，是角平分线，，；（2）在中，，，又，是角平分线，，．17．如图，的角平分线、相交于点．（1）若，，求的度数；（2）求证：．【解答】（1）解：，，，，的角平分线、相交于点，，，，；（2）证明：的角平分线、相交于点，，，，，，，即．18．如图所示，，均为直角三角形，且，，过点作平分交于点．（1）求证：；（2）求的度数．【解答】（1）证明：，且平分，，又，，．（2）解：由（1）知，．在中，，．．19．如图，直线，将按如图所示的位置放置，点在直线上，，．（1）若，则的度数为多少？（2）若，则的度数为多少？（用含的代数式表示）【解答】解：过点作，，，，，，，，，，；（2）过点作，，，，，，，，，，，．20．如图，点、分别在的边、上，连接、，在上取一点，连接，若，，求证：．【解答】证明：，，．．．，．．21．某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在中，角平分线、交于点．求的度数．（1）若，请直接写出110；【变式思考】（2）若，请猜想与的关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）已知：如图2，在中，角平分线、交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，猜想与的关系，并说明理由．【解答】解：（1），，角平分线、分别平分、，，，，在中，，故答案为：110．（2），，、是角平分线，，，（3）．理由：由（2）结论可知：，．、分别平分和，，，．，．，．，，．．22．如图，，，，是的平分线．（1）与平行吗？请说明理由；（2）试说明；（3）求的度数．【解答】（1）解：，理由是：，，，又，，；（2）解：，，，是的角平分线，，，，；（3）解：，，，，，，，，，．23．如图，在中，，于点，平分交于点．（1）若，求的度数；（2）若，交于点，请补全图形，并在第（1）问的条件下，求的度数．【解答】解：（1），，，，平分，，，，，；（2）如图，，，，，．由（1）知，，．24．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．（1）若的面积为40，，求的长；（2）若，，求的大小．【解答】解：（1）是的中线，，，，，，；（2）在中，为它的一个外角，且，，，是的角平分线，，，，在中，．25．如图，四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，连接交于，交于，且，．（1）求证：；（2）若，求证：．【解答】证明：（1），，，，，．（2），，，．，．26．如图，已知，．（1）求证：；（2）若平分，于点，，求的度数．【解答】（1）证明：，，又，，，；（2）解：平分，，，由（1）知，，，，，，，，，．27．如图，在中，，，平分．（1）计算：若，，求的度数；（2）猜想：若，则；（3）探究：请直接写出，，之间的数量关系．【解答】解：（1），，，平分，，，，，；（2），平分，，，，，，，，故答案为：；（3），平分，，，，，，故答案为：．28．已知：如图，点、在线段的异侧，点、分别是线段、上的点，，．（1）求证：；（2）若，求证：；（3）在（2）的条件下，若，求的度数．【解答】（1）证明：，，，，；（2）证明：，，，，，，，；（3）解：，，，，解得，，，．29．如图，已知，点，分别在，上，平分交于点．（1）如图1，当，且时，求；（2）如图2，连接，当时，完成以下问题：①若，且，求；②判断与的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1），，平分，，，，；（2）①，，，，，，，，平分，，；②，理由：设，，，，，，，，平分，，，即．30．如图，已知，，，点在点右侧．（1）如图1