2022年广东省中考数学常考压轴试题（含答案解析）

【精编】最新广东省中考数学压轴题

(含答案)

一.(中考压轴题)已知如图1,在△/比1中，/ACB=90°,BC=AC,

点〃在四上，应士仍交比于2点少是熊的中点

(1)写出线段砂与线段用的关系并证明；

(2)如图2,将△皮应绕点〃逆时针旋转a(0°<a<90°),

其它条件不变，线段必与线段尾的关系是否变化，写出你的结论

并证明；

(3)将△应无绕点夕逆时针旋转一周，如果a'=4,BE=2近,直

二.(中考压轴题)如图，4?是。。的直径，众=前，连结4。，过

点。作直线/〃48,点〃是直线)上的一个动点，直线必与。。交于

另一点〃，连结⑺，设直线处与直线4c交于点反

(1)求/为。的度数；

(2)当点〃在”上方，且5_L砂时，求证：PC=AC；

(3)在点〃的运动过程中

①当点A在线段处的中垂线上或点夕在线段PA的中垂线上时，求

出所有满足条件的N/切的度数；

②设。。的半径为6,点月到直线/的距离为3,连结劭，DE,直

接写出△叱的面积.

三.（中考压轴题）（14分）如图：/〃是正△48。的高，。是/〃上

一点，。。经过点〃分别交/反4。于区F

（1）求N及用'的度数；

（2）若AD=6M，求△/跖的周长；

（3）设.EF、4?相较于M若四=3,EF=7,求ZW的长.

四.（中考压轴题）（14分）如图1,抛物线_7=3*+及+3交x轴于

点2（-1,0）和点方（3,0）.

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2,该抛物线与y轴交于点。，顶点为凡点〃（2,3）

在该抛物线上.

①求四边形4。”的面积；

②点〃是线段44上的动点（点户不与点4、夕重合），过点尸作

轴交该抛物线于点。，连接4。、DQ,当是直角三角形

VO）的图象上，点方在直线y=x-3的图象上，点〃的纵坐标为-1,

ABA_x轴，且S^OAB=4.

（1）求点力的坐标和A的值；

（2）若点尸在反比例函数尸？（AV0）的图象上，点0在直线y

=x-3的图象上，P、。两点关于y轴对称，设点尸的坐标为（力,

六.（中考压轴题）（14分）已知，48是。。的直径，点。在。。上,

点户是45延长线上一点，连接以

（1）如图1,若/PCB=/A.

①求证：直线先是。。的切线；

②若。三。1,04=2,求⑦的长；

（2）如图2,若点"是弧"的中点，CM交AB于点N,MN、MC=9,

求阳的值.

图1图2

答案

一.【分析】（1）结论：FD=FC,DF1CF.理由直角三角形斜边中

线定理即可证明；

（2）如图2中，延长〃1到〃使得0仁勿，延长切到凡使得"V

=DE,连接BN、BM.EM、AN,延长ME交.AN于H,交AB于0.想

办法证明而且△/侬，推出AN=EM,再利用三角形中位线定理

即可解决问题；

（3）分别求出跖的最大值、最小值即可解决问题；

【解答】解：（1）结论：FD=FC,DFVCF.

理由：如图1中，

图1

'：ZADE=ZACE=9Q°,AF=FE,

：.DF=AF=EF=CF,

：.Z.FAD=AFDA,/FAC=/FCA,

：.ADFE=/FDA+/FAD=2/FAD,AEFC=ZFAC+ZFCA=2ZFAC,

'：CA=CB,ZACB=9Q°,

：.ZBAC=45°,

AZDFC=AEFD^AEFC=2(7.FADy/FAC)=90°,

：.DF=FC,DFA.FC.

(2)结论不变.

理由：如图2中，延长4C到"使得0Q。，延长劭到也使得

DN=DE,连接瞅BM.EM、AN,延长蛇交楸于，，交AB于0.

,BCLAM,AC=CM,

同法BE=BN,

*/ABM=/EBN=9G,

./NBA=/EBM,

.△松博△血阳

.AN=EM,:./BAN=/BME,

'AF=FE,AC=CM,

.CF*EM,FC//EM,同法川=54%FD//AN,

.FD=FC,

,/BME+/BOM=90°,/BOM=/AOH,

:./BAN^/A0H=9G，

：.ZAHO=90°,

：.ANLMH,FDLFC.

(3)如图3中，当点E落在46上时，防的长最大，最大值=3&

如图4中，当点£落在4?的延长线上时，"的值最小，最小值=

近.

综上所述，近WBF4啦.

【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形

的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

题，属于中考压轴题.

二.【分析】(1)只要证明△/a'是等腰直角三角形即可;

(2)只要证明％=力切=。即可；、

(3)①分四种情形分别画出图形一一求解即可；

②分两种情形如图6中，作鼠LPC于《只要证明四边形/〃a'是

正方形即可解决问题；如图7中，连接0C,作BG1CP千G,EKL

PC于K.由XAOQsXADB,可得5\力初二,可得戚-S^ABD

=净再根据S&BDE=-|,S△物计算即可解决问题；

【解答】解：(1)如图1中，连接式：

(图1)

vAC=BC，

：.BC=CA,

•.•四是直径,

：.ZACB=90°,

：.ZBAC=ZCBA=45°.

(2)解：如图1中，设以交CD于K.

•AC=BC，

：.ZCDB=ZCDP=^°,CB=CA,

:.CD平分~4BDP,又,：CDIBP,

:./DKB=/DKP=90°，'：DK=DK,

：.ADKB□丛DKP,

:.BK=KP,

即切是外的中垂线，

：.CP=CB=CA.

(3)①(I)如图2,当〃在必的中垂线上，且P在右时一，AACD

=15。；

GCP

（图2）

理由：连接划、0C.作BGLPC于G.则四边形。/K是正方形,

,:BG=OC=OB=CG,

,:BA=BA,

:.PB=2BG,

:./BPG=3G°,

'：AB//PC,

：.AABP=^°,

•初垂直平分/R

：.ZABD=^ZABP=15°,

：.ZACD=15°

(II)如图3,当〃在用的中垂线上，且尸在左，//切=105°；

（S3）

理由：作优4b于G.

同法可证//石=30°,可得NN期=N皿-N4℃=15°,

:./ABD=R3°,

'：ZAC^ZABD=18Q°,

：.ZACD=105°；

(III)如图4,/在加的中垂线上，且尸在右时N〃7?=60°；

理由：作AHLPC千H,连接比.

同法可证N4勿=30°,可得N%C=75°,/D=/ABC=45°,

：.ZACD=^°；

(IV)如图5,/在出的中垂线上，且尸在左时N4切=120°

（S5）

理由：作AHLPC千H.

同法可证：/APH=30°,可得N/〃C=45°,ZDAC=&0°-45

=15°,

：.AACD=\^°.

②如图6中，作除LA7于尤

（图6）

'：EK=CK=3,

:.EC=35

'：AC=642,

：.AE=EC,

'：AB//PC,

:./BAE=/PCE,V/AEB=/PEC,

:ZB叫XCPE,

：.PC=AB=CD,

...△也?是等腰直角三角形，可得四边形/〃％是正方形,

••S^BDE=S正方形ADBC=36.

如图7中，连接％,作优工炉于G,EKLPC于K.

由题意ar=RT=3,PK=\,PG=2,

由△/0心必尸我,可得"二卷，

由△40g△/庞,可得s△狼=揩

••Si\PBD=S&ABP~S&ABD，72

179

._3.c_108

••c>4BDE——34PBD-J?

综上所，满足条件的△⑸定的面积为36或臂.

【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似

三角形的判定和性质、切线的性质、线段的垂直平分线的性质和判

定、直角三角形中30度角的判定等知识，解题的关键是学会用分

类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解

决问题，属于中考压轴题.

三.【分析】（1）如图1中，作O/_L/8于/,八力。于/连接阳

OF.想办法求出/后郎的度数即可解决问题;

(2)如图1中，作0m〃于I,0cLzc于/连接OE,OF.利用

全等三角形的性质证明EK=EM,FM=FL,即可推出△力旗的周长=

2AL.即可解决问题；

(3)如图3中，作FPLAB于P,作祝L/C于M,作于Q,

DL1AC于匚想办法求出/〃，4V即可解决问题；

【解答】解：(1)如图1中，作。/，然于I,on/c于/连接

OE,OF.

图1

•.3。是正△/回的高，

「.N胡。=60°,AD平分/BAC,

：.ZBAD=ZCAD=3Q°,

；OLL也于/,。口力。于/

：.ZAIO=ZAJO=90°,

.\ZW=360°-90°-90°=60°=120°,01=0J,

'：OE=OF,

.,.RtA6>7^ARtA6>/F(Z&),

：./IOE=/JOF,

:/EOF=/EOJ+/FOJ=/EOJ+/IOE=/IOJ=120°,

:./EDF=W/E0F=6G°.

(2)如图1中，作〃(L/方于&DL工AC于L,DM1EF于M,连接

FG.

图2

仇;是等边三角形，ADLBC,

：.ZB=QQ°,BD=CD,

*：/EDF=6G,

:./EDF=/B,

'：ZEDC=ZEDF+ZCDF=N於NBED,

：.ABED=ACDF,

\•5是圆。的直径，

.•.N49C=90°,N677A90°,

:./FG分/FDG=9G,/FDC+/FDG=9G

二.ZFDC=ZFGD=ZDEF,

'：DKIEB,DMVEF,

：.AEKD=AEMD=^°,DK=DM,

:.RSDEKQRSDEMQHL),

:.：.EK=EM,

同法可证：DK=DL,

：.DM=CL,

■:DMIFE,DLLFC,

：.AFMD=AFLD=^°,

二.Rt△勿侬Rt△%Z(血)，

：.FM=FL,

'：AD=AD,DK=DF,

.•.RtZ\/Z%^RtZW£(HL),

：.AK^AL,

：.△)£户的周长=44所"'=/4册"VZ=24,

•[〃=6G

：.AL=AD*cos30°=9,

.•.△4EF的周长=18.

(3)如图3中，作FPLAB于P,作EMLAC^M,作于Q,

'于L.

图3

在双△/£"中，♦.'/"=3,/EAM=60°,

：.AM=^AE=^,EM=牛,

在Rt△石物中，即=痴2+标=「-¥)2=?

：.AF=AM^-MF=8,

•.•△月历'的周长=18,

由（2）可知24£=18,

."片9,加=或==6后

：.AP=^AF^4,FP=4M，

'：NQ//FP,

■:bEQNS^EPF,

.EQ=_EP_=1

,,QN-PF-4Vp

'：ZBAD=30°,

：.AQ=V3/W,设EQ=x,则初=4代筋AQ=\?.x,

.•.4K=llx=3,

：.DN=AD-AN=^^.

【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的性质，锐角三角

函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平

分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，

属于中考压轴题.

四.【分析】(1)由尔〃两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛

物线解析式；

(2)①连接切，则可知切〃x轴，由4、分的坐标可知尺/至IJ切

的距离，利用三角形面积公式可求得和的面积，则可

求得四边形40叨的面积；②由题意可知点/处不可能是直角，则

有N4制=90°或N/磔=90°,当N/〃Q=90。时，可先求得直线

/〃解析式，则可求出直线〃。解析式，联立直线〃。和抛物线解析

式则可求得0点坐标；当N/Q〃=90°时，设0(3-「+2什3),

设直线四的解析式为则可用Z表示出〃，设直线〃。

解析式为尸Lx+'同理可表示出无，由力则可得到关于方

的方程，可求得。的值，即可求得0点坐标.

【解答】解：

⑴由题意可得借黑浮解得信，

.•.抛物线解析式为y=-x+2%+3；

(2)①•.，=-1+2户3=-(x-1)2+4,

AF(1,4),

Vr(0,3),D(2,3),

:.CD=2,且切〃x轴，

'：A(-1,0),

SACFD=S^AOAS^FCD~2X3+^X2X(4-3)=4；

②\•点P在线段ABh,

...N%0不可能为直角，

.•.当为直角三角形时，有N/〃Q=90°或N/Q〃=90°,

i.当N49Q=90°时、则〃

'：A(-1,0),〃(2,3),

，直线助解析式为y=x+l,

.•.可设直线〃。解析式为y=-x+»,

把〃（2,3）代入可求得5,=5,

直线〃。解析式为尸-x+5,

联立直线制和抛物线解析式可得[kx：,解得卜二：或广彳,

ly=-x，2x+3ly=4ly=3

.•.0（1,4）；

ii.当N/3=90°时，设0（K-产+2什3）,

设直线40的解析式为y=k\x+b\,

'-ki+b[=O

把/、0坐标代入可得2，解得左=-（-3）,

tk]+b]=-t+2t+3

设直线〃。解析式为y=k2x+bi,同理可求得k2--t,

'CAQLDQ,

二.k\kz=-1,即-（[-3）=-1,解得t=,"产,

当方=上乎时，-d+2什3=夸电，

当方=秒5时，-干+2件3=秒5,

.•.0点坐标为（噂,苧）或（挈，哈；

综上可知。点坐标为（1,4）或（苧，苧）或（竽，苧）.

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的

面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知

识.在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四边形

转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关

键.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.

五.【分析】（1）想办法求出点力坐标即可解决问题;

（2）设尸（勿，-坨），贝IJ0（-勿，--）,想办法构建方程即

IDID

可解决问题；

【解答】解：（1）由题意〃（2,-1）,

v|x2X^=4,

：.AB=4,

•.•四〃y轴,

：.A（2,-5）,

,：A（2,-5）在尸，的图象上,

:.k=-10.

（2）设尸（勿，-”•），则0（-如--）,

mm

•.•点0在尸X-3上，

整理得：力?+3勿-10=0,

解得力=-5或2,

当加=-5,〃=2时一，-+-=-福

mn10

当勿