2023年考研数学三真题及完整解析

2023年探讨生入学考试数学三试题

一、选择题：1〜10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所

选项前的字母填在题后的括号内.

(1)当X-0+时，与«等价的无穷小量是

(A)1-e^(B)In(C)J1+五-1(D)1-cosVx[]

1-Vx

(2)设函数/(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：

(A)若lim/^存在，则/(0)=0(B)若lim存在,则/(0)=0.

XTOxx->0x

(B)若1加工^存在，贝i]尸(0)=0(D)若lim/(功一八一为存在,则/(())=0.

.v->0%x->0%

[]

(3)如图，连续函数y=/(x)在区间[一3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间

[—2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设尸(x)=J"⑺出，则下列结论正确的是：

35

(C)F(3)=-F(2)(D)F(3)=——F(-2)1

44

(4)设函数/(x,y)连续，则二次积分口dLrf1/(x,y)dy等于

J—Jsinx

2

(A)y(x,y)dx<B)fd)，「/(x,y)dx

JOJ%+arcsmyJOJ^--arcsiny

W^+arcsinvrlf^-arcsinv

三/(x,y)dx(D)£dyj£f(x,y)dx

22

(5)设某商品的需求函数为Q=160-2P,其中Q,尸分别表示须要量和价格，假如该商品需求弹性的肯定值

等于1,则商品的价格是

(A)10.(B)20(C)30.(D)40.1

(6)曲线y=：+ln(l+e*)的渐近线的条数为

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.]

(7)设向量组%,。2，。3线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则

(A)%一四(B)%+%

(C)%一2a2，%—2%,%-2%•(D)%+2a2，。2+2。3，二3+2%•[J

'2-1-np00、

(8)设矩阵A=-12-1,B=010,则A与B

2)10

「1-10°,

(A)合同且相像(B)合同，但不相像.(C)不合同，但相像.(D)既不合同也不相像1

(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0<p<l),则此人第4次射击恰好第2次

击中目标的概率为

(A)3p(l-p)2.(B)6/?(1-p)2.

(C)3〃2(1一〃)2.(D)6P2(1-p)2LJ

(io)设随机变量(x,y)听从二维正态分布，且x与丫不相关，/x(x),人⑶)分别表示x,y的概率密度，则

在y=y的条件下，x的条件概率密度/x»(xly)为

(A)AU).(B)fY(y).(C)fxMfy(y).(D)L］

A(y)

二、填空题：11〜16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

++1

(11)lim-----------(sinx+cosx)=.

f-2x+x3

(12)设函数y=—,则y(">(0)=.

2x+3

(13)设/(〃#)是二元可微函数，z=/(2,2］，则x电—旷电=_________.

y)5xdy

(14)微分方程型=2—牙？］满意让T=1的特解为了=________.

drx2yxJ

'0100、

00103

(15)设矩阵A=000］，则A?的秩为.

、0000,

(16)在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的肯定值小于g的概率为.

三、解答题：17〜24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本题满分10分)

设函数y=y(x)由方程yiny—x+y=0确定，试推断曲线y=y(x)在点(1,1)旁边的凹凸性.

(18)(本题满分11分)

/，kl+|y|<l

设二元函数/Uy)=__....-计算二重积分j]7(x,)，)db，其中

I+.25l<lx|+lyl«2"

£>={(x,y)||x|+|y区2}.

(19)(本题满分11分)

设函数f(x),g(x)在[。,句上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，

f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在六(a,。),使得「C)=g"G).

(20)(本题满分10分)

将函数/(x)=———绽开成X—1的基级数，并指出其收敛区间.

厂-3x-4

(21)(本题满分11分)

X1+%+%3=0

设线性方程组(%+2/+。彳3=0与方程西+2/+七=。—1有公共解，求a的值及全部公共解.

%+4X2+crx3=0

(22)(本题满分11分)

设三阶对称矩阵A的特征向量值4=1,%=2,4=一2,%=(1,-1,1)T是4的属于4的一个特征向量,

记8=45—4A?+E,其中E为3阶单位矩阵.

(I)验证必是矩阵8的特征向量，并求5的全部特征值与特征向量;

(II)求矩阵3.

(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(x,y)的概率密度为

2—x—y,0<x<l,0<y<l

以X,y)=<

0,其他

(I)求P{X>2F}；

(II)求2=乂+丫的概率密度.

2023答案

L...【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.

【详解】当X-0+时，l-e'"-\fx,\jl+yfx—I--yfx,l~COS\[x--(6)=~X,

故用解除法可得正确选项为(B).

E1+X1111

事实上，limlimln(l+x)*(l-&)1+x匕-2G=1,

=Rm

10+Jx3*y/xX*]

2>/x

或In।：=ln(l+x)-ln(l-五)=x+o(x)+G+。(«)=Jx+o(Jx')Vx.

l-y/X

所以应选(B)

【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.

2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法

是用赋值法求解，即取符合题设条件的特别函数/(幻去进行推断，然后选择正确选项.

【详解】取则但/(x)在x=0不行导，故选(D).

5x

事实上，

在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0,所以分子的极限也必需为0,则可推得/(0)=0.

在(C)中，lim2^存在，则/(0)=0,八0)=lim八幻—"°)=lim^^=0,所以(C)项正确,

…。*~0x-0—0x

故选(D)

【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往

能收到奇效.

3.……【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.

【详解】利用定积分的几何意义，可得

、2

=-7T,/(2)=，乃22=，万,

2227822

/(-2)=J。/(x)dx=一［,/(x)dx=£/(x)dx=；/=；乃.

33

所以F(3)=-F(2)=-F(-2),故选(C).

44

【评注】本题属基本题型.本题利用定积分的几何意义比较简便.

4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先依据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.

JT

【详解】由题设可知，—<%<^,sinx<<1,则0<y«l,%-arcsiny«x〈；T,

故应选(B).

【评注】本题为基础题型.画图更易看出.

5….…【分析】本题考查需求弹性的概念.

【详解】选(D).

商品需求弹性的肯定值等于丝•£=-2P=inp=40,

dPQ160-2P

故选(D).

【评注】需驾驭微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.

6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后推断.

g+ln(l+e，)

【详解】limy=lim=+8,limy=lim—+In(1+ev=0,

XT+OOXT+OCXT-00Xf-ooX\

所以y=0是曲线的水平渐近线;

limy=lim-+ln(l+ev)Loo,所以x=0是曲线的垂直渐近线；

.v->0xT°|_X'\

y-+ln(l+e')ln(l+e')4/

lim2=lim-----------=0+lim------L=lim=1,

XT+X%*—>+00XX~>+00%X—>-H»!

b=lim\y-x]=lim—+ln(l+eA)-x=0,所以y=x是曲线的斜渐近线.

X->+XL」X->+XX\/

故选(D).

【评注】本题为基本题型，应娴熟驾驭曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.留意当曲线存在水平

渐近线时，斜渐近线不存在.本题要留意e*当时的极限不同.

7......【分析】本题考查由线性无关的向量组％,。2，%构造的另一向量组四，四，四的线性相关性.一般令

（凡氏，四）=（«，%，/）A，若网=0,则用血，自线性相关;若|A|HO,则凡尸2,四线性无关•但

考虑到本题备选项的特征，可通过简洁的线性运算得到正确选项.

［详解］由-%）+（。2_。3）+（q_。1）=0可知应选（A）.

或者因为

’10-1、10-1

(a,-a2,a2-a3,a3-a1)=(al,a2,a3)-110而-110=0,

、o-i1,0-11

所以<Z]—a?,—[3,03—4线性相关，故选(A).

【评注】本题也可用赋值法求解，如取％=（1,0,0）「,%=（0,1，0）「，々3=（0,0,1）「，以此求出（A）,（B）,（C）,

（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可马上得到正确选项.

8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相像关系及其之间的联系，只要求得A的特征值，并考虑到实对称矩

阵A必可经正交变换使之相像于对角阵，便可得到答案.

A-211

【详解】由|/IE—川=12-21="；1—3＞可得％=4=3,4=0,

112-2

所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0.

所以A与8不相像，但是A与8的秩均为2,且正惯性指数都为2,所以A与B合同，故选（B）.

【评注】若矩阵A与8相像，则A与8具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.

所以通过计算A与8的特征值可马上解除（A）（C）.

9....【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率.关键要搞清所求事务中的胜利次数.

【详解】p=｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝

=GPQ-P¥P=3P”P¥，

故选(C).

【评注】本题属基本题型.

io.……【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用x与y的独立性和公式

人卜(刈力=器?可求解.

【详解】因为(x,y)听从二维正态分布，且x与y不相关，所以x与丫独立，所以/(x,y)=/x(x)4(y)-

故人(/))="X)')=&(x)4()')()

=’X,应选(A).

1

fY(y)fY(y)

【评注】若(x,y)听从二维正态分布，则x与丫不相关与x与丫独立是等价的.

11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.

x3X21

r3r2l^7+至+至0

【详解】因为lim^+^―+!-=lim^~2,2=-=0,|sinx+cosx|<2,

.rf2'+T钙.X1

1+——

2X

..,,x3+x2+1,.、-

所rr以hm-------(sinx+cosx)=0.

22V+x

【评注】无穷小的相关性质：

(1)有限个无穷小的代数和为无穷小；

(2)有限个无穷小的乘积为无穷小；

(3)无穷小与有界变量的乘积为无穷小.

12,.....【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林绽开式.

1,2(一1)"2""

【详解】则严⑴=故严(o)=(二;浮

9y—T

2x+3/(2x+3『(2x+3严

【评注】本题为基础题型.

13….…【分析】本题为二元复合函数求偏导，干脆利用公式即可.

【详解】利用求导公式可得

dzy.I1

「―一/+一力,

oxxy

所以了@-丁生

=—2

fixdy%y)

【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，留意计算的正确性.

14..…【分析】本题为齐次方程的求解，可令“=2.

X

【详解】令〃=2,则原方程变为

X

du1dwdx

u+x—=u—u3—-=----.

dr2ii2x

两边积分得

11,1,「

----r=——Inx——InC，

2/22

141工

即x=-e"'=>x=—er,将1代入左式得C=e,

CC

X

故满意条件的方程的特解为ex=e厂，即yx>e".

Jlnx+1

【评注】本题为基础题型.

15............【分析】先将求出，然后利用定义推断其秩.

’0100、'0001、

00100000

【详解】A==4=nr(A)=1

00010000

、0000,、0000,

【评注】本题为基础题型.

16............【分析】依据题意可得两个随机变量听从区间（0,1）上的匀称分布，利用几何概型计算较为

简便.

【详解】利用几何概型计算.图如下：

所求概率=&=—=3

SD14

【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.

17....【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.

【详解】方程ylny-x+y=O两边对x求导得

y

y'lny+y---1+y'=0,

y

即y'(2+lny)=l,则y'⑴=；.

上式两边再对x求导得

/(2+lny)+-0

y

则y"⑴=—L所以曲线丁=共幻在点(1,1)旁边是凸的.

8

【评注】本题为基础题型.

18….…【分析】由于积分区域关于轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.

【详解】因为被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于轴均对称，所以

JJf(x,y)dcr="f(x,y)d(y,其中R为。在第一象限内的部分.

DD]

而JJ/(X,)，)db=JJVdb+fl72,da

D)x+y<l.x>O,y^O讼0.)之0yjX+y

1

一十V21n(l+V2).

12

所以jjf(x,j)d(T=-+472In(1+V2).

D3

【评注】被积函数包含Jx2+y2时,可考虑用极坐标，解答如下:

Uf(x,y)da=JJ

]^x+y<2l，t+阵2

x>0,y>0.r>0.>>0

2

=口".sin6+cos8d/-

J0J

sin6+cos。

V21n(l+V2).

19.……【分析】由所证结论/e)=g"C)可联想到构造协助函数尸(x)=/(x)—g(x),然后依据题设条件利

用罗尔定理证明.

【详解】令E(x)=/(x)—g(x),则尸(x)在［a,句上连续，在(。力)内具有二阶导数且尸(。)=/(。)=0.

(1)若/(x),g(x)在(a,Z?)内同一点c取得最大值，则/(c)=g(c)=jF(c)=O,

于是由罗尔定理可得，存在《e(a,c)，2e(c,»,使得

F，(G=F&)=0.

再利用罗尔定理，可得存在欠仁,4),使得尸c)=o,即/e)=g"©.

(2)若/(x),g(x)在(a,0内不同点q,，2取得最大值，则/(C1)=gG)=V，于是

)=f(c,)-g(c,)>0,F(C2)=f(c2)-g(c2)<0,

于是由零值定理可得，存在。3€(。，。2)，使得~(，3)=0

于是由罗尔定理可得，存在④€(。,。3),。2€(。3，份，使得

Fg)=F6)=0.

再利用罗尔定理，可得，存在火©4),使得一〃《)=0,即/C)=g"C).

【评注】对命题为f")c)=o的证明，一般利用以下两种方法：

方法一：验证4为尸"T(X)的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；

方法二：验证F"T(X)在包含X=J于其内的区间上满意罗尔定理条件.

20.…【分析】本题考查函数的幕级数绽开，利用间接法.

[详解]=——=------------=--------—

x—3x—4(jt—4)(x+1)5(x—4x+1

1iiy/x-i丫一

7^43\x-l~一？3…

3

1_]_]」q(x-lY=§(-l)nU-l)n

Q=产广冯一川=42^

2

所以M)=—£联+落华工目一击+空卜f,

n=0。n=0z〃句。ZJ

收敛区间为一l<x<3.

【评注】请记住常见函数的幕级数绽开.

21..…【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a.

【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组

x,+x2+x3=0

x1+2X2+ar3=0

xy+4x,+cCx3-0

X]+1x1+刍-a-\

其系数矩阵

’1110fl110、

-12a001a-\0

A=

14a2003cr-\0

J21a—1,、010a—1,

q110、qi10、

01a-\00ia-\0

->

00a2-3a+2000\-aa-\

k001一。a-1.0（。一1）（。一2）0>

明显，当。声1,。工2时无公共解.

当a=l时，可求得公共解为4=%（1,0,-1）「«为随意常数;

当a=2B寸，可求得公共解为^=（0,1,-1）,.

【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.

22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.

53

【详解】（I）Bat-（A-4A+E^ax--4/^at+a}-+1）^=-2a],

则a,是矩阵B的属于一2的特征向量.

同理可得

8%=（卷-4若+1）%=%，8a§=（&-4右+1）%=%•

所以8的全部特征值为2,1,1

设8的属于1的特征向量为a2=（x”X2，W）T，明显6为对称矩阵，所以依据不同特征值所对应的

特征向量正交，可得

aja2=0.

即斗-巧+£=0,解方程组可得3的属于1的特征向量

TT

%=^（l,0,-l）+Zr2（0,l,0）,其中匕,总为不全为零的随意常数.

由前可知3的属于一2的特征向量为其中与不为零.

01](I00、

(II)令尸=01-1,由(I)可得P“BP=010,则

<-10d1。0一2,

’01-P

101.

C10,

【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条

件转化为Ax=%x的形式.请记住以下结论：

（1）设4是方阵A的特征值，则耕,必+鲂,42,/（4）,4，4*分别有特征值

%九。/1+4