河北省邢台市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷（含解析）

绝密★启用前2022-2023学年河北省邢台市高二（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知双曲线C：y26-x2b2=1(A.3 B.233 C.2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若3SA.3 B.1 C.-1 D.3.平行六面体ABCD-A1B1CA.1 B.76 C.56 4.某地全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的焦距为(

)A.222

B.822

C.5.在长方体ABCD-A1B1C1D1A.3 B.13 C.4 D.96.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)、(2)、(3)、(4)为四个简单的图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律(小正方形的摆放规律相同)摆放，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(10)=(

)A.192 B.181 C.175 D.2037.已知点P(0,3)，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，射线FP与抛物线C相交于点M，与其准线交于点NA.1 B.2 C.32 D.8.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，数列1，3，6，10被称为二阶等差数列.已知数列{an}，a1=1，a2A.数列{an}为二阶等差数列

B.an=n2

C.数列{an+1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知⊙O的圆心在直线y=x+2上，且⊙O过点A(1,0)，B(2,1)，直线A.⊙O的方程为x2+(y-2)2=5

B.圆心O到直线l的距离的最大值为5

C.若直线l与⊙O相切，则a=10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，∠ABC=π2，AB=A.直线CM与AD所成角的余弦值为16 B.|BM|=23

C.BM⊥PC 11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过F作x轴的垂线交椭圆C于点P(P在第一象限)，直线OP(O是坐标原点)与椭圆C另交于点A，直线AF与椭圆C另交于点B，若PA⊥A.kPA=2kAB B.kPB⋅12.若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数φ(n)以其首名研究者欧拉命名，被称为欧拉函数，例如φ(3)=2，A.φ(5)，φ(9)，φ(15)成等差数列

B.数列{φ(3n)}(n∈N*)是等比数列

C.数列{φ(2n)ϕ(3n)}第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1000+a102414.已知平面α的一个法向量为n=(2,-3,-1)，点M(1,-3,-1)在平面α内，则点15.在数列{an}中，a1=1，an+1-an=9-16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(2,12)，B(2,2)，P是满足λ=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为

；若点Q为抛物线C：y2四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知抛物线C：y=x2，直线l与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB，O是坐标原点．

(1)证明：直线AB过定点；

18.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1=1219.(本小题12.0分)

已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=3，Sn，Sn+1的等差中项为(n+1)an+1．

(1)求{a20.(本小题12.0分)

如图所示，在多面体A1B1D1-DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E21.(本小题12.0分)

已知递增数列{an}满足a1=1，an+1an=an-2n-1an+1-2n-1．

(1)求{22.(本小题12.0分)

已知A1(-1,0)，A2(1,0)，动点P(x,y)满足直线PA1与PA2的斜率之积为3．

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过原点O作直线l，直线l被曲线C截得的弦长为|AB|，将直线l向左、右分别平移2个单位长度得到直线l答案和解析1.【答案】B

【解析】解：设双曲线C的一个焦点为(0,c)，

∵双曲线C的渐近线为6x±by=0，

∴焦点到渐近线的距离为bc6+b2=2，

∵c=6+b2，∴b=2.【答案】D

【解析】解：因为3Sn=3n+1+λ，

所以Sn=3n+λ3，

当q=1时，显然不符合题意，

当q≠1时，Sn=a1(1-qn3.【答案】B

【解析】解：根据题意，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，有AC1=AB+BC+CC1，

又由AC1=xAB+2yBC-4.【答案】C

【解析】解：由图可知长轴长为2a=26，短轴长为2b=18，

所以a=13，b=9，故焦距为2a2-b2=45.【答案】D

【解析】解：根据题意可得BD1⋅AD=(BA+BC+B6.【答案】B

【解析】观察可知，f(1)=1=2×1×0+1，f(2)=1+3+1=2×2×1+1，f(3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1，f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×7.【答案】D

【解析】解：由抛物线可得焦点F(p2,0)，

如图，过M作C的准线的垂线，垂足为K，

则|MK|=|MF|，因为∵|FM||MN|=|MK||MN|=55，

∴tan∠PFO=tan∠NMK=|NK|8.【答案】C

【解析】解：因为an+1+an-1=2(an+1)(n≥2)，

所以(an+1-an)-(an-an-1)=2(n≥2)，

所以{an+1-an}是首项为a2-a1=3，公差为2的等差数列，

所以an+1-an=2n+1，所以数列{an}为二阶等差数列，故A正确；

因为an=(an-an-9.【答案】AC

【解析】解：因为AB的中点坐标为(32,12)，直线AB的斜率kAB=1-02-1=1，

所以线段AB的垂直平分线的方程为y-12=-(x-32)，即x+y-2=0．

联立方程组x+y-2=0y=x+2，解得x=0y=2即圆心O(0,2)，

半径r=|OA|=(1-0)2+(0-2)2=5，

所以⊙O的方程为x2+(y-2)2=5，故A正确；

因为直线l过定点P(3,1)，当直线l⊥OP时，圆心O到直线l的距离最大，

且最大值为|OP|=10，故B错误；

圆心O(0,2)到直线l的距离d=|-1-3a|1+a10.【答案】ABD【解析】解：过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE=2，

分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建系如图，则根据题意可得：

B(0,2,0)，C(22,2,0)，D(22,-2,0)，P(0,0,2)，M(2,-1,1)，

∴BM=(2,-3,1)，CM=(-2,-3,1)，PC=(22,2,-2)，BC=(22,0,0)，BP=(0,-2,2)，AD=(22,-2,0)，

∴|cos<CM,AD>|=|CM⋅AD11.【答案】ABD

【解析】解：由题意F(c,0)，过F作x轴的垂线交椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)于点P(P在第一象限)，

直线OP(O是坐标原点)与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)另交于点A，

可得P(c,b2a)，A(-c,-b2a)，设B(x0,y0)

因为PA⊥PB，所以k12.【答案】ABD

【解析】解：因为φ(5)=4，φ(9)=6，φ(15)=8，则2×6=8+4，

所以φ(5)=4，φ(9)=6，φ(15)=8成等差数列，所以A正确；

因为2为质数，在不超过2n的正整数中，

所有偶数的个数为2n-1，

所以φ(2n)=2n-2n-1=2n-1，

因为3为质数，在不超过3n的正整数中，

所有能被3整除的正整数的个数为3n-1，

所以φ(3n)=3n-3n-1=2×3n-1(n∈N*)，

则{φ(3n)}(n∈N*13.【答案】4046

【解析】解：a1000+a1024=4，

则S2023=2023(a1+a14.【答案】5【解析】解：根据题意可知MP=(1,1,4)，又平面α的一个法向量为n=(2,-3,-1)，

∴点P到平面α的距离d=|MP⋅15.【答案】1(或8或13或16，只需写出一个答案即可)

【解析】解：∵an+1-an=9-2n，

∴当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+⋅⋅⋅+(a2-a1)+a116.【答案】(x-2【解析】解：设P(x,y)，则|PA||PB|=12，

即(x-2)2+(y-12)2(x-2)2+(y-2)2=14，

化简得(x-2)2+y2=1；

抛物线C：y2=4x的准线为x=-1，因为|QF|等于Q到抛物线准线的距离，

所以|PQ|+|QF|的最小值转化为点P到准线的距离，

17.【答案】解：(1)证明：易知直线AB的斜率存在且不过原点，

设直线AB的方程为y=kx+m，m≠0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程组y=kx+m,y=x2,，可得x2-kx-m=0，

∴x1+x2=k，x1x2=-m，∵【解析】(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程y=kx+18.【答案】证明：(1)以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系：

设BC=1，则A1(2,0,0)，B1(0,1,0)，A(2,0,1)，B(0,1,1)，

因为AB1=(-2,1,-1)，BC1=(0,-1,-1)，

所以AB1⋅BC1=(-2)×0+1×(-1)+(-1)×(-1)=0，

所以BC1⊥AB1；【解析】(1)建立空间直角坐标系，由AB1⋅BC1=0可证明BC1⊥AB1；

(2)先求平面A19.【答案】解：(1)因为Sn，Sn+1的等差中项为(n+1)an+1，

所以Sn+Sn+1=2(n+1)an+1．

当n=1时，S1+S2=2(1+1)a2，所以a2=2，

当n≥2时，Sn-1+Sn=2nan，

所以a【解析】(1)根据数列的前n项和作差，即可求解可；

(2)由题知bn=1220.【答案】(Ⅰ)证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，

∴四边形A1B1CD为平行四边形，

∴B1C//A1D，

又∵B1C⊄平面A1EFD，A1D⊂平面A1EFD，

∴B1C//平面A1EFD，

又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF，B1C⊂平面B1CD1，

∴EF//B1C；

(Ⅱ)解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz如图，设AB=AD=A【解析】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．

(Ⅰ)通过四边形A1B1CD为平行四边形，可得B1C//A1D，利用线面平行的性质定理即得结论；

(Ⅱ)以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y21.【答案】解：(1)因为an+1an=an-2n-1an+1-2n-1，

所以an+1(an+1-2n-1)=an(an-2n-1)，

所以an+12-(2n+1)an+1=an2-(2n+1)an,an+12-an2=(2n+1)(an+1-an)，

因为an+1≠an，所以an+1+an=2n+1，

因为an+1+an