圆锥曲线中的小技巧讲义（1）-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的小技巧（1）TOC\o"13"\h\u非对称韦达： 1轨迹为圆的 8参数方程与普通方程的互化 10中点弦问题： 13隐性中点： 13定比点差： 14第三定义： 15齐次化： 16非对称韦达：此外，在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直线代换可得：但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法，非对称韦达的处理，技巧性稍强一些，具体处理方法技巧．【例题1】已知点F为椭圆的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为证明为定值．解析反设直线：由题，A(－2，0)，B(2，0)，设，则，，联立，消x得，且△>0，则策略一：和积转换(一般是积转和)所以，代入得，，为定值，得证.策略二：配凑半代换因此，得证正设直线：情形一当直线l斜率不存在时，此时，，或， 因此或，，此时均有，为定值；情形二当直线l斜率存在时，不妨就正设直线，，， 因此，，联立，消得，易知△＞0，则策略一：和积转换（一般是积转和）即，因此，所以，为定值，得证.策略二：配凑半代换所以，即，为定值，得证.策略三：先猜后证要证，即证，也即，即，即，也即，也即，显然成立，也即恒有，为定值，得证.策略四：曲线替换（一般先要平方）习题巩固：1．（2021·辽宁大连·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在上且．（1）求的标准方程；（2）设的左右顶点分别为，，为坐标原点，直线过右焦点且不与坐标垂直，与交于，两点，直线与直线相交于点，证明点在定直线2．（2021·福建高三其他模拟）椭圆的离心率，在上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为短轴端点，过作直线交椭圆于两点(异于)，直线交于点.求证：点恒在一定直线上.3.（2023辽宁高考21）21.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.【小问1详解】设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程.【小问2详解】由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.轨迹为圆的：1.命题学校：华中师大一附中命题人：田甜审题人：王雪冰吴巨龙考试时间：2020年12月30日上午8:00—10:00（21）已知椭圆与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点作一条斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于A,B两点，交y轴于点E，P为弦AB的中点，过点E作直线OP的垂线交OP于点Q，问是否存在一定点H，使得QH的长度为定值？若存在，则求出点H，若不存在，请说明理由．2.（2020山东高考22）22．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．3.已知椭圆的离心率为，且经过点.设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一个动点（异于椭圆的左、右端点）.（1）求椭圆的方程；（2）过点作椭圆的切线，过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值.参数方程与普通方程的互化eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3k,1＋k2),y＝\f(6k2,1＋k2)))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－sin2θ,y＝sinθ＋cosθ))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－t2,1＋t2),y＝\f(t,1＋t2))).1．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），2．（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）3.（2019•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．习题巩固：1．（2021·辽宁高三二模）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线．（1）求的方程，并说明是什么曲线；（2）经过点的直线与相交于，两点，求的最大值．2.中点弦问题：1．（2022·辽宁16）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．隐性中点：1．已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称，求实数的取值范围．定比点差：1．已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，左顶点为，且．（1）求椭圆的方程；（2）已知，，点在椭圆上，直线，分别与椭圆交于另一点，，若，，求证：为定值．【解答】解：（1）设，由题意可得，，所以，，又，联立解得，，所以椭圆的方程为；（2）证明：设，，，，，，由，，得，，，，，，所以，，所以①又点，，均在椭圆上，由，得，所以，由，得联立②③得④联立①④得，所以为定值．第三定义：1．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是A． B． C． D．经典变形：2．（2022·全国甲卷10（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2.设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.3．（2022·辽宁·育明高中一模）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．齐次化：1.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．【解析】直线由，得则由，得：，整理得：，即：．所以，则，即：．2．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点，证明:直线