广义对称思想在数学教学中的应用

广义对称思想在数学教学中的应用一、

什么是广义对称数学上通常讲的对称是指对称的图形、轴对称、中心对称、对称方法和轮换对称式等,但它们不过是对称的沧海一粟。我们这里所说的“广义对称”是指的是一种思想，所谓的对称就是平衡，它是指，世界上一切事物，都处在它该处的位置，这是一种哲学思想。对称就是和谐、是美。它着重追求的是数学对象乃至整个数学体系的合理，匀称与协调。数学概念，数学公式，数学运算，数学方程式，数学结论甚至数学方法中，都蕴含着奇妙的对称性。广义对称的含义是相对深刻而广泛的。“广义对称思想”对中学生很有帮助和益处,它有别于其它数学思想方法,有自己的优势和独特之处,对学生的思想品质、数学能力的培养有很大帮助和作用。通过对广义对称思想的学习和探究可以锻炼学生的思维、拓展学生的视野、丰富学生的想象、造就学生强大的数学头脑……二、

如何在中学数学教学中应用广义对称思想1、在数学学习中通过正反对称思考来寻找解决问题的途径初中代数学习了大量公式，含有等号的公式两边几乎都是可逆的，经常用互逆（可看成思考方式和习惯的一种广义对称）的思想来考虑问题，可以使我们更容易弄清知识间的相互联系和共同本质。比如有关幂的运算相关公式：am·an==am+n

(am)n=amn

(ab)n=anbn(n为正整数).am÷an=am-n例如

比较大小.(1)1625与290；(2)2100与375.(分析)

比较两个正数幂的大小，一种是指数相同，比较底数大小，另一种是底数相同，比较指数大小.解：(1)∵1625=(24)25=2100，290=290，又∵2＞1，∴290＜2100，即1625＞290.(2)∵2100=(24)25=1625，375=(33)25=2725，且16＜27，∴1625＜2725，即2100＜375.（3）比较355，444，533的大小.∵355=(35)11=24311，444=(44)11=25611，533=(53)11=12511，且256＞243＞125，∴25611＞24311＞12511，即444＞355＞533.上面这些题目都是通过逆向应用公式来解决问题的，所以从正反对称的方向来思考问题是广义对称思想应用的重要方面。这样的公式和运算律还有很多：

2、利用机会地位均等的广义对称思想来思考问题(1)利用广义对称的思想理解和记忆公式①完全平方公式：(a+b+c)2

=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac因为根据广义对称的思想a、b、c三个字母在等式左边位置概率均等，因此在等式右边出现的机会概率位置均等，在这样的视角下看这个公式记忆起来非常简。三项的理解通了之后，两项的完全平方公式(a+b)2

=a2+b2+2ab就更简单了，结合统一的思想(a-b)2

=a2+（-b）2+2a（-b）=a2+b2-2ab也可以看成a与（-b）的和的平方；这样的公式非常多都可以结合“广义对称”的思想来理解记忆。③余弦定理：a2=b2+c2-2bcCosA

CosA=(c2+b2-a2)/2bc

b2=a2+c2-2acCosB

CosB=(a2+c2-b2)/2ac

c2=a2+b2-2abCosC

CosC=(a2+b2-c2)/2ab对于公式

c2=a2+b2-2abCosC

，

在△ABC中边a和边b对于c来说，地位是平等的所以在等式右端，a2

和b2只能是同号，哪怕都是负的，于情理上也说得过去，但不能一正一负，第三项中两条边的乘积，只能是a·b,而不能是a·c或b·c，否则对于a、b就是不就平等的了，同样，只能再乘上cosC，使a、b都不出现，这对a、b也是平等的。④三角形面积公式关于三角形面的公式，无论是哪个公式对三角形的三条边和三角形的三个角都具有广义对称性，对于公式一，为了得出面积单位，a2应当在分子上，只要在记住sinC，sinB,sinA三个正弦值有两个在分子上，由于在与a的关系上，∠B和∠C的地位是平等的，那么sinC，sinB就不宜一个在分子另一个在分母上，sinA自然在分母上。对于公式二、三、四，由于对于R来说，A，B，C的地位是平等的，所以sinC，sinB,sinA及a、b、c三个字母要么都在分子上，要么都在分母上。我们根据这一特性很容易就可以把公式记下来。⑤三角函数公式

三角函数的相关公式结合广义对称思想

·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]以上公式结合广义对称的思想和统一的思想，从对称的角度整体上来看这些公式就变得非常简单。（2）利用几何图形的位置均等和元素均等，进行一题多解和多解归一。△ABC中三个顶点、三条边、三个角位置均等，凡是一点、一边或一角能办到的事情，其他的边或角就都能办到，所以下列证明方法，都可以变换不同的顶点和边来添加不同的辅助线，这样就使很多表面看起来不同的证法得到归一。从更广义的角度看，三角形中的顶点、角、边这三个元素也可以看成是对称的，当我们解决问题时，就可以变换不同的元素角度来思考问题。比如：在顶点构造平角、在边上构造平角、在三角形内构造平角、三角形外构造平角，这样就可以使我们充分的打开思路，找到更多的解决问题的方法。比如：在证明三角形内角和定理时，就可以按照这样的思考找到很多思路。通过探究，可以得出以下几种辅助线的作法（还有很多不一一例举）：①

如图1，延长BC得到一平角∠BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画∠1=∠A。

②

如图1，延长BC，过C作CE∥AB③

如图2，过A作DE∥AB

④

如图3，过C作CD∥AB。

(3)利用关系式中变元的对称来寻找解题思路

分析与略解：

显然方程组关于x、ｙ、ｚ对称，其结果也应关于x、y、z对称。若方程只有一组解，则必有x＝ｙ＝ｚ,此时由①有x＝ｙ＝z=2，代入②、③皆不成立，所以(A)错。若方程有两组解，则与方程组关于x、ｙ、ｚ具有的对称性矛盾，所以(B)也不对。若方程有三组解，则x＝ｙ≠ｚ应成立,此时由①，ｚ＝6-2x，代入②得3x2-12x+13＝0,但由于△＝-12＜0，此方程无解，(C)也错。故应选(D)。解后反思：当x、ｙ、ｚ为两两不等的实数时，这三个数的每一个排列对应于这样的方程的一组解，这样的排列共6组，故方程组应有6ｋ(ｋ∈Ｎ)组解。实际上，1、2、3的6组不同排列就分别是上述方程的6组解。例2、分解因式x4+(x+y)4+y4分析：这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.

解

∵x4+y4

=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy3

=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.

∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4

=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2

=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]

=2[(x+y)2-xy]2=2（x2+

xy+

y2）2（4）利用图形或位置的的对称性，从追求和谐、追求美的角度来寻找解题思路例1．如图2，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点P在△ABC内部。试说明：∠APB＞∠APC。解：作点P关于AD的对称点P1，连接PP1并延长交AC于点E，因为△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD⊥BC于点D，所以点B与点C关于AD对称，所以点B与点C关于AD对称，又因为点P与点P1关于AD对称，点A在AD上，所以△ABP与△ACP1关于AD对称，所以∠APB=∠AP1C因为∠EP1C是△PP1C的外角，所以∠EP1C＞∠EPC，同理∠EP1A＞∠EPA，所以∠AP1C＞∠APC，所以∠APB＞∠APC。例2.四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面上的点，试说明：点E与正方形相邻两顶点能否构成等边三角形？若能，有几个？若不能，请说明理由。

解题思路：

当点E与A、B构成等边三角形时，由轴对称性可知，点E应在边AB的中垂线上，且∠EAB=60°，满足这一条件的点E有：在正方形ABCD内部，在正方形ABCD外部两种情形。同样点E也可以分别与B、C；C、D；A、D构成等边三角形，故共有8个。

[说明]这一问题，有一部分学生会漏解。利用广义对称的思想体会到：“点E在正方形内部”与“点E在正方形外部”地位相同，只要想到其中一种情况就应想到另一种；同样“点E与B、C构成三角形”、“点E与C、D构成三角形”、“以E为A、B构成三角形”及“点E与B、D构成三角形”这四者的地位也是等同的，因此想到其中一种情况就应联想到其它三种情况，这样就会避免漏解现象。

例3、2010年北京市中考第25题

25.

问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

（1）当∠BAC=900时，依问题中的条件补全右图．

观察图形，AB与AC的数量关系为________；

当推出∠DAC=150时，可进一步推出∠DBC的度数为_______；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_________．

（2）当∠BAC≠900时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

在2010年中考时很多优秀的学生都没有把这道题完整解答下来。在（2）问中影响学生顺利解题最大障碍就是如何添加辅助线构造图形，很多学生处理2倍角问题的习惯用法是构造外角，用这个思路，很多学生遇到了障碍。如果结合本题的实际情况，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，这样在图中就存在了“对称”的基础，而原图形是不对称的，从追求对称、追求和谐、追求美的角度来看这道题，把△ADB沿△ADC的对称轴翻折就很容易构造出等腰梯形ABKC，图形构造出来后，对于平时学习比较优秀的学生在看这道题就简单了。

3、利用广义对称思想构造对偶式把不对称的问题转化为对称来解决例1、已知α,β是方程x2+3x-1=0的两根，不解方程,求2α+3β的值。根据根与系数关系可知：α+β=-3

αβ=-1，设M=2α+3βN=2β+3α则M+N=5（α+β）=-15，MN=（2α+3β）（2β+3α）=13αβ+6（α2+β2）=αβ+6（α+β）2=-3+6=3例2、计算：S=1+2+3+……+100构造对偶式：2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+……+(100+1)=101×100÷2=5050由上面的两个例子可以看出在广义对称的思想指导下，通过构造对偶，把不对称的知识变成对称的来解决，可以使问题大大简化。三、

怎样才能在数学学习中应用好广义对称的思想1、要有追求对称、追求美、追求和谐的意识数学学习中的广义对称处处皆是,步步有它。因为它意味着合乎情理。数学的美,是它的高度严谨和合理而达到的和谐,是一种令人神怡的内在和谐。

因此我们在学习数学知识的过程中，一定要努力跳出知识来看知识，把追求美、追求和谐、作为数学学的重要追求，这样我们才能很好的利用广义对称的思想，在追求和谐、追求美的过程中、把数学问题很好的解决。2、利用好数学中对称的基本概念，从直观对称入手来解决实际问题。对称又是一个数学概念.初中学生所熟悉的有代数中的对称式，几何中的轴对称、中心对称、旋转对称等，更一般情况是，许多数学问题所涉及的对象具有\o"对称性"对称性，不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称.

这样就会对具有基本对称元素的数学问题养成用对称的思想来观察的意识。3、用对称的思考方法来变换角度思考问题教学中，我们要常给学生进行一些变式