天津市七区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析）

高二数学第Ⅰ卷（36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算求解.【详解】，，故选：A2.直线的倾斜角为（）A.45° B.90° C.135° D.150°【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义即可得出倾斜角.【详解】直线化为，则斜率，又倾斜角，所以倾斜角为.故选：C.3.抛物线的准线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.【详解】，抛物线的准线方程为，即，故选A.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.4.在等差数列中,,,则公差（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果.【详解】设公差为,则,解得.故选:C.5.若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆确定双曲线焦点，再由离心率求出，即可求出双曲线渐近线方程.【详解】由椭圆知，其焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为，即，又，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选：D6.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，根据公式点到直线的距离为计算即可解决.【详解】由题知，棱长为1的正方体中，为线段的中点，所以建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，所以,所以,所以点到直线的距离为,故选：B7.数列中，，且，则A.1024 B.1023 C.510 D.511【答案】D【解析】【分析】由题意结合递推关系求解的值即可.【详解】由题意可得：，则：.本题选择D选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8.已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（）A. B. C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离求得，由即可解得的值.【详解】，化简，可得圆心，半径为，圆心到直线的距离，，即，或（舍去）故选：D.9.已知F是椭圆的左焦点，点，若P是椭圆上任意一点，则的最大值为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设椭圆的右焦点为，，计算得到答案.【详解】设椭圆的右焦点为，，当三点共线，且在之间时等号成立.故选：A第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，每个空2分．10.已知空间向量，，且与是共线向量，则实数x的值为_______．【答案】【解析】【分析】根据向量共线得到，列出方程组，求出答案.【详解】设，则，解得：.故答案为：-611.已知的三个顶点，，，则边上的高所在直线方程为_______．【答案】【解析】【分析】求出直线的斜率，进而由垂直关系得到所求直线的斜率，由直线方程点斜式得到答案.【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，则边上的高所在直线方程为，整理得.故答案为：12.在平行六面体中，，，，，则的长为_______．【答案】【解析】【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，得到的长.【详解】由题意得：，故，故.故答案为：13.已知等比数列满足，，则_______．【答案】【解析】【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】，，解得，，故答案为：14.过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为_______．【答案】##【解析】【分析】设双曲线的左右焦点分别为，根据题意可得，从而建立方程，即可求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线的左右焦点分别为，过双曲线的右焦点做x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则，又因为以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，所以，即，所以，则，解得：或（舍去），故答案为：.15.已知实数x，y满足，则的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】设，转化为直线与圆有公共点，只需联立方程有解，利用判别式即可求出.【详解】令，即，联立，消元得，由题意，，解得，故的最小值为.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知等比数列的前n项和为，，，等差数列满足，是和的等差中项，求和的通项公式．【答案】，.【解析】【分析】根据等差数列及等比数列的通项公式列方程求解即可.【详解】设的公比为，显然.由题意解得所以的通项公式为.设数列的公差为，则所以，所以，即，解得，.17.已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的方程；（2）已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出圆标准方程，将点的坐标代入圆的方程，结婚圆心在直线上，列出方程组，解之即可求解；（2）设点的坐标是，点的坐标是，利用中点坐标公式和点在圆上运动即可求解.【小问1详解】设圆的方程为，由题意得，解得所以圆的方程为.【小问2详解】设点的坐标是，点的坐标是，由于点的坐标为，点是线段的中点，所以，于是因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即所以，整理得所以，线段中点的轨迹方程.18.如图，在四棱锥中，底面，，，，E为中点，作交于点F．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明线面垂直；（2）把二面角计算问题转化为法向量夹角问题.【小问1详解】证明：依题意得，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.，因为点为中点，所以，所以，，又，而，所以.由已知，且，在平面内,所以平面.【小问2详解】由（1）知为平面的一个法向量，又，,设平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角.，所以，所以取，则.所以平面与平面的夹角的余弦值为.19.已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点的坐标代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l的方程．【小问1详解】由椭圆过点可知，，又得，即，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，，设直线的方程为，联立，解得，所以，由得，即，所以，所以，，所以，化简得，所以，所以直线的方程20.已知数列的前n项和为，且．（1）求证：是等比数列；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和.