工程经济学课件

资金时间价值9:01:25上午

案例：某公司面临两个投资方案A、B，寿命均为4年，初始投资均为10000元。实现利润的总额也相同，但每年的金额不同，如下表所示：

如果其它条件相同，你认为应该选用哪个方案？年末A方案B方案0-10000-100001+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+7000如果其它条件相同，你认为C、D哪个方案较好？0154326年未3000600030003000（+）（-）0154326年未3000300030003000（+）（-）3000第一节

现金流量现金流量是投资分析中非常重要的一个数据，是我们进行动态计算的基础。一、现金流量1．现金流量：是将一个投资项目视为一个独立系统的条件下，项目系统中现金流入和现金流出的量。现金流入（流入为正）：指项目所有的资金流入，是资金进入项目系统内。现金流出（流出为负）：指项目所有的资金支出，是资金流出项目系统。2．净现金流量：指项目现金流入量与流出量相抵后的差额。项目二、现金流量的计算1．现金流量计算的前提（1）按项目确定资金的流入与流出。（2）按年计算现金的流入与流出量。（3）根据各年的现金流量算出寿命期内的现金流量2．基本计算格式销售收入－年经营成本付税前现金流（毛利）－折旧费－银行利息付税前利润（应付税现金流）－税金付税后利润＋折旧费企业年净利＋银行利息付税后现金流（每年）三、现金流量图1．含义：以数轴的形式简洁地表示各年现金流量的大小和方向的图示。2．图示（1）现金流量图0123n时间100200（2）净现金流量图0123n时间3．现金流量图的规定（1）横轴为时间坐标，纵轴为现金流量坐标。（2）利息期或年标记是指时距，而不是时间标度上的各时点。上一期的期末，即为本期的期初。原点一般选择在建设期开始的时间。（3）箭头表示现金流量方向，指向时间轴为投入，离开时间轴为产出。（4）现金流量图仅以项目为一个独立的系统，标示其现金流量。（5）为了统一，投资发生在期初，收入和费用发生在期末（期末惯例法）。例（学生练习）某项目一次投资100万元，第一年收入100万，第二年收入150万元，第三年收入200万元。每年的经营成本为50万元。试画出现金流量图和净现金流量图。0123现金流量图0123净现金流量图四．现金流量与会计利润的关系1．应付及应收款的处理：全部现金流的分析建立在货币具有资金时间价值的基础上，故计算现金流量时均按实际收到和付出的现金数计算。会计则要计入帐中，而现金流量则不计，因其未发生。2．计算现金流量是考虑现金流进还是流出，不太重视费用的类别。如购设备款，会计不能计入费用，而流量可计为流出。3．折旧费的处理：在计算会计利润时，应从收入中扣除；在计算现金流量时，由于折旧费已通过销售收入收回了现金，故应计为现金流入项目中。4．现金流量并非指流动资金。5．现金流中表示资金在本系统与系统外发生的输入和输出，并不包括资金在本系统内部的流通。第二节资金时间价值“资金”是指款项、金额、现金等，狭义的投入或产出既然用货币来表示，也就是一种“资金”了。按照西方经济学概念，资金是有“时间价值”的，设某人有10万元资金、他将有三种处理办法：①投资，即投入工业生产或商业活动；②借给别人或存入银行；③存放在保险柜中。资金的时间价值，从两方面来理解：

1．将资金用作某项投资、由资金的运动(流通—生产—流通)可得到一定的收益或利润，即资金增了值。资金在这段时间内所产生的增值，就是资金的时间价值。

2．如果放弃资金的使用权力，相当于失去收益的机会．也就相当于付出了一定的代价在一定时期内的这种代价，就是资金的时间价值。

从代价补偿的角度来看，资金的时间价值，可用社会平均资金收益率R0表示，用下式来推求：

R0=R01+

R02+

R03R01—仅考虑时间补偿的收益率

R02—仅考虑通货膨胀因素应补偿的收益率

R03—考虑社会平均风险因素应补偿的收益率一、资金时间价值1．资金时间价值的含义指资金随着时间的推移而产生的增殖。如年初存银行100元，年末时可以拿到110元，这100元在一年内的时间价值即为10元。[例2—1]某企业拟建造一工厂，需基建投资1000万元，预计工厂建成后，每年收益扣除生产成本后，可得利润250万元，用以回收投资。问：自施工开始后的第几年可以收回全部投资？投资全部回收后，至施工开始后的第10年，累计的剩余利润共计有多少？假设：①不计利息；②施工期为3年。年未一二三四五六七八九十共计年利润0002502502502502502502501750年未回收投资0002502502502500001000尚未回收投资1000100010007505002500000年未剩余利润0000000250250250750累计剩余利润0000000250500750750备注施工期投资回收期盈利期[例2—2]资料与例2—1相同，但基建投资需向银行贷款，设贷款年利率为10％，剩余利润存入银行，设存款年利率为7％．其他资料不变。要求计算还清全部贷款和贷款利息的年份，以及第10年末的剩余利润和利息。年未一二三四五六七八九十共计年利润0002502502502502502502501750年初欠贷款10001100121013311214.11085.5944.1788.5617.4429.1年未应付贷款利息100110121133.1121.4108.694.178.961.742.9年未偿还贷款本息0002502502502502502502501750年未尚欠贷款本息1100121013311214.11085.5944.1788.5617.4429.1222尚欠

222备注施工期

偿还贷款期未还清[例2—3]针对例2—2的情况，企业领导人采取了缩短施工工期的措施，设施工期缩短为1年，其他资料按例2—2中不变。年未一二三四五六七八九十共计年利润02502502502502502502502502501750年初欠贷款10001100960806636.6450.3245.319.800年未应付贷款利息1001109680.663.745.024.52.000521.8年未偿还贷款本息025025025025025025021.8001521.8年未尚欠贷款本息1100960806636.6450.3245.319.8000本年剩余利润0000000228.2250250728.2上年利润在本年未的存款利息0000000016.034.650.6累计剩余利润0000000228.2494.2778.8备注施工期偿还贷款期盈利期[例2—4]针对例2—2的情况，企业领导人拟采取的另一措施是：施工期仍为3年，但努力改善产品生产的经营管理，降低成本，提高产品的质量和产量、扩大销售额等。并且注意不提高产品单价，以便不使顾客受损失，从而提高了产品信誉。结果估计每年利润将增加40％，达到350万元，其他资料仍按例2—2中不变，作收支平衡表如下。年未一二三四五六七八九十共计年利润0003503503503503503503502450年初欠贷款10001100121013311114.1875.5613.1324.46.80年未应付贷款利息100110121133.1111.487.661.332.400756.8年未偿还贷款本息0003503503503503506.801756.8年未尚欠贷款本息1100121013311114.1875.5613.1324.46.800本年剩余利润00000000343.2350693.2上年利润在本年未的存款利息00000000024.0累计剩余利润00000000343.2717.2备注施工期偿还贷款期盈利期资金的价值是时间的函数，随时间的推移而增值，所增值部分的资金就是原有资金的时间价值。影响资金时间价值的因素：资金的使用（占用）时间长短；资金数额的大小；资金投入或回收的（时间）特点；资金周转速度的快慢。2．资金时间价值产生的原因与增殖规律（1）产生的原因：资金投入生产过程中，可以产生利润，所以资金时间价值是生产过程中产生的剩余价值的一部分。（2）资金增殖的规律：利润是可以投入到生产过程中再次产生利润，因此，资金时间价值也可再增殖。（利生利）3．资金时间价值表现形式及衡量尺度（1）二种表现形式①利润：资金投入到生产和流通领域所产生的增殖，称为利润（Profit）或收益(income)。②利息：将资金存入银行或向银行借贷款所得到或付出的增殖额，称为利息（interest）。（2）衡量尺度①绝对尺度：利润、利息等是资金投入后在一定时期内产生的增值，或者视为使用资金的报酬，是衡量资金时间价值的绝对尺度。②相对尺度：利息率、利润率是一定时间内的利息、利润与投入资金的比率，反映资金时间变化的增值率或报酬率，是衡量资金时间价值的相对尺度。经济学家一直在致力于寻找一套能够完全解释利率结构和变化的理论，"古典学派"认为，利率是资本的价格，而资本的供给和需求决定利率的变化；凯恩斯则把利率看作是"使用货币的代价"。马克思认为，利率是剩余价值的一部分，是借贷资本家参与剩余价值分配的一种表现形式。利率通常由国家的中央银行控制，在美国由联邦储备委员会管理。现在，所有国家都把利率作为宏观经济调控的重要工具之一。当经济过热、通货膨胀上升时，便提高利率、收紧信贷；当过热的经济和通货膨胀得到控制时，便会把利率适当地调低。因此，利率是重要的基本经济因素之一。4．考虑资金时间价值的意义（1）资金增殖是客观存在的，是在生产过程中实现的，而资金投入到不同的生产项目其增殖是不同的。（2）在投资中考察资金的时间的价值，正是考察资金在使用过程中放弃的可能得到的收益，即资金利用的机会成本。考察了资金利用的机会成本，才能够做出正确的决策。二、资金时间价值计算1．单利法（1）概念:单利法是仅以本金为基数计算利息，而对取得的利息不再计利息的一种计算方法。这种方法，不论计息期数为多少，只用本金计算利息。（2）计算公式P——本金（一般称现在价值，简称现值）i——利率I——利息额F——终值（本利和）n——计息周期数单利法计算公式的推导过程年份年初借款年末利息年末本利和1pP·iF=P+Pi=P(1+i)2P(1+i)P·iF=P(1+i)+Pi=p(1+2i)3P(1+2i)P·iF=P(1+2i)+Pi=P(1+3i)::nP[1+(n-1)i]P·iF=P[1+(n-1)i]+Pi=P(1+ni)从上面推导可知，本利和的公式为F＝P（1＋n·i）总利息I为：I＝F－P＝P（1＋n·i）－P＝P·n·iI

＝P·n·i例某人定期存款1000元，为期5年，按当前银行计息方式，5年末该人可得本息是多少，利息是多少？年利率为3.69％。解：F＝P（1＋n·i）＝1000×（1＋5×3.69％）=1184.5利息I=F－P＝1184.5-1000=184.5或者I

＝P·n·i＝1000×3.69％×5＝184.52．复利法（1）概念复利法是以本金和利息之和为计息基数的一种计息方法。这是一种利生利的计息的方法，它比较符合资金运动增殖的规律。（2）计算公式复利法公式推导过程年份年初借款年末利息年末本利和1pP·iF=P+Pi=P(1+i)2P(1+i)P(1+i)iF=P(1+i)+P(1+i)i=p(1+i)23P(1+i)2P(1+i)2·iF=P(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i)3::nP(1+i)n-1P(1+i)n-1·iF=P(1+i)n-1+P(1+i)n-1i=P(1+i)n从上面推导可知本利和的计算公式为：F＝P（1＋i）n总利息为：I＝F－P＝P（1＋i）n－P＝P[（1＋i）n-1]例：某人把1000元存入银行，年利率为6%，5年后全部取出，可得多少元？解：

注意：单利和复利做为计算利息的方法，没有本质的区别，只利率不同而已。通常用复利，如下式：F＝P（1＋ni1）F＝P（1＋i2）n令二式相等，利率之间的关系是：（1＋ni1）＝（1＋i2）n我国银行对储蓄存款实行级差单利计算存款种类3个月6个月一年二年三年五年年利率%1.982.162.252.432.702.88例：某年某月定期存款利率我国银行对贷款实行复利计算我们上面讲的都是公布的是年利率，利息也按年计算，一年计算一次利息。而实际工作中往往会出现银行公布的年利率是12％，这是按年计息付款的。但是在利息的计算时，要求按日、月、季、半年等计算利息。这时实际的利息与12％计算的就不同。也就是一年计算多次利息的时候，就产生了名义利率与实际利率的问题。三、名义利率与实际利率1．名义利率与实际利率的概念当复利周期小于付款周期时，银行规定的年利率水平与存款者实际得到的利率水平不相等，从而产生出名义利率与实际利率。名义利率：是明文规定支付的利率水平，在复利周期小于付款周期的情况下，它是一种非有效的“挂名”利率。实际利率：则表示在复利周期小于付款周期时，实际支付的利率值，它是有效的利率。例：计算周期为六个月，每个利息期的利率为3％。这种情况也可表述为：年利率为6％，每半年复利计算一次。其中6％就是名义利率，而3％称周期利率。因此，名义利率＝周期利率×每年的复利周期数如本例：名义利率＝3％×2＝6％本例实际利率：F＝100（1＋3％）2＝106.09利息＝106.09－100＝6.09实际利率＝6.09／100＝6.09％计息周期（InterestPeriod）：计算利息的时间单位付息周期：在计息的基础上支付利息的时间单位2．名义利率与实际利率的关系（1）名义利率对资金的时间价值反映得不够完全，而实际利率较全面地反映了资金的时间价值。（2）当计息周期为一年时，名义利率与实际利率相等，计息周期短于一年时，实际利率大于名义利率。（3）实际利率与名义利率之间的关系可用下式表示：设名义利率为r，一年中计算次数为m,则一个计息周期的利率应为r/m，一年后本利和为：F＝P（1＋r/m）m利息为I＝F－P＝P（1＋i）n－P实际利率i则为：当m=1时，名义利率与实际利率相等当m＞1时，实际利率大于名义利率当m→∞,即按连续复利计算，i与r的关系为：所以，名义利率与实际利率的换算公式为：上例中，若按连续复利计算，实际利率为：①若半年计息一次，则

②若每季计息一次，则③若每月计息一次，则

：④若每日计息一次，则：⑤若计息次数为m,则例（学生练习）若某人向银行借款10000元，年利率为12％，如果按月计算利息，其年应付利息是多少，实际利率是多少？F＝P（1＋r/m）m＝10000（1＋12％／12）12＝11268.25I＝F－P＝11268.25－10000＝1268.25i=1268.25/10000=12.68%资金的时间价值与等值计算资金的时间价值利息与利息率资金等值计算现金流和现金流程图年末A方案B方案0-10000-100001+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+7000单位：元你选哪个方案？300030003000方案D3000300030006000

123456方案C0123456030003000你又选哪个方案？方案F方案E

4000123420020020030001234

100200200300400哪个方案好？货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的大小有关，而且与发生的时间有关。由于货币的时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流量无法直接加以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。

如何比较两个方案的优劣——构成了本课程要讨论的重要内容。这种考虑了货币时间价值的经济分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和可靠。1.资金的时间价值

——指初始货币在生产与流通中与劳动相结合，即作为资本或资金参与再生产和流通，随着时间的推移会得到货币增值，用于投资就会带来利润；用于储蓄会得到利息。第一节资金的时间价值资金的时间价值概念:不同时间发生的等额资金在价值上的差别称为资金的时间价值。可从两方面理解:随时间的推移，其数额会增加，叫资金的增值。资金一旦用于投资，就不能用于消费。从消费者角度看，资金的时间价值体现为放弃现期消费的损失所得到的必要补偿。影响资金时间价值的主要因素资金的使用时间资金增值率一定，时间越长，时间价值越大资金数量的大小其他条件不变，资金数量越大，时间价值越大资金投入和回收的特点总投资一定，前期投入越多，资金负效益越大；资金回收额一定，较早回收越多，时间价值越大资金的周转速度越快，一定时间内等量资金的时间价值越大

充分利用资金的时间价值最大限度的获得资金的时间价值资金时间价值原理应用的基本原则：资金的时间价值通货膨胀导致货币贬值性质不同通货膨胀：货币发行量超过商品流通实际需要量引起货币贬值和物价上涨现象注意资金与劳动相结合的产物第二节利息和利率资金的时间价值体现为资金运动所带来的利润（或利息），利润（或利息）是衡量资金时间价值的绝对尺度资金在单位时间内产生的增值（利润或利息）与投入的资金额（本金）之比，简称为“利率”或“收益率”，它是衡量资金时间价值的相对尺度，记作i1.利息（In）占用资金所付出的代价（或放弃资金使用权所获得的补偿）2.利率（i）一个记息周期内所得利息额与本金的比率利率一、利息计算方法1.单利法：仅对本金计息，利息不在生利息。2.复利法：对本金和利息计息一、利息计算方法…

I=P·i·n

F=P（1+i·n）P—本金

n—计息周期数F—本利和

i—利率F=P(1+i)nI=F-P=P[(1+i)n-1]二、利息公式利息计算

单利法(利不生利)

复利法（利滚利）使用期年初款额单利年末计息年末本利和年末偿还123410001100120013001000×10%=1001000×10%=1001000×10%=1001000×10%=10011001200130014000001400使用期年初款额复利年末计息年末本利和年末偿还123410001100121013311000×10%=1001100×10%=1101210×10%=1211331×10%=133.11100121013311464.10001464.1单利、复利小结单利仅考虑了本金产生的时间价值，未考虑前期利息产生的时间价值复利完全考虑了资金的时间价值债权人——按复利计算资金时间价值有利债务人——按单利计算资金时间价值有利按单利还是按复利计算，取决于债权人与债务人的地位同一笔资金，当i、n相同，复利计算的利息比单利计算的利息大，本金越大、利率越高、计息期数越多，两者差距越大

等值——在某项经济活动中，如果两个方案的经济效果相同，就称这两个方案是等值的

478.20012345678年300i=6%012345678年i=6%同一利率下不同时间的货币等值第三节等值的基本概念

货币等值是考虑了货币的时间价值即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等货币的等值包括三个因素

金额金额发生的时间利率2.几个概念折现（贴现）：把将来某一时点上的资金金额换算成现在时点的等值金额的过程现值：折现到计算基准时点的资金金额终值：与现值相等的将来某一时点上的资金金额折现率：折现时的计算利率第四节现金流量的概念一、基本概念1.现金流出：对一个系统而言，凡在某一时点上流出系统的资金或货币量，如投资、费用等。2.现金流入：对一个系统而言，凡在某一时点上流入系统的资金或货币量，如销售收入等。3.净现金流量=现金流入-现金流出4.现金流量：各个时点上实际的资金流出或资金流入（现金流入、现金流出及净现金流量的统称）现金流量的概念二、现金流量的表示方法1.现金流量表：用表格的形式将不同时点上发生的各种形态的现金流量进行描绘。2.现金流量图：描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况。大小流向时间点现金流量图的三大要素现金流量表t年末123456现金流入0100700700700700现金流出600200200200200200净现金流量-600-100500500500500现金流量表单位：万元

现金流量图的说明横轴是时间轴，每个间隔表示一个时间单位，点称为时点，标注时间序号的时点通常是该时间序号所表示的年份的年末。纵轴表示现金流量，箭头向上表示现金流入，向下表示现金流出，长短与现金流量绝对值的大小成比例，箭头处一般应标明金额。一般情况，时间单位为年，假设投资发生在年初，销售收入、经营成本及残值回收等均发生在年末。300400时间2002002001234现金流入现金流出0第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初立脚点不同,画法刚好相反注意第三章复利计算复利折算公式几种特殊的复利折算公式名义利率、实际利率和连续复利复利表及其应用

符号定义：i——

利率n——

计息期数P——

现在值，本金F——

将来值、本利和A——n次等额支付系列中的一次支付，在各计息期末实现

G——

等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或收入的差额复利计息利息公式类型一次支付类型计算公式等额支付类型计算公式1.整付终值公式0123n–1n

F=？P(已知）…

整付终值利率系数F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)公式的推导

年份年初本金P当年利息I年末本利和F

P(1+i)2…………P(1+i)n-1P(1+i)n1PP·iP(1+i)2P(1+i)P(1+i)·in－1P(1+i)n-2P(1+i)n-2

·inP(1+i)n-1P(1+i)n-1

·i

F=P(1+i)n=1000(1+10%)4

=1464.1万元例：在第一年年初，以年利率10%投资1000万元，则到第4年年末可得本利和多少？可查表或计算0123年F=?i=10%100041.整付终值计算公式总结已知期初投资为P，利率为i，求第n年末收回本利F。称为整付终值系数，记为2.整付现值公式

0123n–1n

F(已知）P=？

…1/(1+i)n

——整付现值利率系数

例1：若年利率为10%，如要在第4年年末得到的本利和为1464.1万元，则第一年年初的投资为多少？解：

例2:某单位计划5年后进行厂房维修，需资金40万元，银行年利率按9%计算，问现在应一次性存入银行多少万元才能使这一计划得以实现？解：2.整付现值计算公式总结已知第n年末将需要或获得资金F

，利率为i，求期初所需的投资P

。称为整付现值系数，记为3.等额分付终值公式0123n–1n

F=？

…A(已知）等额年值与将来值之间的换算 F(1+i)

–F=A(1+i)n

–A

F=A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1(1)乘以(1+i)

F(1+i)=A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1+A(1+i)n(2)

(2)－(1)

公式推导等额分付系列公式应用条件1.每期支付金额相同，均为A；2.支付间隔相同，通常为1年；3.每次支付都在对应的期末，终值与最后一期支付同时发生。例：如连续5年每年年末借款1000元，按年利率6%计算，第5年年末积累的借款为多少？解：思考：假如借款发生在每年年初，则上述结果又是多少？3.等额分付终值计算公式总结已知一个技术方案或投资项目在每一个计息期期末均支付相同的数额为A

，设利率为i，求第n年末收回本利F

。称为等额分付终值系数，记为4.等额分付偿债基金公式0123n–1n

F(已知）…

A=？例:某厂计划从现在起每年等额自筹资金，在5年后进行扩建，扩建项目预计需要资金150万元，若年利率为10%，则每年应等额筹集多少资金？解：4.等额分付终值计算公式总结已知一个技术方案或投资项目在每一个计息期期末均支付相同的数额为A

，设利率为i，求第n年末收回本利F

。称为等额分付终值系数，记为5.等额分付现值公式

0123n–1n

P=？…

A(已知）

根据F=P(1+i)n

F=A[(1+i)n－1i]P(1+i)n=A

[(1+i)n－1i]例1：15年中每年年末应为设备支付维修费800元，若年利率为6%，现在应存入银行多少钱，才能满足每年有800元的维修费？解：例2：某人贷款买房，预计他每年能还贷2万元，打算15年还清，假设银行的按揭年利率为5%，其现在最多能贷款多少？5.等额分付现值计算公式总结已知一个技术方案或投资项目在n年内每年末均获得相同数额的收益为A

，设利率为i，求期初需要的投资额P

。称为等额分付现值系数，记为

6.等额分付资本回收公式

0123n–1n

P

(已知）

…

A

=？例:某投资人欲购一座游泳馆，期初投资1000万元，年利率为10%，若打算5年内收回全部投资，则该游泳馆每年至少要获利多少万元？解:6.等额分付资本回收计算公式总结称为等额分付资本回收系数，记为已知一个技术方案或投资项目期初投资额为P，设利率为i，求在n年内每年末需回收的等额资金A

。变化若等额分付的A发生在期初，则需将年初的发生值折算到年末后进行计算。3AF0n12n-14A'7.均匀梯度系列公式均匀增加支付系列A1+(n-1)GA1A1+GA1+2GA1+(n-2)G…012345n－1nA1…012345n－1n（1）A2…012345n－1n

（3）＋（n－2）GG…012345n－1n2G3G4G（n－1）G（2）A2=G1n]ii－（A/F,i,n）[现金流量图（2）的将来值F2为:F2=G（F/A,i,n－1）+G（F/A,i,n－2）+…+G（F/A,i,2）+G（F/A,i,1）=G[]（1+i）n－1－1i（1+i）n－2－1i＋G][＋G（1+i）2－1i[]

…＋i（1+i）1－1[]Gi+（1+i）1－1[]G[（1+i）n-1+（1+i）n-2++（1+i）2+（1+i）1－（n－1）×1]=Gi

…[（1+i）n-1+（1+i）n-2++（1+i）2+（1+i）1+1]－=iGnGi=iG（1+i）n－1inGi－iG（1+i）n－1nGiA2=F2

（1+i）n－1[]=[iii－]（1+i）n－1[]GnGiGnG=ii－（1+i）n－1[]=ii－（A/F,i,n）1n=G]ii－（A/F,i,n）[梯度系数（A/G,i,n）＋A1…012345n－1n（1）A2…012345n－1n

（3）A=A1+A2…012345n－1n

（4）

注：如支付系列为均匀减少，则有

A=A1－A23.3.3

等差系列（Uniform-GradientSeries）

G称为等差递增年值0123G

…n-1n（）2G(n-2)G(n-1)G

例：一个汽车修理部的一台钻床在将来的5年的操作费用分别为1100元、1225元、1350元、1475元和1600元，如果使用12％的贴现率，那么这些费用的现值是多少？ 解：P1=A(P/A,i,n) =1100(P/A,0.12,5) =3966（元）

P2=G(P/G,i,n) =125(P/G,0.12,5) =800（元）

P=P1+P2 =3966+800 =4766（元）012345P=?（年）11001225135014751600012345P1=?（年）1100012345P2=?（年）125250375500等值计算公式表:方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末；本年的年末即是下一年的年初；P是在当前年度开始时发生；F是在当前以后的第n年年末发生；A是在考察期间各年年末发生。当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生；均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第二年年末。运用利息公式应注意的问题

6、等值基本公式相互之间的关系：例:有如下图示现金流量，解法正确的有()答案:AC012345678AF=?A.F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)B.F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)C.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)D.F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)E.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i。0123n-1nA0123n-1nA’=A（1+i）解：

例：下列关于时间价值系数的关系式，表达正确的有（）A．（F/A,i,n）=(P/A,i,n)×(F/P,i,n)B．（F/P,i,n）=(F/P,i,n1)×(F/P,i,n2),其中n1+n2=nC．（P/F,i,n）=(P/F,i,n1)＋(P/F,i,n2),其中n1+n2=nD．（P/A,i,n）=(P/F,i,n)×(A/F,i,n)E．1/（F/A,i,n）=(F/A,i,1/n)答案:AB三、名义利率和有效利率名义利率和有效利率的概念当利率的时间单位与计息期不一致时，有效利率——资金在计息期发生的实际利率

例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为3%，则3%——（半年）有效利率如上例为3%×2=6%——（年）名义利率（年）名义利率=每一计息期的有效利率×一年中计息期数

r——名义利率,n——一年中计息次数，则每计息期的利率为r/n，根据整付终值公式，年末本利和：F=P[1+r/n]n一年末的利息：I=P[1+r/n]n－P

1.离散式复利——按期（年、季、月和日）计息则年有效利率

例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为16%，计息每年一次。乙银行年利率为15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠些？

因为i乙

>i甲，所以甲银行贷款条件优惠些。解：

例：现投资1000元，时间为10年，年利率为8%，每季度计息一次，求10年末的将来值。

F=？1000

…012340季度每季度的有效利率8%÷4=2%年有效利率i：i=（1+2%）4－1=8.2432%用年实际利率求解:F=1000（F/P，8.2432%，10）=2208（元）用季度利率求解:F=1000（F/P，2%，40）=1000×2.2080=2208（元）解：2.连续式复利——按瞬时计息的方式式中：e——自然对数的底，其值为2.71828复利在一年中按无限多次计算，年有效利率为：

r=12%,分别按不同计息期计算的实际利率复利周期每年计息数期各期实际利率实际年利率一年半年一季一月一周一天连续1241252365∞12.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%0.000012.0000%12.3600%12.5509%12.6825%12.7341%12.7475%12.7497%例：当利率为8%时，从现在起连续6年的年末等额支付为多少时与第6年年末的10000等值？

A=F（A/F,8%,6）=10000(0.1363)=1363元/年

解：100000123456年i=8%0123456年A=？i=8%(一)计息期为一年的等值计算相同年有效利率名义利率直接计算三种情况：计息期和支付期相同计息期短于支付期计息期长于支付期

(二)计息期短于一年的等值计算1.计息期和支付期相同

n=(3年)×(每年2期)=6期

P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元例：年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，连续3年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第0年的现值为多大？解：每计息期（半年）的利率例：按年利率为12%，每季度计息一次计算利息，从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？

0123456789101112季度F=？1000100010002.计息期短于支付期012342392392392390123410001000（A/F，3%，4）方法一：将年度支付转化为季度支付239F=？季度0123456789101112F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元方法二：将名义利率转化为年有效利率

F=A(F/A,12.55%,3)=1000×3.3923=3392元思考：还有其他方法吗？

例:假定现金流量是：第6年年末支付300元，第9、10、11、12年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15、16、17年年末各获得80元。按年利率5％计息，与此等值的现金流量的现值P为多少？P=?0300678910111213141516172106080解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8)－210(P/F,5%,13)+80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)=－3000.7162－603.54560.6768－2100.5303+802.72320.5051=－369.16也可用其他公式求得P=－300(P/F,5%,6)－60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12)－210(P/F,5%,13)+80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)=－3000.7462－604.31010.5568－2100.5303+803.1530.4363=－369.16

例:现金流量如图，第9年末支付420元，第12、13、14、15年末各支付90元，第16年年末支付230元，第18、19、20年年末各获得110元。按年利率5%计算，与此等值的现金流量的闲置P为多少？（答案：432）P=?04209101112131415161718192023090110

复利计算9:01:25上午第一节资金等值计算（复利公式）一、资金等值的概念资金等值：是指在考虑时间因素的情况下，不同时点的绝对数额不等而经济价值相等的若干资金，称为资金等值或等值资金。例如，年初存在银行的100元，若年利率为10％，和年末的110元虽数字不等，但价值是相等的。二、资金等值计算资金等值计算：利用资金等值原理，把某一时间点上的资金值，按照所给定的利率换算为与之等值的另一时间点的资金值，这一过程称为资金的等值计算。资金时间价值计算也即资金等值计算。贴现：把将来某一时间点上的资金值换成现在时间点上的资金值称为“折现或贴现”，将来时点上的资金折现后的资金值称为“现值”。与现值等价的将来某时点的资金值称为“终值或未来值”。现在值（PresentValue

现值）：未来时点上的资金折现到现在时点的资金价值。将来值（FutureValue

终值）：与现值等价的未来某时点的资金价值。折现（Discount

贴现）：把将来某一时点上的资金换算成与现在时点相等值的金额的换算过程等值计算符号的设定与前相同：P——本金（一般称现在价值，简称现值）F——终值（本利和）i——利率n——计息周期数以复利计算的资金等值计算公式一次支付终值公式；一次支付现值公式；等额支付系列终值公式；等额支付系列偿债基金公式；等额支付系列资金回收公式；等额支付系列现值公式；等差支付系列终值公式；等差支付系列现值公式；等差支付系列年值公式；等比支付系列现值与复利公式（一）一次支付型1．一次支付终值公式（已知现值求终值）F＝P（1＋i）n此式表示的是在利率为i，计息期为n的情况下，终值F与现值P之值的等值关系。（1＋i）n为一次支付终值系数，用（F／P,i,n）表示。斜线上方F表示欲求的等值现金流量，下方表示已知的参数，P,i,n。标准表示方法：（Y／X，i，n）Y表示未知的待求值，X为已知值，i和n为已知参数。0nPF2．一次支付现值公式（已知终值求现值）已知终值求现值的公式为：为一次支付现值系数，记为（P／F，i，n）0nPF例如某人在孩子出生时，要为其18岁上大学筹够40000元，若孩子出生时以一次存入银行的方式进行，孩子出生时应存入多少现多？若利率为6％，需要14013.75[例3-1]有两笔投资，如图3—3所示。假设基准点改为第3年末，要求将此两笔资金统一折算到新基准点、然后求其等值之和。解：7(年)Kl

＝100万元201K2

＝120万元3456基准点i=8%Kl折算到基准点，为由现值求终值、其等值为F＝P(1十i)n=100万元×(1.08)3=125.97万元

K2折算到基准点，为由终值求现值、其等值为则两者之和为125.97+88.2=214.17万元(二)等额分付类型等额年金（A）：是指分次等额支付的现金。一般每期间隔为一年，所以称为等额年金。有三个条件：一各期的收入相等，为A，二收入期（n）中各期间隔相等，为一年；三第一期收入在年末，以后各年均相同，收入（支出）在年末。在现金流量分析中，等额年金也叫作拉平分析，它表现在同一费用在投资有效期中各年发生的费用在数值上相等。但拉平决不是平均，它们之间有重要的区别。平均是不考虑货币时间价值的，而拉平则充分考虑货币资金时间价值。故同一种费用在投资过程中拉平的结果，与平均的结果大不相同，而投资过程利率越大，这种差别越大，拉平分析受利率的影响大。等额年金的现金流量图012FAAA012AAAn01AAA2n01AAFA2n01PAA1．等额分付终值公式（年金终值）若每期期末支付同等数额资金A，在利率为i的情况下，n期期末的本利和F为多少？现金流量图如下，已知A求F。F?A2n01AA将每年的等额年金A均计算复利到n年。等额分付终值系数记为:（F／A，i，n）公式简写为:F＝A（F／A，i，n）例某公司设立退休基金，每年末存入银行2万，利率为10％，按复利计息，第5年末基金总额为多少？解：直接用公式2．等额分付偿债基金公式（A/F）201每年要准备多少偿债？等额分付偿债基金公式为等额分付终值公式的逆运算。F已知An201AA=?每年要准备多少偿债？公式：为等额分付偿债基金系数，记为（A／F，i，n）公式简写为A＝F（A／F，i，n）例拟在10年末得到存款5000元，如果年利率为9%，从10年前第一年开始，每年年末需存入银行多少钱？解：3．等额分付现值公式（年金现值公式）若在n期内每期期末支付相同数额资金A，在利率为i的情况下，与其等值的期初现值P为多少？AnP＝？201AA现值为多少？已知A求P将每年的A，贴现到基准年0年，求其现值之和，即为P公式为：该系数称为等额分付现值系数，记为（P／A，i，n）公式可简写为：P＝A（P／A，i，n）最好记，而且也是最基本的公式例：某人拟在今后10年内，每年年末从银行取出1000元现金，如果存款年利率为6%，则现在必须存入银行多少钱？解：4．等额分付资本回收公式（现值年金公式）在利率为i，投资期为n的情况下，每期等额回收期初投入现值，年回收额的计算公式，它是等额分付现值公式的逆运算，已知P求A。公式：等额分付资金回收系数，用（A／P，i，n）A=P(A/P，i，n)例现在贷出1000元，年利率为12%，若拟在5年内每年年末以等额资金回收，那么要在5年内收回贷款，每年年末应回收多少？解：等值计算公式表:小结：复利系数之间的关系

与互为倒数

与互为倒数与互为倒数

推导（F/P，i，n）（P/F，i，n）（F/A，i，n）（A/P，i，n）（P/A，i，n）（A/F，i，n）PF

A01234567……n……基本公式相互关系示意图（一）期首等额年金的折算若等额分付的A发生在期初，则需将年初的发生值折算到年末后进行计算。现金流量图如下：第二节几种特殊的复利折算公式3AF=？0n12n-14A'（二）等差变额年金的折算如果每一期回收额在前期的基础上，增加一定的数额，即形成等差序列形式的现金流量。现金流量图如下：第一年的流量为A1后一年在前一年的基础上增加一定数量为G均匀增加支付系列A1+(n-1)GA1A1+GA1+2GA1+(n-2)G…012345n－1n＋A1…012345n－1n（1）A2…012345n－1n

（3）（n－2）GG…012345n－1n2G3G4G（n－1）G（2）A2=G1n]ii－（A/F,i,n）[＋A1…012345n－1n（1）A2…012345n－1n

（3）A=A1+A2…012345n－1n

（4）

注：如支付系列为均匀减少，则有A=A1－A2图（2）的将来值F2为:F2=G（F/A,i,n－1）+G（F/A,i,n－2）+…+G（F/A,i,2）+G（F/A,i,1）=G[]（1+i）n－1－1i（1+i）n－2－1i＋G][＋G（1+i）2－1i[]

…＋i（1+i）1－1[]Gi+（1+i）1－1[]G[（1+i）n-1+（1+i）n-2++（1+i）2+（1+i）1－（n－1）×1]=Gi

…[（1+i）n-1+（1+i）n-2++（1+i）2+（1+i）1+1]－=iGnGi=iG（1+i）n－1inGi－iG（1+i）n－1nGiA2=F2

（1+i）n－1[]=[iii－]（1+i）n－1[]GnGiGnG=ii－（1+i）n－1[]=ii－（A/F,i,n）=G1n]ii－（A/F,i,n）[梯度系数（A/G,i,n）等差序列现金流量图P0123n初如投资为P，按等差序列回收，第1年为A1，如上图，将每年的现金流量贴现到基准年，求和，则得P与回收额之间的等值关系式：递增为＋，递减为－符号相反有一笔从银行获取的5年分期提取的贷款，均在年末提取，第一年为500元，以后每年递增100元，求年利率为8%时这笔贷款的现值。解：例：（三）等比序列现金流的等值计算如果每一期回收额在前期的基础上，增加一定的比例，即形成等比序列形式的现金流量。现金流量图如下：第一年的流量为A1后一年在前一年的基础上增加一定比率为S等比序列现金流量图0123nPA1等比序列现金流量将各年的现金流量贴现到基准年，然后求其和，即得与初始投资P之间的关系式：增加是－S，递减为＋S相反某企业第一年存入银行1000元，以后按8%增长，为未来5年后设置投资基金，若年利率为10%，求这笔系列存款的现值。解：

例存在通货膨胀的情况下，考虑保值，即是递增的公式。不考虑保值，即是递减的公式。现金流动与计息期不同步的情况1．计息期与支付期相同[例]设年利率为12%，每半年计息一次。现向银行贷款10000元，要求5年内还清。问每半年等额偿还多少？2．计息期短于支付期[例]从现在起4年中每年年末存入银行1000元，如果年利率为12%，每季度计息一次，问在第4年年末的本利和是多少？解法1：01234解法2：解法3：3．计息期长于支付期[例]计息期为按季度计息，设一年之中各月的现金流量如图所示，若季度实际利率为3%，求P=？0123456789101112（月）2001001002003000123456789101112400300100200100100100100100100100例:某公司于1977年向外国借款5亿美元。用以引进新设备。合同规定自1978年起计息，到2020年末一次偿还全部本息，年利率为12％，问届时应偿还多少?

解：首先绘制现金流程图，如图所示。第四节复利表及其应用1977P

＝5亿美元……01F？40414243（年）F′？i=12%2020（年）2017

因为2020年末距1978年初共历时43年，若查普通复利表、只有n=40、45的数值，没有n=43的数值。但若引用等值的概念，可先将P折算到2017年(n=40)为F′，然后再将F′作为现值折算到2020年(n=3)为F、显然，P与F′等值，F′又与F等值，所以P与F等值；现折算如下：F＝F′(F／P,12％,3)

＝P(F／P,12％,40)(F／P,12％,3)查普通复利表，得

(F／P,12％,40)＝93.05097，(F／P,12％,3)＝1.40493．故

F

＝5×93.05097×1.40493

＝653.65(亿美元)或者，先作为已知现值求终值折算到2022年(n=45)，然后再作为已知终值求现值从2022

年折算回2020年(n=2)，结果也是一样．

例：某工厂年初用40万元购置一套新设备(包括运输和安装费用在内)、当年投产，平均每年净产值为8万元(每年末结算)。设投产10年间。年净产值的折算总值(总现值)恰好等于设备购置费，问折算率为若干?

解：A…012345910(年)P=40万元解：本题已知P=40万元，A=8万元，n=10、要求折算率i值，参见图。因P=A(P/A,i,n)40万元＝8万元×(P/A,i,10)

或(P/A,i,10)=5需求i值，需用试算法，查复利表，求得若i=1