第28讲 函数与方程7大题型总结（解析版）

第28讲函数与方程7大题型总结【考点分析】考点一：函数的零点的概念①函数零点的定义对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.②零点存在性定理:一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根.注意：连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.考点二：二分法的概念①对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.②对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下:①确定区间，验证，给定精确度;②求区间的中点;③计算;，则就是函数的零点;，则令(此时零点);，则令(此时零点).④判断是否达到精确度，即:若，则得到零点近似值(或);否则重复②③④.【题型目录】题型一：求函数的零点题型二：函数的零点区间题型三：判断函数的零点个数题型四：根据函数零点的存在情况求参数题型五：二分法的应用题型六：函数等高问题题型七：函数零点和问题【典型例题】题型一：求函数的零点【例1】函数的零点为（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】利用零点的定义求解.【详解】令，解得，故选:C.【题型专练】1．函数零点是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】分和两种情况，直接解方程即可.【详解】当时，由解得；当时，令，显然无实数解.综上，函数的零点为0.故选：A2．若不等式的解集为，则函数的零点为（

）A．和 B．和 C．2和 D．和【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解，然后根据零点的定义求解即可.【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和2，且，则，解得，故函数，则与轴的交点坐标为和，所以零点为和.故选：D.题型二：函数的零点区间【例1】函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数在上都是增函数，所以在上单调递增，因为，所以的零点所在的区间为.故选：C.【例2】已知函数，则函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可直接求的对应方程的根，即可.【详解】由，解得，因为，所以，则函数的零点所在区间为.故选：C【例3】函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为和在上是增函数，所以在上是增函数，所以只需即可，即，解得.故选：D．【题型专练】1．函数的零点位于区间（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．【详解】因为函数与在上均为增函数，所以在上为增函数．因为，，所以函数的零点位于区间内．故选：B2．函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】得到函数单调性，结合特殊点的函数值，由零点存在性定理得到答案.【详解】的图象是一条连续不断的曲线，则在上递增，而，，，，，可得，满足零点存在性定理，故零点所在的区间是.故选：C.题型三：判断函数的零点个数【例1】已知函数，当时，方程的根的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果.【详解】

设，则，即，故，因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，故原方程共有6个根.故选：D.【例2】函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】函数，由，可得，作出和的图象，由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C.【例3】定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（

）A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有三个解C．方程有且仅有九个解D．方程有且仅有一个解【答案】AD【分析】由函数图象和复合函数的性质依次判断即可.【详解】由可得，对于A，，结合图象可得，或，结合的图象可得，，，各有一个解，即方程有且仅有三个解，A正确；对于B，，结合图象可得，结合的图象可得，有一个解，即方程有且仅有一个解，B错误；对于C，，结合图象可得，或，又有3个解，，各有一个解，即方程有且仅有五个解，C错误；对于D，，结合图象可得，又有一个解，即方程有且仅有一个解，D正确.故选：AD.【题型专练】1．函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据零点的定义求解.【详解】函数的定义域为，令，即，解得，所以函数的零点个数是1个，故选:B.2.函数的零点个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】B【解析】令可得，即，在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：∴由图象可知两个函数的交点个数为2个，零点个数为2个，故选：B3．已知，则方程的实数解个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】当时，解方程求出实根，当时，分析函数取值情况判断根的个数即得.【详解】当时，由，得，则或，解得或或，即当时，方程有3个实根，当时，方程化为，令，函数在上单调递增，于是，因此方程在上无实根，所以方程的实数解个数为3.故选：A4.设函数,则函数的零点的个数为 A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】令可得，即，在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：∴由图象可知两个函数的交点个数为6个，零点个数为6个，故选：C题型四：根据函数零点的存在情况求参数【例1】若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】数形结合可知，进而可得个整数解分别为，，，，所以，即可解得的取值范围.【详解】

函数与的图像如图所示，可知当时，两函数的图像有个交点，不等式有无数个整数解，当，两函数的图像无交点，不等式无整数解，当时，两函数的图像有个交点，不等式无整数解，当时，两函数的图像有个交点，不等式有无数个整数解，所以，则，所以不等式的个整数解分别为，，，，，解得，解得，故选：C.【例2】已知函数若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据解析式画出草图，将问题化为的图象与直线，共有5个交点，数形结合有的图象与直线有1个交点，即可求参数范围.【详解】作出函数的图象如图所示，函数，且有5个零点，等价于有5个解，即或共有5个解，等价于的图象与直线，共有5个交点.由图得的图象与直线在4个交点，所以的图象与直线有1个交点，则直线应位于直线下方，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B【例3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值是（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】将原方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合函数性质求解答案即可.【详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以讨论情况如下：作图像如下图所示，关于的方程，解得或，由于与图像有一个公共点，则图像与图像有三个公共点，如图所示，，同理，时，，所以实数的值是.故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.【例4】对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据代数式和之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数的解析式，画出函数的图像，利用数形结合求出的取值范围.【详解】由可得，由可得，所以根据题意得，即，做出函数的图像如图，当时，开口向下，对称轴为，所以当时，函数的最大值为，函数的图像和直线有三个不同的交点．可得的取值范围是.故选：D【例5】若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得与的图象有两个交点，画出的图象如图，结合图象可得出答案.【详解】关于x的方程有两个不等的实数解，即与的图象有两个交点，画出的图象如图，由图象可得：.故选：A.【题型专练】1.已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（

）A． B．(C． D．【答案】A【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当取不同值时，的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解.【详解】根据，作出的大致图象如下：由图可知：当时，此时由两个根，分别为，当时，此时有4个交点，当时，此时有3个交点，当时，此时有2个交点，故要使得由6个不同的零点，则令，有6个不同的实数根，显然不是的根，设的两个零点分别为，且，故当时，此时有4个交点，有2个交点，满足题意，故需要满足，解得，当时，此时有3个交点，有3个交点，满足题意，故需要满足，解得，综上可得或故选：A2.已知函数若总存在实数t，使得函数有三个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】利用分段函数的单调性及值域数形结合计算即可.【详解】对于函数，易知该函数在和上单调递减，；对于函数，易知该函数在上单调递增，上单调递减，；有三个零点等价于函数与有三个交点，若要符合题意，需与有两个交点，且交点的纵坐标在区间内，如下图所示，故或.故选：C3.已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】转化为与的图象有2个不同的交点，结合图象可得答案.【详解】函数的图象如下图，方程有且只有两个不相等的实数根可看作的图象与的图象有2个不同的交点，可得.故选：A.4.已知函数，下列结论不正确的是（）A．若，则B．C．若，则或D．若方程有两个不同的实数根，则【答案】ABC【分析】选项A分情况代入的值讨论即可；选项B直接把代入分段函数求值；选项C分情况讨论；选项D利用函数单调性求分段函数图像与直线的交点分析即可.【详解】对于：当时，，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；对于：，，故选项不正确；对于：当时，，即，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；对于：函数在上单调递增，值域为，则时，，函数在上单调递减，值域为，则时，，因此，方程有两个不同的实数根，则，故选项正确.故选：ABC5.若关于x的方程在上有两个不等实根，则实数a的取值范围是【答案】【分析】设，得到，转化为在上有两个不等的实根，设，列出不等式组，即可求解.【详解】由方程等价于，设，可得，即方程等价于在上有两个不等的实根，设，则满足，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.6.已知函数，若函数，且函数有5个零点，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】作出函数的图象，函数有5个零点等价于与有两个交点，所以与有三个交点，结合图象求解即可.【详解】解：作出函数的图象如下：，且函数有5个零点等价于有5个解，等价于或共有5个解等价于函数与，共有5个交点，由图可得与有两个交点，所以与有三个交点则直线应位于，之间，或与重合，所以或或故答案为：题型五：二分法的应用【例1】1.（2022·全国·高一课时练习）关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（

）A．用二分法求方程的近似解一定可以得到在内的所有根B．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的重根C．用二分法求方程的近似解有可能得出在内没有根D．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的精确解【答案】D【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案.【详解】利用二分法求方程在内的近似解，即在区间内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是内的精确解．故选：D.【例2】用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（

）A．函数在上有零点B．已经达到精确度，可以取作为近似值C．没有达到精确度，应该接着计算D．没有达到精确度，应该接着计算【答案】AD【分析】利用二分法判断出方程根的分布区间，即可根据精确度求出根的近似值．【详解】对于A项：，由函数零点存在定理知，方程在区间有实根，故A正确；对于B、C项：，没有达到精确度的要求，故B错误；对于D项：由，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故C错误，D正确；故选：AD.【题型专练】1.设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则下列必有方程的根的区间为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】根据零点存在定理判断．【详解】由题可知函数为增函数，结合零点存在定理知在区间上必有根．故选：C．2．若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0.1）可以是（

）【答案】C【分析】根据题干中所给的函数值，利用二分法求方程的近似解即可.【详解】解：因为，，且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4，所以原方程的一个近似根为1.4．故选：C.题型六：函数等高问题【例1】已知若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案.【详解】画出的图象，如下，设，则，令，解得或0，因为的对称轴为，由对称性可得，且，其中，因为，所以，故，又，故，.故选：A【例2】已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先画出分段函数的图像，然后转换变量化成对勾函数模型，再根据自变量的取值范围求出整体取值范围即可.【详解】作出分段函数的图像，如图所示，

，直线与函数图像有4个交点，则关于直线对称，所以，而，所以，所以，所以，因为直线与函数图像有4个交点，所以，所以，根据对勾函数性质可知在上单调递减，所以，所以，故选：D【例3】已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BC【分析】作出函数的图像，根据图像得出,,满足的条件和范围,从而得出答案.【详解】函数，画出的图象如下图所示：不妨设，设，则，、关于直线对称，，当时，，所以满足，则，故的取值范围是.故选：BC【题型专练】1.已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（

）A． B．的最大值为9C．的取值范围是 D．的取值范围是【答案】ACD【分析】作出函数图象，结合图形一一判定选项即可.【详解】作出图象如图所示，易知，结合二次函数对称性可知，故A正确；由，又，所以等号不成立，故B错误；由图象及函数的值域可知，，且，则，故C正确；因为，由，故，故．故D正确．故选：ACD2.已知函数，若方程有4个解分别为，且，则.【答案】10【分析】作出函数图象，由对数函数的性质可得，有二次函数的对称性可得，代入求解即可.【详解】作出函数的大致图象，如下：可知，且当时，有2个解；，得；当时，由有2个解，根据图象的对称性，得..故答案为：10.3.已知函数若存在实数，使得方程有4个不同实根且，则的取值范围是；的值为.【答案】/【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；是方程的两根，则可求得，即，，是方程的两个根，化简结合韦达定理得，进而可求的值.【详解】由，即由结合图象可知的取值范围是，是方程的两根，即，故，即，由题意得，是方程的两个根，即方程的两个根，所以，则故答案为：，.4.已知，函数当时，的值域为；若不存在，，使得，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】由得到再分和，分别利用反比例型函数和对数函数的性质求解；画出函数的图象，利用数形结合法求解.【详解】解：当时，当时，，当时，，所以当时，的值域为．画出每段的图象，如图所示：由图象知：当或时，存在，，使得，当时，不存在，，使得．故答案为：，题型七：函数零点和问题【例1】已知函数以下结论正确的序号是.①在区间上是增函数②③若函数在上有6个零点，则6个零点的和④若方程恰有3个实根，则【答案】②③【分析】根据的周期性判断区间单调性判断①，利用周期