5.2.2函数的和差积商的导数及简单复合函数的导数校本讲义-高二上学期数学选择性

编号：035课题:§5.函数的和、差、积、商的导数§5.简单复合函数的导数教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．本节重点难点重点：利用公式求简单函数的导数；难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．教学过程赏析基础知识积累1.导数的四则运算法则和、差的导数[f(x)±g(x)]′＝_________________积的导数[f(x)·g(x)]′＝__________________________商的导数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝________________________________(g(x)≠0)【课前预习思考】(1)如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，则函数f(x)＋c的导数是什么？(2)如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，则函数cf(x)的导数是什么？(3)两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数情形？2．复合函数及其导数(1)定义：一般地，对于两个函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))和u＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))和u＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的复合函数，记作y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)))).(2)求导法则：对于复合函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))))，y′x＝________，即y对x的导数等于______的导数与_____的导数的乘积．【课前预习思考】(1)对函数y＝eq\f(1,（3x＋1）4)求导时如何选取中间变量？(2)函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？【课前小题演练】题1．函数y＝x(x2＋1)的导数是()A．x2＋1B．3x2C．3x2＋1D．3x2＋x题2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.B.C.D.题3．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为()A．－1B．0C．1D．2题4.曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为()A.B.C.D.题5．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于()A．e2B．eC.D．ln2题6．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0题7．设f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1,0)题8.(多选题)．下列运算中正确的是()A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′C.D．(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′题9(多选题)．下列导数运算正确的有()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xex))′＝(x＋1)exC．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2x))′＝2e2x D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln2x))′＝eq\f(2,x)题10．已知函数f(x)＝ex·sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．题11．求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋cosx；(2)y＝lgx－ex.题12.设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．【当堂巩固训练】题13．曲线y＝xlnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是()A.B.C．1D．2题14.已知曲线在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于()A．1B．－1C．7D．－7题15．已知曲线f(x)＝(x＋a)·lnx在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于()A.B．1C．D．－1题16．如图，有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于()A.B．C.D．－或题17（多选题）．若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x3＋x＋1C．f(x)＝sin2x D．f(x)＝ex＋x题18(多选题)．当函数(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是()A．aB．0C．－aD．a2题19．已知函数f(x)＝x3－mx＋3，若f′(1)＝0，则m＝_________________________________.题20．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．题21．已知函数若f′(a)＝12，则实数a的值为________．题22．已知函数，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为________．题23.曲线y＝f(x)＝(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．题24．求下列函数的导数：(1)f(x)＝x5＋x3；(2).题25．求下列函数的导数：(1)；(2；(3)；(4).题26．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________.【答案】4096题27．已知函数，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．题28．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．【课堂跟踪拔高】题29．已知f(x)=(x2+1)cosx,则其导函数为 ()A.f'(x)=(x2+1)sinxB.f'(x)=(x2+1)sinxC.f'(x)=2xcosx(x2+1)sinxD.f'(x)=2xcosx+(x2+1)sinx题30.已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln,则f(1)= ()A.e B.2 C.2 D.e题31.给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(xf(x)=4x+3sinxcosx的拐点是M(x0,f(x0)),则点M在直线 ()A.4x+y=0上 B.x3y=0上C.3x+y=0上 D.4xy=0上题32.设f'(x)是函数f(x)=的导函数,则f'(0)的值为 ()A.1 B.0 C.1 D.题33.已知函数f(x)=xexa,曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线方程为y=3x+b,则a+b= ()A.4 B.2 C.2 D.4题34(多选题).下列计算正确的是 ()A.y=(x23x+1)ex,则y'=(x2x2)exB.y=cos,则y'=sinC.y=,则y'=D.y=2x,则y'=2xln2题35(多选题).已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是 ()A.f(x)=x2 B.f(x)=ex C.f(x)=lnx D.f(x)=题36(多选题)．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值可以是()A．1B．eq\f(1,64)C．eq\f(1,32)D．－eq\f(1,64)题37.英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x=aixi,则a1+2a2+3a3+…+nan=.题38.写出下列函数式的求导结果:(ex+sin)'=;()'=.题39.求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x1);(2)f(x)=;(3)y=ln.题40.已知函数f(x)=x2+xlnx.(1)求这个函数的导数f'(x);(2)求这个函数在x=1处的切线方程.题41．求下列函数的导数：(1)y＝x2＋xlnx；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．题42．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．编号：035课题:§5.函数的和、差、积、商的导数§5.简单复合函数的导数教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．本节重点难点重点：利用公式求简单函数的导数；难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．教学过程赏析基础知识积累1.导数的四则运算法则和、差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)积的导数[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)商的导数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)【课前预习思考】(1)如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，则函数f(x)＋c的导数是什么？提示：由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的运算法则1，得[f(x)＋c]′＝f′(x).(2)如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，则函数cf(x)的导数是什么？提示：由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的运算法则2，得[cf(x)]′＝cf′(x).(3)两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数情形？提示：能推广．容易证明：[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x).2．复合函数及其导数(1)定义：一般地，对于两个函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))和u＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))和u＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的复合函数，记作y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)))).(2)求导法则：对于复合函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))))，y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【课前预习思考】(1)对函数y＝eq\f(1,（3x＋1）4)求导时如何选取中间变量？提示：对于函数y＝eq\f(1,（3x＋1）4)，可令u＝3x＋1，y＝u－4；也可令u＝(3x＋1)4，y＝eq\f(1,u).显然前一种形式更有利于计算．(2)函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？提示：函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．【课前小题演练】题1．函数y＝x(x2＋1)的导数是()A．x2＋1B．3x2C．3x2＋1D．3x2＋x【答案】C【解析】∵y＝x(x2＋1)＝x3＋x，∴y′＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.题2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.题3．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为()A．－1B．0C．1D．2【答案】A【解析】因为f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，所以f′(x)＝f′(－1)x－2.所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，所以f′(－1)＝－1.题4.曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，所以在x＝1处的切线的倾斜角为.题5．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于()A．e2B．eC.D．ln2【答案】B【解析】∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，即lnx0＝1，解得x0＝e.题6．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0【答案】B【解析】∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.题7．设f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1,0)【答案】C【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，又由，解得x>2，所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．题8.(多选题)．下列运算中正确的是()A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′C.D．(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′【答案】AD【解析】A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；B项中，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′，故错误；C项中，，故错误；D项中，(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′，故正确．题9(多选题)．下列导数运算正确的有()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xex))′＝(x＋1)exC．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2x))′＝2e2x D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln2x))′＝eq\f(2,x)【解析】选BC.对于A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))′＝－x－2＝－eq\f(1,x2)，故错误；对于B，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xex))′＝x′ex＋xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex))′＝(x＋1)ex，故正确；对于C，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x))′e2x＝2e2x，故正确；对于D，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln2x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x))′eq\f(1,2x)＝eq\f(1,x)，故错误．题10．已知函数f(x)＝ex·sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．【答案】y＝x【解析】∵f(x)＝ex·sinx，∴f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.题11．求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋cosx；(2)y＝lgx－ex.【解析】(1)y′＝′－′＋′＝5x4－3x2－sinx.(2)y′＝(lgx－ex)′＝(lgx)′－(ex)′＝－ex.【反思感悟】两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可．题12.设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．【解析】f′(x)＝(a·ex)′＋(blnx)′＝a·ex＋，由f′(1)＝e，f′(－1)＝，得解得所以a，b的值分别为1,0.【反思感悟】(1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式．(2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题．【当堂巩固训练】题13．曲线y＝xlnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是()A.B.C．1D．2【答案】B【解析】设曲线y＝xlnx在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．∵y′＝lnx＋1，∴k＝lnx0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为，即曲线y＝xlnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是.题14.已知曲线在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于()A．1B．－1C．7D．－7【答案】C【解析】∵，又f′(1)＝tan＝－1，∴a＝7.题15．已知曲线f(x)＝(x＋a)·lnx在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于()A.B．1C．D．－1【答案】C【解析】因为f(x)＝(x＋a)·lnx，x>0，所以f′(x)＝lnx＋(x＋a)·，所以f′(1)＝1＋a.又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，所以f′(1)＝－，所以a＝－.题16．如图，有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于()A.B．C.D．－或【答案】B【解析】f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，即f′(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，又由图(3)得对称轴为－＝－a>0，则a<0，解得a＝－1.故f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－.题17（多选题）．若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x3＋x＋1C．f(x)＝sin2x D．f(x)＝ex＋x【解析】选BC.对于A，f(x)＝3cosx，f′(x)＝－3sinx为奇函数，其图象关于原点对称，A不正确；对于B，f′(x)＝3x2＋1为偶函数，其图象关于y轴对称，B正确；对于C，f′(x)＝2cos2x为偶函数，其图象关于y轴对称，C正确；对于D，f′(x)＝ex＋1为非奇非偶函数，其图象不关于y轴对称，D不正确．题18(多选题)．当函数(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是()A．aB．0C．－aD．a2【答案】AC【解析】，由，得x0＝±a.题19．已知函数f(x)＝x3－mx＋3，若f′(1)＝0，则m＝_________________________________.【答案】3【解析】因为f′(x)＝3x2－m，所以f′(1)＝3－m＝0，所以m＝3.题20．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．【答案】1【解析】∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′，得f′＝－1.∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴＝1.题21．已知函数若f′(a)＝12，则实数a的值为________．【答案】或－4【解析】若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－4.题22．已知函数，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为________．【答案】1,1【解析】.由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故即解得题23.曲线y＝f(x)＝(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．【答案】1【解析】由题意可知，f′(x)＝x·ex，f′(1)＝2，∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲线y＝(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S＝×2×1＝1.题24．求下列函数的导数：(1)f(x)＝x5＋x3；(2).【解析】(1)∵f(x)＝x5＋x3，∴f′(x)＝x4＋4x2.(2)∵，∴.题25．求下列函数的导数：(1)；(2；(3)；(4).【解析】(1).(2).(3).(4).题26．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________.【答案】4096【解析】因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212＝4096.题27．已知函数，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．【解析】(1)由题意得，因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，所以解得则.(2)由(1)可得，，所以直线l的斜率，令，则t∈(0,1]，所以k＝4(2t2－t)＝，则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，所以直线l的斜率k的取值范围是.题28．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．【解析】(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3，所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.【课堂跟踪拔高】题29．已知f(x)=(x2+1)cosx,则其导函数为 ()A.f'(x)=(x2+1)sinxB.f'(x)=(x2+1)sinxC.f'(x)=2xcosx(x2+1)sinxD.f'(x)=2xcosx+(x2+1)sinx【解析】选C.因为f(x)=(x2+1)cosx,所以f'(x)=2xcosx(x2+1)sinx.题30.已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln,则f(1)= ()A.e B.2 C.2 D.e【解析】选B.因为f(x)=2xf'(1)+ln,所以f'(x)=2f'(1)+·（）'=2f'(1)+x·（）=2f'(1),所以f'(1)=2f'(1)1,解得f'(1)=1.所以f(x)=2x+ln,f(1)=2+ln1=2.题31.给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(xf(x)=4x+3sinxcosx的拐点是M(x0,f(x0)),则点M在直线 ()A.4x+y=0上 B.x3y=0上C.3x+y=0上 D.4xy=0上【解析】选A.依题意f'(x)=4+3cosx+sinx,f″(x)=3sinx+cosx,令f″(x)=3sinx+cosx=0,得3sinx0cosx0=0,所以y0=f(x0)=4x0,所以点M(x0,y0)在直线4x+y=0上.题32.设f'(x)是函数f(x)=的导函数,则f'(0)的值为 ()A.1 B.0 C.1 D.【解析】选C.f'(x)==,则f'(0)==1.题33.已知函数f(x)=xexa,曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线方程为y=3x+b,则a+b= ()A.4 B.2 C.2 D.4【解析】选B.由题得y'=(x+1)exa,所以y'=a+1=3,所以a=2,所以f(x)=xex2,所以f(2)=2e22=2,所以切点为(2,2),将(2,2)代入切线方程得b=4,所以a+b=2.题34(多选题).下列计算正确的是 ()A.y=(x23x+1)ex,则y'=(x2x2)exB.y=cos,则y'=sinC.y=,则y'=D.y=2x,则y'=2xln2【解析】选ACD.A.由y=(x23x+1)ex可得y'=(x23x+1)(ex)'+(x23x+1)'ex=(x2x2)ex,因此A正确;B.因为y=cos=为常数,所以y'=0,因此B不正确;C.由y=可得y'===,因此C正确;D.由y=2x可得y'=2xln2,因此D正确.题35(多选题).已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是 ()A.f(x)=x2 B.f(x)=ex C.f(x)=lnx D.f(x)=【解析】选ACD.在A中,若f(x)=x2,则f'(x)=2x,则x2=2x,这个方程显然有解,故A符合要求;在B中,若f(x)=ex,则f'(x)=[（）x]'=()xln=ex,即ex=ex,此方程无解,故B不符合要求;在C中,若f(x)=lnx,则f'(x)=,由lnx=,令y=lnx,y=(x>0),作出两函数的图象如图所示,由两函数图象有一个交点可知该方程存在实数解,故C符合要求;在D中,若f(x)=,则f'(x)=,由=,可得x=1,故D符合要求.题36(多选题)．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值可以是()A．1B．eq\f(1,64)C．eq\f(1,32)D．－eq\f(1,64)【解析】选AB.因为(0，0)在直线l上，当O(0，0)为f(x)的切点时，因为f′(0)＝2，所以直线l的方程为y＝2x，又直线l与y＝x2＋a相切，所以x2＋a－2x＝0满足Δ＝4－4a＝0，得a＝1；当O(0，0)不是f(x)的切点时，设切点为(x0，xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋2x0)(x0≠0)，则f′(x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－6x0＋2，所以eq\f(xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋2x0,x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－6x0＋2，得x0＝eq\f(3,2)，所以f′eq\b