向量方法求空间角和距离

向量方法求空间角和距离第一课时概念梳理回归基础最新考纲考情考向分析能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解.题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想.r知识梳理两条异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1，12的方向向量，则l1与l2所成的角0a与b的夹角p范围(°，日[°，n]求法cos0=lallbln_a-b_cosP=lallbl直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a,平面a的法向量为”，直线l与平面a所成的角为0,a与n的夹角为月，则sin0=lcos^l=ia^ni.lallnl求二面角的大小⑴如图①，AB,CD分别是二面角a-l-p的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小0=〈AB，CD〉.①②③如图②③，n1，n2分别是二面角a-l-p的两个半平面a，的法向量，则二面角的大小0

满足Icos0l=lcos〈n1,n2〉I,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).【知识拓展】利用空间向量求距离(供选用)两点间的距离设点A（x1，y1，z1）,点B（x2,y2,z点到平面的距离如图所示，已知/48为平面a的一条斜线段，n为平面a的法向量，则8到平面a的距离为I沥II疝.nlInl•(4)两异面直线夹角的范围是(0,《］,直线与平面所成角的范围*0,面角的范围是(4)两异面直线夹角的范围是(0,《］,直线与平面所成角的范围*0,面角的范围是［0,n］.()(5)若二面角a—a"的两个半平面a,&的法向量n1,n2所成角为仇则二面角a~a~p的大小是n—卜.()题组二教材改编2.［P104T2］已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为 )A.45° B.135°C.45°或135° D.90°答案C"n一—题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“””或“X”) 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“””或“X”) 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.() 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()解析cos〈m，n〉-|m||nI-i.如一2，即〈m，n〉-45•・.・两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.3.［P117A组T4(2)］如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC—AB©的底面边长为2,侧棱长为2气：2则AC1与侧面ABB］A］所成的角为.

题组三易错自纠4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，匕BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点，BC=CA=Cq，则BM与AN所成角的余弦值为(ADA.］。％。I。D.25.已知向量m,n分别是直线l和平面a的方向向量和法向量，若cos〈m,n〉=—],则l与a所成的角为.6.过正方形ABCD的顶点A作线段B4L平面ABCD,若AB=PA，则平面ABP与平面CDP所成的角为.第二课时题型分类，深度剖析题型一求异面直线所成的角,,「'U'典例如图，四边形ABCD为菱形，匕ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点，BEL平面ABCD,DFL平面ABCD,BE=2DF,AELEC.⑴证明：平面AECL平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤3所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为号.思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤(])选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.跟踪训练(2017•广东五校第一次诊断)如图所示，菱形ABCD中，匕ABC=60°,AC与BD相交于点O,AEL平面ABCD,CFHAE,AB=AE=2.求证：BDL平面ACFE；当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小.题型二求直线与平面所成的角共典例(2016・全国III)如图，四棱锥PABCD中，PAL底面ABCD,ADHBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点.证明：MN〃平面PAB；求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.思维升华利用向量法求线面角的方法分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.题型三求二面角 "'二典例(2017・全国II)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=2aD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中点.

证明：直线CE〃平面PAB；点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.思维升华利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.跟踪训练(2017•天津)如图，在三棱锥P-ABC中，PAL底面ABC,ZBAC=90°.点D,E,N分别为棱PA，分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2.求证：MN〃平面BDE；求二面角C-EM-N的正弦值;7…L…已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为方，求线段AH的长.乙JL题型四求空间距离(供选用) 、二典例(2018・株洲模拟)如图，^BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCDL平面BCD,AB上平面BCD，AB=2、h，求点A到平面MBC的距离.

思维升华求点面距一般有以下三种方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.等体积法.向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便. 答题模板 利用空间向量求解空间角AD=DC典例(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,ADLAB,AB^DC,=AP=2,AB=1,点E为棱AD=DC证明：BELDC；求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；⑶若F为棱PC