初中数学锐角函数的增减项强化练习

初中数学锐角函数的增减项强化练习

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一、单选题

1.若0。<□/<45。，那么sin/1-cosJ的值（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

2.角a,夕满足0。<。<夕<45。，下列是关于角a,夕的命题，其中垂送的是

()

A.0<sina<—B.0<tan〃<lC.cos尸<sinaD.sin4<cosa

2

锐角满足二■,且，则的取值范围为(

3.asina>tana<6a)

2

A.30°<a<45°B.45°<a<60°C.60°<a<90°D.30°<a<60°

4.已知sina>cosa,那么锐角a的取值范围是（）

A.30<a<45"B.0<a<45C.45<a<60D.450<cr<90

5.当锐角A的cosA>也时，NA的值为()

2

A.小于45。B.小于30。C.大于45。D.大于60。

6.若锐角A、8满足条件4SVAV8V90时，下列式子中正确的是（）

A.sinA>sinBB.cotB>cotAC.tanA>tanBD.cosA>cosB

7.如图，梯子地面的夹角为NA,关于NA的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关

系，下列叙述正确的是（）

A.sinA的值越小，梯子越陡

B.COSA的值越小，梯子越陡

C.梯子的长度决定倾斜程度

D.梯子倾斜程度与ZA的函数值无关

8.若NA为锐角，且cosA=g,贝（

)

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.450<zL4<60°D.60°<ZA<90°

二、填空题

9.用不等号连接下面的式子.

(l)cos50°cos20°(2)tan18°tan21°

10.用“V”连接下列各题中的锐角a,P，Y

(1)若sina=0.123,sin「=0.8456,siny=0.5678,则a,0,丫的大小关系为_；

(2)若cosa=0.0123,cosp=0.3879,cosy=0.1024,则a,。，丫的大小关系为

11.比较大小：sin40°cos500(填“>"、"<”或"=")

12.如图，在正方形网格中，Nl、Z2、N3的大小关系是.

13.比较大小：sin54°cos35°(填

14.比较大小：sin80°_tan50°(填“〉”或“V”).

15.比较大小：sin35°cos45。.

16.若三个锐角a,/?,y满足sin48」=a,cos4+=4,tan4&=y,则a,/?,y由小到大的顺

序为.

三、解答题

17.如图，已知/ABC和射线BD上一点尸(点P与点B不重合)，且点尸到BA、

BC的距离为PE、PF.

(1)若NEBP=40',NFBP=20",PB=m,试比较PE、PF的大小；

(2)若/EBP=a,”FBP=B，a,B都是锐角，且a>(3.试判断PE、PF的大小,

并给出证明.

18.如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点8与梯架之间的距离BC=4m.

(1)现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m,滑梯最高处/

在阳光下的影长为1m,求滑梯的高AC；

(2)若规定滑梯的倾斜角(NABC)不超过30。属于安全范围，请通过计算说明这架

滑梯的倾斜角是否符合安全要求？

19.(1)计算：卜拉|+(《)-l-2sin45°+(病后)°

(2)先化筒，再求值：(叱24+1+1)+一二，其中a=0.

a-1aa+\

20.如图所示，在RrAACB中，ZC=90\AC=3,BC=2,AD为中线.

(1)比较DBAD和C2DAC的大小.

(2)求sinDBAD

21.已知：如图，AOB=90°,AO=OB,C、D是弧AB上的两点，AOD>

ZAOC,

(1)0<sinZAOC<sinZAOD<l；

(2)1>cosZAOC>cosZAOD>0；

(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而；

(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而.

22.如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点坐标分别是A(L1),

B(4,l),C(3,3).

(1)将A4?C向下平移4个单位后得到MBG，请画出AABG；

(2)将AABC绕原点。逆时针旋转90。后得到△aqg,请画出△&鸟G，并直接写

出sinNA282G的值；

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

cosJ=sin（90。-4）,再根据锐角的正弦随角度增大而增大进行分析即可.

【详解】

□0°<a^<45°,□450<900-ny4<900,□□ZV90°一□/.

匚cos/=sin（90。-/）,锐角的正弦随角度增大而增大,siMVsin（90。-Z）,□sin4V

cos/,即sinJ-cosZVO.

故选B.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的增减性，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键.

2.C

【解析】

【分析】

由角a,夕满足0。<。</<45。，确定锐角三角函数的增减性，sina随a的增大而增大,

cos6随夕的增大而减小，tan4随夕的增大而增大，利用45。函数值的分点即可确定答案.

【详解】

解：角a,夕满足0。<。</<45。，sine随a的增大而增大，随夕的增大而减小，

tan4随夕的增大而增大，

人.」5m45。=1口0〈$m。<二,选项人正确，不合题意；

22

B.匚31145。=1,口0<1211"<1,选项8正确，不合题意；

C.sin45°=»cos45°=^^»cos夕>，^,sina</■,cos^>sina,选项C不正确，

2222

符合题意；

D.sin45°=^-,cos45°=^->cosa>-^-,sinB<,sin/?<cosat,选项D正确，不

2222

符合题意.

故选择：C.

【点睛】

本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45。函数值的特殊关

答案第1页，共12页

系是解题关键.

3.B

【解析】

【分析】

根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大

即可解答.

【详解】

解：sina>,且sin45

22

□450<a<90°

□tana<6且tan6O=百

□0°<a<60°

□45°<a<60°.

故选：B.

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握

锐角三角函数的增减性是解答的关键.

4.D

【解析】

【分析】

根据当a=45。时sina=cosa和正弦函数和余弦函数的增减性即可得出答案.

【详解】

解：口0：=45。时sina=cosa,当a是锐角时sina随a的增大而增大，cosa随a的增大而减

小，

□45°<a<90°.

故选D.

【点睛】

考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°〜90。间变化时，正弦值随着角度的增大而增

大，余弦值随着角度的增大而减小.

5.A

答案第2页，共12页

【解析】

【分析】

明确cos45o=①，余弦函数随角增大而减小进行分析.

2

【详解】

解：根据cos45o=巫，余弦函数随角增大而减小，则口4一定小于45。.

2

故选：A.

【点睛】

熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键.

6.D

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的增减性进行判断即可.

【详解】

□45<A<B<90\

匚’siix4<sinB，cotB<cob4,tanA<tanB,cosA>cosB.

故只有D选项正确.

故选D.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的增减性，锐角的余弦值和余切值是随着角度的增大而减小，锐角

的正弦值和正切值随着角度的增大而增大.

7.B

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的增减性即可得到答案.

【详解】

解：A选项，siM的值越小，□/越小，梯子越平缓，故错误；

B选项，co必的值越小，就越大，梯子越陡，故正确；

C选项，梯子的长度不能决定倾斜程度，故错误；

D选项，梯子倾斜程度与的函数值有关，故错误；

答案第3页，共12页

故选：B.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦和正切函数，函数值随角度的增大而增大；

对于余弦函数，函数值随角度的增大而减小.

8.D

【解析】

【分析】

首先根据锐角余弦函数值，随角度的增大而减小，然后根据特殊角的三角函数值，确定:

在哪两个特殊值之间即可.

【详解】

解：口cos60°=!，cos90°=0,

2

32

cos900<cosA<cos600,

□60°<A<90°.

故选D.

【点睛】

本题考查了余弦函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是

解题的关键.

9.<<

【解析】

【分析】

根据余弦函数在0到90。之间是递减的，正切函数在0到90。之间是递增的解答即可.

【详解】

当a为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，口cos50°<cos20°;

当a为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，口tanl8°<tan210.

故答案为V;<.

【点睛】

本题考查了三角函数的大小比较，熟知三角函数值的变化规律是解决问题的关键.

10.a<y<pp<y<a

答案第4页，共12页

【解析】

【分析】

(1)根据正弦值随度数的增大函数值越来越大得出即可；

(2)根据余弦值随度数的增大函数值越来越小得出即可.

【详解】

解：(1)□sina=0.123,sinp=0.8456,siny=0.5678,

□sina<siny<sinp,

□a<y<p；

(2)Lcosa=0.0123,cosp=0.3879,cosy=0.1024,

□cosa<cosy<cosp,

□p<y<a.

故答案为：a<y<P；P<Y<a.

【点睛】

此题主要考查了锐角三角函数的增减性，关键在于知道正弦值随角度的增大而增大，余弦

值随角度的增大而减小.

11.=

【解析】

【分析】

直接利用锐角三角函数关系得出答案.

【详解】

解：□cos50°=sin(90°-50°)=sin40°,

Csin40°=cos50°.

故答案为：=.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数关系，正确转换正余弦关系是解题的关键.

12.Z1<Z2=Z3

【解析】

【分析】

由平行线的性质可知：LCBD=BDE,UEDF=」DFG,然后根据锐角三角形函数的定义可

答案第5页，共12页

:2i

知：tanOABC=-,tanUEDF=|,tanUBDE=tanJGFH=y,从而可判定出DABC<

□EDF,□BDE=DGFH.然后即可比较它们的大小.

【详解】

解：如图所示：

□CBD=BDE,tanABC=-

3

2

,tanDEDF=-,

□DABC<DEDF

□DABC+aCBD<nEDF+DBDE,即口1〈口2.

2

根据图形可知：□EDF=DDFG,tanDBDE=—=,tannGFH=^-,

422

□□BDE=DGFH.

□□EDF+OBDE=DDFG+DGFH,即：D2=D3.

故答案为：Z1<Z2=Z3

【点睛】

本题主要考查的是锐角三角函数的增减性和平行线的性质，根据正切函数的增减性判定出

□ABC<DEDF,匚BDE7GFH是解题的关键.

13.<

【解析】

【分析】

把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可.

【详解】

cos35°=sin(90°-35°)=sin55°.

在锐角范围内，sina随a的增大而增大，

□sin540<sin55°,

答案第6页，共12页

sin540<cos35°.

故答案为：<.

【点睛】

本题考查三角函数值的大小比较，利用正弦余弦的关系进行大小比较即可.

14.<

【解析】

【分析】

正弦函数值小于1,而tan5(T>tan45。，故tan50。〉1即可比较二者大小.

【详解】

解：tan50°>tan450,/an450=l,

□tan50°>l,

又sin80°<l,

□sin800<tan50°；

故答案为：V.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数，正弦函数值，正切函数值，熟练掌握三角函数的性质是解题的关

键.

15.<

【解析】

【分析】

由cos45o=si〃45。，根据正弦在0。到90。内，函数值随角度的增大而增大，比较角度的大小

即可.

【详解】

□cos45o=s讥45。，正弦在0。到90。内，函数值随角度的增大而增大，

Qsin35°<sin45°,

Qsin35°<cos45°,

故答案为：<.

【点睛】

本题考查了三角函数值的大小比较，化不同名函数为同名函数，并运用同名函数的性质是

解题的关键.

答案第7页，共12页

16./3<a<y

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的性质解答.

【详解】

解：根据锐角三角函数的性质可得：

Cos48°=sin42°,sin42°〈sin48°<l,tan45°<tan48°,tan45°=l,

□cos480<sin48o<l<tan48°,

□p<a<y,

故答案为P<a<y.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是

解题关键.

17.(1)PE>PF;(2)PE>PF.

【解析】

【分析】

(1)利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；

(2)运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较.

【详解】

PF

解：(1)在RABPE中，sinZEBP=^=sin40

BP

PF

在Rt^BPF中，sinZFBP==sin20

Xsin40°>sin20°

・•・PE>PF；

(2)根据⑴得

sinNEBP==sina,sinZFBP==sin£

BPBP

又□0>尸

sincr>sin/?

・・・PE>PF.

答案第8页，共12页

【点睛】

考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大.

18.(1)2米;(2)符合

【解析】

【分析】

(1)利用影长物高成比例求解即可；

(2)先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可.

【详解】

解：(1)7=丽’

/.AC=2m,

答：滑梯高AC为2米；

(2)UAC=2m^C=4m,

□tanZABC=—=-=i<—=tan300,

BC423

□正切值随着角的增大函数值增大，

ZABC<30°,

这架滑梯的倾斜角符合安全要求.

【点睛】

本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物

高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键.

19.(1)-1；(2)—.

2

【解析】

【详解】

试题分析：(1)原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负整数指数累法则计

算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数塞法则计算即可得到结

果；

(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约

分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值.

试题解析：(1)原式=&-2-2x也式=-1；

2

答案第9页，共12页

(2)原式=[("]J"+'卜(〃+1)

/。―1Z

=(+—)•(a+1)

。+1a

Cl~+1

----------m+D

/+1

当"0时‘原式警考・

考点：1.分式的化简求值,2.实数的运算,3.零指数基,4.特殊角的三角函数值

20.（1）ZBAD<ZDAC<90";（2）sinZBAD=

130

【解析】

【详解】

试题分析：⑴、过点D做AB的垂线，垂足记为E,分别求出sinEIBAD和sinDAC的

值，然后根据三角函数进行比较大小得出答案；（2）、根据勾股定理求出AB和AD的长

度，然后根据DBAD的面积法得出DE的长度，最后求出sin口BAD的大小.

FD

试题解析：（1）过点D做AB的垂线，垂足记为E,则sin/BAD=）

AD

DC

sin/DAC=—,・・・ED<BD=DC,sin/BAD<sin/DAC,/./BAD<NDAC<90°.

AD

（2）由勾股定理求出AB=JI5,AD=Jid,而晞AD=、IB.D?=；

即：-^xDE3=^x>/13?,DE=-y=,...sin/BAD=

22VI3130

21.（1）见解析（2）见详解；（3）增大；（4）减小.

【解析】

【分析】

第（1）（2）问作辅助线,分别在RtZJOEC和RtEZDFO中利用三角函数定义表示出所求三角

函数，再利用不等式的性质：不等号两边同时除以同一个不为零的正数时不等号仍成立即可