【模拟测试】高考数学检测试卷及答案

高考模拟测试数学试题

（满分：150分考试时间：120分钟）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

L已知集合A={x|x2-4x<。},B={x|log3x>1},则AD8=（）

A.（3,4）B.（1,3）C.（0,4）D.

（0,+e）

1-i

2.在复平面内，复数——对应的点位于（）

21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

3.下列关于函数/（x）=2sin（x-的说法中，

正确的是（）

7T

A.函数/是奇函数B.其图象关于直线x=W对称

2

C.其图象关于点If,。］对称D.（JIJi\

函数“X）在区间一5,耳）上单

14）

调递增

4.若双曲线C:*-，=l（a>0力>0）的离心率为逐，

则其渐近线方程为（）

Ay=±2xB.y=±gxC.y=±6xD.

y=±\/5x

5.（丁一,）4展开式中，的系数是（）

X

A.2B.-4C.6D.-8

6.已知a=log52,h=log32,1=8^，贝！l（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.

b<c<a

7.若函数/（x）=lnx+x2+a-i在区间（l,e）内有零点,则实数。的取值范围是（）

A.（—e~,0）B.（—^*,1）C.（l,e）D.（I］）

8.给出下列命题：

①若AA3c的三条边所在直线分别交平面a于P,R三点，则P,R三点共线；

②若直线。力是异面直线，直线"c是异面直线，则直线。是异面直线；

③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线/于AB,C三点，则这四条直线共面；

④对于三条直线a,仇c,若a_Lc,bA.c,则a//>

其中所有真命题的序号是()

A.①②B.①③C.③④D.②④

9已知sin(a-工)+Gcosa=4，则sin(2a+^)=()

336

2217

A.-B.-C.一一D.一一

3999

10.已知M是抛物线>2=4x上的一点，尸是抛物线的焦点，若以网为始边，FM为终

边的角NxFM=60"，贝1」|府|等于()

A.2B.生叵C.26D.4

3

11.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材

质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊

材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层).国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤

率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过

滤率x：N(0.9372,0.01392).若生产状态正常，有如下命题：

甲：P(xW0.9)<0.5；

乙：x的取值在(0.93,0.9439)内的概率与在(0.9372,0.9511)内的概率相等；

丙：Q(x<0.9)=P(x>0.9744)；

T：记J表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于〃+2b的数量，则尸©21)>0.6.

(参考数据：若x〜N",6)3>0),则-cr<x<〃+b)k0.6827,

P[/.i-2(y<x<//+2cr)*0.9545,尸(〃一3cr<x<〃+3cr)®0.9973；O,9850«0,364)

其中假命题是()

A.甲B.乙C.丙D.T

12.设函数.f(x)定义域为R,且/(2x-l)是偶函数，/(x+1)是奇函数，则下列说法一

定正确的有()

①/(x—8)=/(x)；®/(l+x)=-/d-x)；③/(一3)=0；@f(2+x)=f(2-x)

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13.已知Q与人的夹角为§，一3，|〃|一1，则\a+2h\=--------•

14.若无穷等比数列伍“｝的各项均大于1,且满足4%=144,4+%=30,则公比

q=.

15.某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得

到的，如果被截正方体的的棱长为40cm,则石凳所对应几何体的表面积为cm2.

16.在气象台正西方向300km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为

4()km/h,距台风中心250km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变,

大约小时后气象台所在地开始受到影响(参考数据：而V7«2.6).

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求

作答.

(一)必考题：共60分.

17.设数列｛an｝的前〃项和为Sn,an+]=-S“S"+ieN*),4=1.

(1)求证：数列，是等差数歹I；

2w

⑵设a=不，求数列也,｝的前〃项和力

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAD是正三角形，侧面PAD±

底面438,M是尸。的中点.

⑴求证：平面PC。；

(2)求二面角A—C的正弦值.

19.水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛

场馆.现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3

人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.

(1)若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调2人来自不同场馆的

概率；

(2)若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数

和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数.设从五棵松抽出的人数为

求随机变量g的概率分布列及数学期望.

20.设函数f(x)=x2-(a+2)x+aInx(aeR).

(1)若x=3是/(x)的极值点，求/(x)的单调区间；

(2)若/(x)N1恒成立，求。的取值范围.

r221

21.已知椭圆C:与+v==1(a>b>0)的离心率为彳，左、右焦点分别为6，工，。为

a~b~2

UUU1UUU1UUUUUU1uuu

坐标原点，点P在椭圆C上，且满足|P/"=4，\PF{\\PF2\-2PFi-PF2=0.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点(2,0)且不与x轴重合的直线I与椭圆C交于",N两点，在x轴上是否存在定

点。，使得NMQO=NNQO.若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做

的第一题计分.

x-2cosa

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为《厂(a为参数)，以坐标原点为

y=x/3sintz

极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcos(e+?)=等.

(1)求曲线C的普通方程与直线I的直角坐标方程；

⑵若直线/与曲线。交于M,N两点，点P(2,l),求|/W|+|/W|的值.

23.已知函数/(x)=|x-2|+|x-a|.

⑴当。=3时，求不等式/*)>5解集；

⑵若Vxe[l,2],/(x)..|x—4],求实数。的取值范围.

答案与解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合4=卜,2—4x<。},8={x|log3X>l},则4口8=()

A.(3,4)B.(1,3)C.(0,4)D.

(0,+纥)

［答案］A

［解析］

［分析］求出集合A、B,利用交集的定义可得出结论.

［详解］因为4={x,-4x<o}=1x|0<x<4},B=^x|log3x>1}=|x|x>3},

因此，AcB={x［3<x<4}.

故选：A.

1-i

2.在复平面内，复数——对应的点位于()

21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

［答案］C

［解析］

［分析］根据复数除法运算化简可得.

［详解］―-=—~~9=----i,对应点(一］，一；］在第三象限.

2i2i222122；

故选：C.

3.下列关于函数/(x)=2sin(x—7)的说法中，正确的是()

A.函数是奇函数B.其图象关于直线x=£对称

C.其图象关于点(?,0)对称D.函数/(x)在区间上单调

递增

［答案］C

［解析］

［分析］根据三角函数的性质分别判断即可.

［详解］对A,/(—71\=2si.n/工-17T*一71\=2sin/［x-,71J\=—2c°sx为偶函数，故A错

误；

对B,/(1)=2sinf|-^=V2^±2,故其图象不关于直线x=］对称，故B错误；

对C,由/(x)=2sin(x-?)知，fg)=O,C正确;

匕Jr十（不37r力7i1，根据正弦函数的单调性可得D错误.

对D,当时，

故选：C.

4.若双曲线C：W-£=l（a>0,方>0）的离心率为君，则其渐近线方程为（

)

a-b-

A.y=±2xB.y=±gxC.y=±\/3x

D.

y=±\/5x

［答案］A

［解析］

［分析］利用。2=6+62,转化=［（2）2=布,即得解

［详解］由£=6，可得./+/卜+（2）2

aa\a

可解的2=2,

a

故双曲线的渐近线方程为y=±2尤，

故选：A.

5.（尤2一！）4展开式中，的系数是（）

X

A.2B.-4C.6D.—8

［答案］B

［解析］

［分析］写出展开式的通项公式4+1=（-1）*域丁-3*,令8—3k=—1,即得解

［详解］（f--）4展开式的通项为£巾=《声2"_］）*_=（_］）七次8-3«,

X

令8-3Z-3,

故(一1)七：=—4,

故选：B.

6.已知a=log52,b=log2,,则()

3C=84

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.

h<c<a

［答案］B

［解析］

［分析］先利用对数函数的换底公式，然后根据对数函数的单调性判断即可解得答案.

1.111

［详解］解：«=；~b=-~~c=-=-~根据对数函数的单调性故

log,5log,32log24

故选：B.

7.若函数/(x)=lnx+f+a—1在区间(l,e)内有零点，则实数。的取值范围是()

A.(-e2,0)B.(-e2,l)C.(l,e)D.(I*?)

［答案］A

［解析］

［分析］利用导数得到函数为增函数，由题意可得了(D<0,/(e)>0,求解可得答案.

［详解］解：v/(x)=lnx+x2+«-1

/(x)='+2x>0在区间(l,e)上恒成立

x

.•・/(X)在(l,e)上单调递增

又♦.•函数/(x)=Inx+V+。—1有唯一的零点在区间(1,e)内

“⑴<0,/(e)>0

lnl+1+a—1<0

即《，

lne+e~+a-1>0

解得—/<a<0

故选：A

8.给出下列命题：

①若AABC的三条边所在直线分别交平面a于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线；

②若直线是异面直线，直线b,c是异面直线，则直线凡c是异面直线；

③若三条直线a,4c两两平行且分别交直线/于A,8,C三点，则这四条直线共面；

④对于三条直线a,),c,若a_Lc,bYc,贝！Ja//Z?.

其中所有真命题的序号是（）

A.①②B.①③C.③④D.②④

［答案］B

［解析］

［分析］根据平面的基本性质，以及空间中两直线的位置关系，逐项判定，即可求解.

［详解］对于①中，若AABC的三条边所在直线分别交平面a于P，O，R三点，

可得P,Q,Rua且P,Q,Ru平面A3C，所以三点必在两平面交线上，

所以三点共线，所以①正确：

对于②中，若直线a力是异面直线，直线Ac是异面直线，则直线。可能相交，平行或异

面直线，所以②错误；

对于③中，若三条直线a,4c两两平行且分别交直线/于A,5,C三点，由公理3可得这四条

直线共面，所以③正确；

对于④中，例如：若a,Ac是过长方体一顶点的三条棱，则满足若。_1。，bVc,此时。与

。相交，所以④错误.

其中所有真命题的序号是①③.

故选：B.

9.E^|Jsin（ar-K）+\/5cosc=2，则sin（2a+工）=（）

336

2217

A.-B.—C.----D.----

3999

［答案］D

［解析］

［分析］利用两角差的正弦、余弦公式化简sin（c-0）+&cosa=g,再利用诱导公式、二倍

7T

角公式求解sin（2a+一）即可.

6

I详

解]Qsin(6z--)+V3cosof=-sinacos--coscifsin—+5/3cosa=-

33333

「sina-旦。sa+Gcosa」i.Gi/万、i

/.—sin(7+——cosa=-cos(a--)=-

22322363

JI2-1=

/.sin(2cif+—)=sin-2（Y）+：=cos2(a-^)=2cos2(a—看)-1=2x4

故选：D.

10.已知M是抛物线y2=4x上的一点，尸是抛物线的焦点，若以及为始边，FM为终

边的角NxFM=60°，则|加|等于()

4百

C.273

［答案］D

［解析］

［分析］设点M,取1(1,0),可得cos〈可0,£>=屋求出y：的值，利用抛物线

的定义可求得的值.

1详解］设点〃(/，%)，其中/=［■，则/。,0)，百万=

1

取£=。,0),则3<而乂>=J-

、22'

A-I

可得3犷-40>：+48=0,因为九一1>0,可得">4,解得公=12,则%=%=3,

44

因此，|MF|=Xo+l=4.

故选：D

11.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材

质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊

材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层).国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤

率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过

滤率x：N(0.9372,0.01392).若生产状态正常，有如下命题：

甲：P(x<0.9)<0.5；

乙：x的取值在(0.93,0.9439)内的概率与在(0.9372,0.9511)内的概率相等；

丙：P(x<0.9)=P(x>0.9744)；

丁：记J表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于〃+2。的数量，则PCNl)>0.6.

(参考数据：若x~N(〃,cr2)(cr>0),则-cr<x<〃+b)a0.6827,

P(N-2b<x<+2cr)«0.9545,-3<y<x</J+3b)«0.9973；O,9850a0,364)

其中假命题是()

A.甲B.乙C.丙D.T

［答案］B

［解析］

［分析］根据P(x<0.9)<P(x<0.9372)=0.5可判断甲；根据两个区间长度相等，对称轴落

在区间(0.93,0.9439)可判断乙；根据概率的对称性可判断丙；求出I只口罩的的过滤率大

于〃+2o■的概率，再由二项分布的概率以及对立事件的概率即可判断丁，进而可得正确答

案.

［详解］由x:N(0.9372,0.01392)知，4=0.9372,。=0.0139,

对于甲：由正态分布曲线可得：P(x<0.9)<P(x<0.9372)=0.5,故甲为真命题；

对于乙：0.9439—0.93=0.0139,0.9511-0.9372=0.0139两个区间长度均为1个,

但〃>0.93,由正态分布性质知，落在(0.93,0.9439)内的概率大于落在

(0.9372,0.9511)内的概率，故乙是假命题；

对于丙：由左==0.9372知,丙正确；

2

1-09545

对于丁：1只口罩的的过滤率大于〃+2o■的概率pa-^-=0.02275,

5(50,0),所以Pezi)=］_PC=O)=］_(l_p)5o>］_(l_0.O2)5°,

1-(1-0.02)5°=1-0.9850»1-0.364=0.636>0.6,故丁是真命题.

故选：B.

12.设函数/(X)的定义域为R,且/(2x-I)是偶函数，/(x+1)是奇函数，则下列说法一

定正确的有()

①/。-8)=/(幻；②/(1+幻=―/(1一％)；③/(_3)=0；@f(2+x)=f(2-x)

A.4个B.3个C.2个D.1个

［答案］B

［解析］

［分析］由/(x+1)是奇函数得到/(x)的图象关于点(1,0)对称，可判定②正确；由/(2x-l)

是偶函数，得到“X)的图象关于％=-1对称，可判定③正确；在/(一1一幻=/(-1+幻中，

分别将x用％—7替换，将》用％—5替换，再将x用x+4替换，可判定①正确.

［详解］由题意，函数/(x+D是奇函数，可得/(力的图象关于点(1,0)对称，

所以/(l+x)+/(l—x)=0,所以②正确；

令x=0,则/(1)=0,

又由/(2x—l)是偶函数，所以〃2x)的图象关于x=-g对称，

所以/(x)的图象关于x=-l对称，则有/(—l—x)=/(—l+x),令x=2,

则/(—3)=/(1)=0,所以③正确.

在/(-1—x)=/(—l+x)中，将x用％-7替换，则/(x—8)=/(6—x),

在/(l+x)=-/(l—x)中，将x用x-5替换,则f(6r)-4),

所以/(》-8)=-/(》一4),再将x用x+4替换，则f(x-4)=-/(x),

所以/(x-8)=/(x),所以①正确；

对于④中，由/(2-x)=—/(x),/(2+x)=—/(-幻，无法推出其一定相等.

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13.已知Q与人的夹角为§，|。|=3，，则|:+24=----------

【答案I

［解析］

［分析］首先运算出)与静勺数量积，然后对|a+2+进行平方再开方变形，即可求解.

［详解］与人的央角为§，|a|=3，

————JI3

/.a*b=|tz|||cosy=—,

|a+2Z?|=\(a)2+4a-b+4(b)2=V19-

故答案为：y/19-

14.若无穷等比数列｛a,J各项均大于1,且满足4%=144,々+g=30,则公比

q=.

［答案］2

［解析］

［分析］根据等比数列的性质可得=4%=144,结合已知条件，以及｛a,,｝的各项均大于

1,即可得的和肉的值，再由等比数列的通项公式即可求解.

［详解］因为数列｛4｝是等比数列，所以44=q%=144,

又因为4+4=3。，

a=24

解得：〈2

%=6

由无穷等比数列伍,,｝各项均大于1可知“21,

6

所以24,因为。4=4«，即24=6^,解得：q=2.

故答案为：2.

15.某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得

到的，如果被截正方体的的棱长为40cm,则石凳所对应几何体的表面积为cm2.

I答案14800+16006

［解析］

［分析］由题意，石凳的表面是由6个边长为200的正方形和8个边长为200的正三角形

组成，即得解

［详解］由题意知,表面积为6x(20立了+8xlx—x(20>/2)2=4800+160073(cm2).

22

故答案为：4800+16006

16.在气象台正西方向300km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为

40km/h,距台风中心250km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变,

大约小时后气象台所在地开始受到影响(参考数据：V2«1.4.V7«2.6).

［答案］2

［解析］

［分析］设气象台为O,台风中心为A,f小时后中心移至B处气象台所在地开始受到影响，

则ZBAO=45°,在^OAB中应用余弦定理列方程求t即可.

［详解］设气象台所在地为。，台风中心为A,约，小时后气象台所在地将受到影响，，小时

后中心移动至5处，/84。=45°,

在AQAB中，AB=40r,OA=300,OB=250,

6

由余弦定理，2502=(40。2+3002一2x300x40fxJ,整理得16/一1200，+275=0-

2

解得,15近-5百f-\5五+5不

4，24

依题意，保留；=一8］5s-2,故约2小时后影响气象台所在地.

故答案为：2.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求

作答.

(一)必考题：共60分.

17.设数歹U仅“｝的前〃项和为S,,,4+］=—S,,S,用(〃eN*),4=1.

(1)求证：数列是等差数列；

⑵设"=不，求数列｛〃｝的前应项和什.

［答案］⑴证明见解析；⑵7；=2+(〃-1)・2h.

［解析］

11,

［分析］(1)推导出三一—-=1,利用等差数列的定义可证得结论成立；

七+1

(2)求得a=〃•2",利用错位相减法可求得T„.

S_S

［详解］⑴E=1H0,则S,产0,所以-1=/L，

11,f11

有三一—-=1'所以数列不是以1为首项，1为公差的等差数列.

»"+13”［S,,,

1,

⑵由⑴知不=〃,故勿=72",T=l-2+2-22+--+n-2n,①

3”n

①x2,得27；=1-22+…+(n—②

①一②得，-7；=2+2?+2,+L+2"-〃.2'中=\—小2'用=—2+(1—”>2日，

所以北=2+(〃一1卜2"+1

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，APAD是正三角形，侧面PAD±

底面ABC。，M是PD的中点.

⑴求证：4W_L平面PC。；

(2)求二面角4-P8—C的正弦值.

［答案］(1)证明见解析；(2)这.

7

［解析］

［分析］(1)由面面垂直的性质定理可得CD_L平面240,进而可得CDJ_AM,由等边三角

形的性质可得AMLPD，再由线面垂直的判定定理即可求证；

(2)如图建立空间直角坐标系，求出平面Q4B和平面PCB的法向量，由空间向量夹角公式

即可得二面角平面角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可得正弦值.

［详解］(1)因为底面A8CD为正方形，所以QDLAD,

因为平面平面ABC。，平面PADCI平面46CD=A。，CDu面A3CD,

所以CD_L平面PAD,

因为AMu面PAD，所以CZ)_LAA/,

又因为△小£>是正三角形，M是PO的中点，

所以AAf_LP」D，所以AA7J_平面PCD.

因为P£)cCD=£),所以AM_L平面PCD；

⑵过A在平面PAD内作4）的垂线/,知/与AD,AB两两垂直，

以A为坐标原点，AB，AD,/分别为x，»z轴，建立空间直角坐标系，设A8=a,

有3(a,0,0),P0,卞詈，C(a,a,o),AB=(a,0,0),AP=。或号

设平面A48的法向量为〃=（石,凹，4）,

叫=0

n-AB=0

则《一，即《

ay/3a八，令ZI=1,yt——V3,芭=0,

n-AP=0—v,+-----z,=0

12।21

所以;?=((),一6,1);

设平面PCB的法向量为m=(x2,y2,z2),CB=(0,-«,0),CP=

-ay=0

m-CB=02

则《—，即《a6a，、

mCP=0一3-5y2+^-22=o

所以%=0,令Z2=2,可得%=百，

所以而=（百,0,2）；

设二面角A-P6—C的平面角为a,

m・n21

COS

|/n|-|n|2x^7币'

yirr

所以|cosa|=cos(m,n=~^,所以sina=Jl-cos?a

77

所以二面角A—依一。的正弦值为32

7

19.水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛

场馆.现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3

人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.

(1)若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的

概率；

(2)若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数

和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数.设从五棵松抽出的人数为

求随机变量J的概率分布列及数学期望E©.

19

［答案］⑴——；

28

(2)J的分布列如下：

4123

331

P

105To

“9

£(0=-.

［解析］

［分析］⑴、

所有基本事件种,2人来自不同场馆的概率等于1减去2人来自同一场馆的概率，2人来

自同一场馆即分为2人都来自国家体育馆或2人都来自五棵松体育馆；

(2)、计算满足情况的所有基本情况数，J的所有可能取值为1,2,3.分别计算4=1,。=2,

。=3对应的概率，然后列出分布列，最后计算数学期望E©).

［详解］(1)、设A="从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆，所抽调2人来自不同场

馆”，在8名大学生一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，所有基本事件C；种情况.

若2人都来自国家体育馆有C；种情况，若2人都来自五棵松体育馆有C：种情况，所以抽调

(2)由题意自的所有可能取值为1,2,3.及来自五棵松体育馆的人数至少是1人，则满足题设

条件的情况共有：+C］C；+C>40种.

当J=1时，只有一种情况水立方、国家体育馆、五棵松体育馆各抽1人,共C：C；C：=12种,

一12一3

此=1)

404010

当J=2时，水立方1人、五棵松体育馆2人或国家体育馆各1人，五棵松体育馆2人，共

C\C；+=24种，PC=2)=C：C；+C；C：=a=3,

40405

当J=3EI寸，3人都来自于五棵松体育馆，共C；=4种.尸©=3)=4=1=’

404010

4的分布列如下:

123

331

P

105To

“9

E4)=1x0.34-2x0.6+3x0.1=1.8=-.

20.设函数f(x)=x2-(a+2)x+aInx(aeR).

(1)若x=3是"x)的极值点，求/(x)的单调区间；

(2)若/(x)Nl恒成立，求。的取值范围.

［答案］(1)单调递增区间是(0,1),(3,+“)，单调递减区间是(1,3)；(2)a<-2.

［解析］

［分析］(1)先求导，令八3)=0,检验即得解；代入a=6,分别令人划>0,/'(x)<0得

到单增区间和单减区间；

⑵转化/(X)>1为/(x)min>1,分awo,a>0两种情况讨论即可

［详解］⑴/'(x)=2x-(a+2)+0=(2"-")d)(x>0),

XX

r(3)=4-y=0,a=6,经检验符合条件

/加力-3)(1),

X

令/'(x)>0,有0<x<l或x>3,令/'(x)<0，有1cx<3,

所以/(X)的单调递增区间是(0,1),(3,+8),单调递减区间是(1,3).

⑵由题意/(X)>1=/(无濡21

当aVO时，令/'(x)>0,有x>l,令/'(x)<0,有0<x<l,

所以/(X)在(0,1)上单调递减，在(L”)上单调递增，

所以=AD=-aT

即aW—2

当〃>0时，/(1)=一。一1<0不成立.

综上，a<-2.

X221

21.已知椭圆。：\+=v=1(〃〉〃>())的离心率为彳，左、右焦点分别为耳，与，。为

a"b~2

LlUUlUUUlULMUUU1UUU

坐标原点，点P在椭圆C上，且满足|P/"=4，\PF.\\PF2\-2PFlPF2=0.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点(2,0)且不与x轴重合的直线/与楠圆C交于M,N两点，在x轴上是否存在定

点。，使得NMQO=NNQO.若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

22

［答案］(1)二+上=1；(2)存在，Q(8,0).

1612

［解析］

uumuuu

［分析］(1)由题设条件可得地/片2鸟=缶建^=；,即4艺=60。，结合余弦定理以

及|P玛|=2。-4,工=1,可得解a,b,c；

a2

(2)转化NMQO=ZNQO为+心。=0,用点坐标表示斜率可得

,,y,y2/y,y+(2-wz)(v.+y)八

7?20

kMQ+kNQ=+—=~——、,、…=，将直线和椭圆联立，结合韦

Xj-mx2-m(tyj-m)(ty2-m)

达定理即得解.

uumuuu

［详解］⑴由cos/^PF,=4勺偏知/4=60°,

-\PFl\\PF2\2

△中，|Pf；|=2a-4,£=L,

a2

4/=16+(2。-4>一4(2"4),

解得a=4,c=2,〃=12,

22

所以椭圆C:土+匕=1；

1612

(2)假设存在点Q(，〃,0)满足条件，设直线/方程为x=ty+2,

x=ty+2

设M(x1,%),N(X2，%),f丫2,

—+—=1

11612

消去x有(3/+4)y2+i2)-36=0,

-nt-36

/.x+y,=——,y%=—

123/+4123r+4