专题06 高频题型专题：二次函数的图象信息题(解析版)（重点突围）

专题06高频题型专题：二次函数的图象信息题考点一二次函数与其他函数图象共存问题考点二二次函数图象和性质与系数a,b,c问题考点三二次函数图象和性质与字母参数问题考点四二次函数图象和几何图形动点问题考点一二次函数图象和性质与系数a,b,c问题例题：（2021·新疆·乌鲁木齐市第九中学九年级期中）函数和在同一直角坐标系内的图象大致是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，二次函数对称轴的位置，分类讨论，逐一排除．【详解】解：A项，由图可知，，，即，，，此时二次函数的图象开口向上，二次函数对称轴在x轴的右侧；一次函数的图象必经过第一、二、四象限，此时A项不符合要求；B项，由图可知，，，即，，此时二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过第一、二、四象限，此时B项不符合要求；C项，由图可知，，即，此时二次函数的图象开口向上，一次函数的图象必经过第二、四象限，此时C项不符合要求；D项，由图可知，，，即，，即，此时二次函数的图象开口向上，二次函数对称轴在x轴的右侧；一次函数的图象必经过第一、三、四象限，此时D项正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限以及抛物线对称轴的位置，是解题的关键．解答时，需注意数形结合的思想．【变式训练】1．（2022·浙江·杭州市采荷中学九年级阶段练习）在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图象大致可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【详解】解：A、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项正确；B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项错误；C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．2．（2022·浙江·九年级专题练习）直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致，进行排除．【详解】解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴，，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴，，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B错误；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴，，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C正确；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴，，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．3．（2022·安徽合肥·九年级阶段练习）函数y=ax2+1和y=ax+a（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】先根据的顶点坐标为，判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断，从而可得答案．【详解】解：由的顶点坐标为，故A，B不符合题意；由C，D中二次函数的图象可得：函数y＝ax＋a过一，三，四象限，故D符合题意，C不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键．4．（2021·河南·镇平县侯集镇第一初级中学九年级阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且m≠0）的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为，与y轴的交点坐标为（0，c）．【详解】解：A、由函数的图象可知m＜0，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；B、由函数的图象可知m＜0，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C、由函数的图象可知m＞0，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；D、由函数的图象可知m＜0，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．5．（2022·浙江·杭州市保俶塔实验学校九年级阶段练习）如图选项中，能描述函数与y＝ax+b，（ab＜0）的图象可能是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】先判断直线解析式中的符号，再判断抛物线中的符号，如果一致则符合题意，据此即可求解．【详解】A．y＝ax+b的a＜0，b＞0，的a＞0，b＞0，故选项A不符合题意；B．y＝ax+b的a＞0，b＜0，的a＞0，b＜0，故选项B符合题意；C．y＝ax+b的a＜0，b＞0，的a＜0，b＜0，故选项C不符合题意；D．y＝ax+b的a＞0，b＜0，的a＜0，b＜0，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系，分a＞0及a＜0两种情况寻找两函数图像是解题的关键．6．（2022·陕西·九年级阶段练习）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据正比例函数和二次函数的性质即可判断．【详解】解：当时，的图象是经过原点和一、三象限的直线，开口向上，与轴交于负半轴，对称轴是轴；当时，的图象是经过原点和二、四象限的直线，开口向下，与轴交于负半轴，对称轴是轴，综合可得：D选项符合题意．故选：D【点睛】本题主要考查了正比例函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．考点二二次函数与其他函数图象共存问题例题：（2022·天津市翔宇力仁学校九年级阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴的位置判断的符号，再根据抛物线与轴的交点，判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线对称轴是轴的右侧，∴，∵与轴交于负半轴，∴，∴，故①正确；∵，，∴，∴，故②错误；∵抛物线与轴有两个交点，∴，故③正确；当时，，即，故④错误；综上可得：正确的结论为：①③，有个．故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解本题的关键是要明确：对于二次函数来说，①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左；

当与异号时（即），对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．④抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴无交点．【变式训练】1．（2022·山东·乐陵市化楼镇化楼中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．其中正确的是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①抛物线开口方向向下，则，抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故①错误；②∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，∴当时，，∴，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线，∴,即，故③错误；④∵抛物线与x轴有两个交点，∴，∴,故④正确；⑤∵抛物线对称轴为直线，∴函数的最大值为：,∴,即,故⑤正确；故正确的结论有：②④⑤，共个，故选：C．【点睛】主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．（2022·四川省德阳市第二中学校九年级阶段练习）二次函数大致图象如图所示，其中顶点为（-2，）下列结论：①；②；③；④若方程有两根为和，且<，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（

）A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤【答案】D【分析】①抛物线对称轴在轴左侧，则同号，而，即可求解；②时，，即可求解；③，即可求解；④，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，即可求解；⑤若方程，即：若方程，当时，由一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为，即可求解．【详解】解：∵顶点为（，），设二次函数表达式为：，①抛物线对称轴在轴左侧，则同号，而，则，故①正确；②函数在轴右侧与x轴的交点（1，0），当时，，故②正确；③，故③错误；④，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，故有两个根和，且，则，④正确；⑤若方程，即：若方程，当时，根据一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为，同理当时，其两个根的和也为，则这四个根的和为，故⑤正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴交点，一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等，关键是熟练掌握二次函数图象的性质．3．（2022·湖北·武汉市洪山区杨春湖实验学校九年级阶段练习）二次函数的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是__________．【答案】①③④【分析】根根据二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系逐项判断即可．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵，∴∵抛物线与y轴交点在负半轴，∴，∴，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴不一定等于零，故②错误；∵由函数图像可得:当时，∴，即,∴，即，故③正确；∵∴，即,∴∴∴，即④正确；综上所述，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像的性质、数形结合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．4．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间包含端点，则下列结论正确的有____________（填编号）①；②；③对于任意实数，恒成立；④关于的方程有两个相等的实数根．【答案】①②③【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，∴，∵抛物线开口向下，∴，∴，故①正确．∵抛物线经过，∴，∴，∵抛物线与y轴的交点在，之间，∴，即，解得，故②正确．∵时，为最大值，∴对任意实数m，时，对应的函数值不大于．∴．∴．故③正确．∵直线在抛物线顶点上方，抛物线开口向下，∴抛物线与直线没有交点．∴关于x的方程没有实数解．故④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．5．（2022·广东·广州外国语学校九年级阶段练习）抛物线（，，为常数）的对称轴为，过点和点，且．有下列结论：①；②对任意实数都有：；③；④若，则．其中正确结论是：___________．【答案】①③##③①【分析】根据抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为x=-2，过点（1，-2）且c>0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判定③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．【详解】解：∵抛物线（，，为常数）的对称轴为，∴，即，∵抛物线过点，∴，∴，∵，∴，即，故①正确；∴抛物线开口向下，∵抛物线的对称轴为，∴当时，函数值最大，∴对任意实数都有：，即，故②错误；∵抛物线的对称轴为，∴点（0，c）的对称点为（-4，c），∵，∴当时，函数值大于0，即，∴，故③正确；∵抛物线开口向下，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴在对称轴的左侧，若，则，故④错误；∴正确结论是①③．故答案为：①③【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．考点三二次函数图象和性质与字母参数问题例题：（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：①当时，函数图象的顶点坐标是；②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当时，函数在时，y随x的增大而减小；④当时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的答案．【详解】解：把m=-3代入特征数得：a=-6，b=4，c=2，∴函数解析式为，∴函数图象的顶点坐标是，故①正确；令y=0，则解得：，∴函数图象与x轴两交点坐标为（1，0），，当m>0时，，故②正确；当m<0时，函数开口向下，对称轴为直线，∴x可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，故③错误；，若使函数图象经过同一点，m≠0时，应使，解得，当x=1时，y=0，当时，，∴函数图象一定经过点（1，0）和，故④正确；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、顶点坐标的求法，这往往是进一步研究二次函数的性质的基础．【变式训练】1．（2022·湖北·武汉市洪山区杨春湖实验学校九年级阶段练习）已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得出抛物线的对称轴，再根据开口向下时，抛物线上的点距离对称轴越远对应函数值越小判断的大小关系即可．【详解】解：∵，∴此函数图象的对称轴是：直线，∴到对称轴的距离分别是：，∵，且抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越远对应函数值越小，∴，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握抛物线开口向下时，抛物线上的点距离对称轴越远对应函数值越小是解题的关键．2．（2022·湖北·汉川市官备塘中学九年级阶段练习）已知、是抛物线上两点，则，的大小关系为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得，根据题意和二次函数的性质得，即时，y随着x的增大而减小，根据，即可得．【详解】解：∵，∴，∵对称轴为，∴时，y随着x的增大而减小，∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意并掌握二次函数的性质．3．（2022·湖北·武汉市卓刀泉中学九年级阶段练习）已知二次函数，当时，y的值恒大于1，则p的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分情况讨论：①，结合函数的性质求得最小值，再令最小值大于等于1列出不等式；②，结合函数的性质求得最小值，再令最小值大于等于1列出不等式；③，然后结合函数的性质求得最小值，再令最小值大于1列出不等式，最后解不等式求得p的取值范围．【详解】解：由题意可得：二次函数的对称轴为直线，开口向上，①当时，函数在时y随x的增大而减小，∴当时，，∵当时，y的值恒大于1，∴，∴；②当时，函数在时y随x的增大而增大，∴当时，，∵当时，y的值恒大于1，∴，∴；③当时，函数在时y随x的增大而增减小，函数在时y随x的增大而增大，∴当时，，∵当时，y的值恒大于1，∴，解得，∴的解集为：，∴；综上所述：p的取值范围为．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知函数增减性和分类讨论思想的应用．4．（2022·山西临汾·九年级阶段练习）已知抛物线为常数，与轴交于，两点（点在点的左侧），下列关于该抛物线的描述中，说法正确的是（）A．该抛物线的开口向下B．C．点在轴的正半轴D．当时，函数随的增大而增大【答案】B【分析】根据抛物线中的符号判定抛物线开口方向；根据根与系数的关系判定的值；根据抛物线与轴的交点判定点B的位置；根据抛物线的增减性判定选项D．【详解】解：A．由于无法确定的符号，所以不能判定抛物线的开口方向，原说法不正确，不符合题意；B．令，由根与系数的关系知：，原说法正确，符合题意；C．无法判定点与轴交点的位置，原说法不正确，不符合题意；D．由抛物线的对称轴为直线知，当且时，函数随的增大而增大；当且时，函数随的增大而减小，原说法不正确，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握各知识点．5．（2022·全国·九年级单元测试）如图，抛物线为常数且与轴交于点，过点作轴的垂线，与交于点，点是的顶点.则下列说法；①当时，射线经过线段的一个端点；②当时，射线经过线段的一个四等分点；③当时，射线会经过线段的中点；④当时，射线会经过线段的一个四等分点.其中错误的是A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【分析】由求出，，分别求出的中点为，线段的四等分点坐标为，，，，，顶点，直线的解析式为，再结合选项进行判断即可.【详解】解：①当时，，对称轴为直线，，令，则，，轴，，设直线的解析式为，，，当时，，点在直线上，射线经过线段的一个端点；故①不符合题意；②当时，，，，可求直线的解析式为，当时，，解得，直线上有一点，，令，则，解得或，，，线段的四等分点坐标为，，，，，射线经过线段的一个四等分点；故②不符合题意；③与轴的交点，令，则，解得或，，的中点为，的顶点为，直线的解析式为，将点代入，，，不存在，故③符合题意；④线段的四等分点坐标为，，，，，直线的解析式为，将点，代入，可得；将点代入，可得；将点，代入，可得；，射线不会经过线段的一个四等分点，故④符合题意；故选：B.【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，待定系数法求直线的解析式是解题的关键.6．（2022·浙江·杭州市文澜中学八年级期末）对于二次函数，下列结论错误的是（

）A．它的顶点坐标为B．当时，它的图象经过第一、二、三象限C．点与是二次函数图象上的两点，则D．无论取何实数，它的图象一定经过点【答案】C【分析】将二次函数解析式化成顶点式，逐一分析选项即可得出答案．【详解】解：，可得它的顶点坐标为，A正确；当时，，顶点在第三象限，开口向上，时，，它的图象经过第一、二、三象限，B正确；函数对称轴为，开口向上，距离越远，函数值越大，距离的的距离距离的的距离，，C错误；，当时，，无论取何实数，它的图象一定经过点，D正确；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，将二次函数形式进行正确化简，进行正确计算即可选出正确答案．考点四二次函数图象和几何图形动点问题例题：（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据点N的运动情况，分点N在AD，DC，CB上三种情况讨论，分别写出每种情况x和y之间的函数关系式，即可确定图象．【详解】解：当点N在AD上时，即0≤x＜2∵AM＝x，AN＝2x，∴，此时二次项系数大于0，∴该部分函数图象开口向上，当点N在DC上时，即2≤x＜4，此时底边AM＝x，高AD＝4，∴y＝＝2x，∴该部分图象为直线段，当点N在CB上时，即4≤x＜6时，此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x，∴y＝，∵﹣1＜0，∴该部分函数图象开口向下，故选：B．【点睛】本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键．【变式训练】1．（2021·山东滨州·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，为上的动点，交折线于点，设，的面积为，则与的函数图象正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意可以列出与的函数解析式，从而可以确定与的函数图象，从而可以得到正确的选项，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，当时，，当时，，当时，函数图象为的右半部分，当时，函数图象为的右半部分，故选：B．【点睛】此题考查函数图像，解题的关键是根据题意列出与的函数解析式．2．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，∴∠B＝60°，，，∵CD⊥AB，∴，，，∴当M在AD上时，0≤t≤3，，，∴，当M在BD上时，3＜t≤4，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．3．（2022·安徽·九年级期末）如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设，，．△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】△AMN的面积=，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）；（2）；【详解】解：（1）当时，如图，在菱形ABCD中，AC=9，BD=1，AO=，且AC⊥BD；∵MN⊥AC，∴MN∥BD；∴△AMN∽△ABD，∴，即，，MN=；∴，∵，∴函数图象开口向上；（2）当，如图，同理证得，△CDB∽△CNM，，即，；∴，；∵，∴函数图象开口向下；综上，答案C的图象大致符合；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．4．（2022·安徽·芜湖市第二十九中学二模）如图，中，AB=4，BC=8，∠A=60°，动点P沿A-B-C-D匀速运动，运动过速度为2cm/s，同时动点Q从点A向点D匀速运动，运动速度为1cm/s，点Q到点D时两点同时停止运动．设点Q走过的路程为x