四年级数学思维拓展培优讲义（尖子生培优）专题07盈亏问题（通用版）VIP

专题07盈亏问题有的放矢有的放矢1、人们在分配东西时，如果每份分的数量少一些，会出现“物品有多余”的情况，这种情况称之为“盈”；反之，如果每份分的数量多一些，以至出现“物品不足”的情况，那就称为“亏”，根据“一盈”、“一亏”的变化规律，我们可以求出物品的总数或物品所分的份数，这类数学问题一般称它为“盈亏问题”。2、解“盈亏问题”的基本思想是“比较的思想”。3、“盈亏问题”的基本公式是：（1）对象数＝（盈＋亏）÷两次分配差（2）总数＝每份个数×对象数＋盈数或总数＝每份个数×对象数－亏数解题的时候，要特别注意分析题意，弄清哪部分是“盈”，哪部分是“亏”，弄清数量对应变化关系，再列式计算。此外，还要养成检验的习惯，保证解题正确。能力巩固提升能力巩固提升1．果树队上山种果树，所需栽的苹果树苗是梨树苗的2倍，如果梨树苗每人栽3棵，还余下2棵；苹果树苗每人栽7棵，则少6棵。问：果树专业队上山植树的有多少人？要栽多少棵苹果树和梨树？2．一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？3．智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？4．三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？5．同学们去划船，如果每只船坐4人，则少3只船；如果每只船坐6人，还有2人留在岸边。共有几只船？划船的同学是多少人？6．学校给一批新入学的学生分配宿舍。若每个房间住12人，则34人没有位置；若每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？7．“烛光”读书活动小组在学校图书馆借来的科技书是故事书的2倍，平均每人看6本科技书，则余12本；每人看故事书4本，则差3本，读书活动小组有几人？借来的科技书和故事书各多少本？8．儿童分玩具，每人6个则多12个；每人8个，有一人没有分到。儿童有几个，玩具有几个？9．用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深．10．学习里有铅笔若干支，奖给三好学生，若每人9支，缺15支；若每人7支缺7支。三好学生有多少人？铅笔有多少支？11．实验小学进行团体操表演。如果每行排8人，则多出7人；如果每行排14人，则有一排少5人。问排成多少排？有多少学生？12．同学们去买蛋糕，如果每人出9元，就多出了10元，每人出7元，就多出了2元，那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？13．甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2张信纸，乙每封信用3张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20张信纸，乙用完所有信纸还剩下10个信封，则他们每人各买了多少张信纸？14．有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的1.5倍，那么每人4块就少两块，这些糖共有多少块？15．学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？16．用一根绳子测量井的深度，用绳子对折来量，井外余6米；用绳子一折四来量，井外余1米。井深和绳子各多少？17．人民路小学三、四、五年级的同学乘汽车去春游，如果每车坐45人，有10人不能坐车；如果每车多坐5人，又多出一辆汽车。一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？18．给参加美术活动小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分5支则多12支；如果每人分8支还多3支。问有多少个同学？有多少支彩色笔？19．食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？20．教师给幼儿园小朋友分草莓，如果每个小朋友分5个草莓还剩下14个，如果每个小朋友分7分草莓则差4个，求共有多少草莓？共有多少个小朋友？综合拔高拓展综合拔高拓展21．妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果。那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？22．卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少棵？23．用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米。求绳子长度和井深？24．六年级学生出去划船．老师算了一下，如果每船坐6人，那么还剩下22人没船坐．安排时发现有3条船坏了，于是改为每船坐8人，结果还剩下6人没地方坐，请问：一共有多少学生？25．老师给同学们分卡片，如果每人5张，还剩18张，如果每人7张，就缺2张，请问：有多少个同学？一共有多少张卡片？26．学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？27．某班组织野营活动，需租借小木船过河，若每只船10人，则还空有两人的座位；若每只船乘12人，则可少租一只船，而且刚好坐满。这时每人可节省0.5元，问租用一只小船要多少元？28．同学们种树，如果每人种4棵，还差5棵；如果每人种6棵，还差17棵，问：有多少个同学？有多少棵树？29．幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅．问：到会议室开会的少先队员有多少人？30．老师给同学们分苹果，每人分10个，就多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共有多少名学生？多少个苹果？31．阳光小学学生乘汽车到香山春游。如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？32．同学们到阶梯教室听科技报告，如每张长椅坐8人，则剩下50人没有座位；如果每张长椅坐12人，则空出10个座位。如果每张长椅上坐7人，还剩下多少学生无座位？33．某单位向西北地区某村捐赠寒衣若干，每户5件，还余99件；每户增加2件，仍余33件，每户应分多少件可以不余？34．老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？35．学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？36．上级规定上午9点应把传令售从军营交到指挥部。一通讯兵如果每分钟走到100米可提早10分钟到达，如果每分钟走80米，可提早6分钟到达。求这个通讯兵在路上应用多长时间？他几点从军营出发刚好9点到达？军营离指挥部有多远？37．有一个班的同学去划船，如果增加一只船，正好每只船坐8人；如果减少一条船正好每只船上坐10人。问：这个班级共有多少人？38．学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出22人；每个房间多住5人，则空1个房间．问宿舍有多少间？新生有多少人？39．幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？参考答案参考答案1．10人；梨树：32棵；苹果树：64棵【分析】由于苹果树苗是梨树苗的2倍，根据题意，梨树苗每人栽3棵，还余下2棵，那么如果每人栽6棵苹果树苗，应余下4棵，而已知每人栽7棵苹果树苗，则少6棵。根据盈亏问题解法，植树人员共（4＋6）÷（7－6）＝10（人），梨树有3×10＋2＝32（棵），苹果树有32×2＝64（棵）。【详解】根据题意，如果每人栽3×2＝6（棵）苹果树苗，则应余下2×2＝4（棵）果树专业队上山植树的人数：（4＋6）÷（7－6）＝10÷1＝10（人）梨树：3×10＋2＝32（棵）苹果树：32×2＝64（棵）答：果树专业队上山植树的有10人，要栽的梨树和苹果树分别是32棵和64棵。【点睛】本题考查盈亏问题中一盈一亏的解法：盈与亏的和÷两次分得的差＝参与分配对象总数。根据梨树与苹果树之间的数量关系，将梨树的盈余问题转化为苹果树的盈余是解题的关键。2．9人45粒【详解】第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是（粒），由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：（人），有糖果（粒）．3．69粒【详解】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）．4．9人

43块【分析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次搬砖，每人相差（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员（人）．共有砖：（块）．【详解】（块）（人）共有砖：（块）答：这个班少先队有9个人，要搬的砖共有43块．5．共有5只船，划船的同学有32人。【分析】如果每只船坐4人，则少3只船，即如果每只船坐4人，人数多3×4＝12人；如果每只船坐6人，还有2人留在岸边，即如果每只船坐6人，人数多2人；对比两次分配的方法，盈12，盈2，两次分配的人数差为6－4＝2人，则船有（12－2）÷（6－4）＝5只，人数有（5＋3）×4＝32人。【详解】3×4＝12（人）（12－2）÷（6－4）＝10÷2＝5（只）（5＋3）×4＝8×4＝32（人）答：共有5只船，划船的同学有32人。【点睛】将本题中缺少的船只数转化多的人数是解决本题的关键，本题也可以使用方程法求解。6．45间；574人【分析】若每个房间住12人，则34人没有位置，即每个房间住12人，人数多出34人；若每个房间住14人，则空出4个房间，即若每个房间住14人，则人数缺少14×4＝56人；对比两次分配方法，盈34，亏56，两次分配的差为14－12＝2人，则房间数为（34＋56）÷（14－12）＝45间，人数为（45－4）×14＝574人。【详解】14×4＝56（人）（34＋56）÷（14－12）＝90÷2＝45（间）（45－4）×14＝41×14＝574（人）答：学生宿舍有45间，住宿学生有574人。【点睛】第二次分配多出的不是人数而是房间数，如何把多出的房间数转化成多出的人数是解决本题的关键。7．科技书有66本，故事书有33本。【分析】科技书是故事书的2倍，平均每人看6本科技书，则余12本，根据科技书与故事书的倍数关系，把科技书转换成故事书，则平均每人看3本故事书，则余6本，即平均每人看3本故事书，则多出6本；每人看故事书4本，则差3本，即每人看故事书4本，则少3本；对比两次分配方法可以看出：如果每人多看1本故事书，则就要多看6＋3＝9本，用多看的故事书的本数÷每人多看的故事书的本数即可计算出学生人数，然后用学生人数×每人看的本数＋多（或－少）的本数，即可求得科技书与故事书的本数。【详解】解：6÷2＝3（本）12÷2＝6（本）（6＋3）÷（4－3）＝9÷1＝9（人）9×6＋12＝66（本）9×4－3＝36－3＝33（本）答：科技书有66本，故事书有33本。【点睛】本题两次分配方法中的分配对象不一样，如何根据科技书与故事书的倍数关系，将两次分配的对象统一，再计算出盈与亏是解决本题的关键。本题也可以使用方程法求解。8．儿童10个；玩具72个【分析】两次分配，人数和玩具数不变，将“有一个没有分到”看成少8个，这样第二次多用了20个，每人多分了2个，先求出人数，再求出玩具数。【详解】答：儿童有10个，玩具有72个。【点睛】盈亏问题的变形形式，注意将第二次分配进行合理转化。9．井的深度为22米；绳子长度为54米．【详解】井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）．绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者（22-4）×3=18×3=54（米）．10．三好学生有4人，铅笔有21只。【分析】由“每人9支缺15支”可知，再加15支就能正好分完；由“每人7支就缺7支”可知，再加上7支也正好分完，两次数量差为15－7＝8支，每次分物差为9－7＝2支。也就是说每人多分2支，就多出8支．那么，人数为8÷2＝4（人），铅笔的支数4×9－15＝21只。【详解】（15－7）÷（9－7）＝8÷2＝4（人）4×9－15＝36－15＝21（只）答：三好学生有4人，铅笔有21只。【点睛】此题属于盈亏问题，考查了关系式（大亏数－小亏数）÷两次分物数量的差＝分物份数（学生人数）。本题也可以使用方程法解。11．排成2排，有同学23人。【分析】根据题意对比两次分配方法可知，如果每排人数增加14－8＝6人，则人数由多出7人变成少5人，即每排增加6人，人数增加7＋5＝12人，用“增加的人数÷每排多出的人数”即可算得排数，再用“排数×每排人数＋多出（或－少）的人数”即可算得总人数。【详解】（7＋5）÷（14－8）＝12÷6＝2（排）2×8＋7＝16＋7＝23（人）答：排成2排，有同学23人。【点睛】本题主要考查盈亏问题的应用，根据题目已知算出盈与亏是解决本题的关键。12．4个同学；26元【分析】此题属于盈亏问题中“盈盈型”，根据（大盈－小盈）÷两次每人分配数的差，代入数据解答即可。【详解】答：有4个同学去买蛋糕；蛋糕的价钱是26元。【点睛】此题属于典型的盈亏问题，解答时先分析属于盈亏问题中的哪一种类型，再根据公式套用。也可根据总人数和总钱数是不变的列方程解答。13．信封50个；信纸120张．【详解】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)张信纸，两次分配的差为(3－2)张信纸，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(个)，有信纸2×50＋20＝120(张)．14．70块【分析】第一次每人分5块，第二次每人分4块，可以认为原有的人每人拿出5－4＝1块糖分给新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到2块糖果，这些人每人还差4－2＝2块，一共差了10＋2＝12块，所以新增加了12÷2＝6人，原有6×2＝12人。由此可得。【详解】（10＋2）÷（5－4）＝12÷1＝12（人）12×5＋10＝60＋10＝70（块）。答：这些糖共有70块。【点睛】这是典型的盈亏问题，可根据公式直接计算即可。15．羽毛球拍180副；乒乓球拍90副．【详解】因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15×2=30（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）．16．井深4米，绳长20米。【分析】用绳子对折来量，井外余6米，即绳子的长度是井深度的2倍多12米；用绳子一折四来量，井外余1米，即绳子长为井深的4倍多4米；对比两次测量可知，盈12，盈4，则井深（12－4）÷（4－2）＝4米，绳子长4×2＋6×2＝20米。【详解】6×2＝12（米）4×1＝4（米）（12－4）÷（4－2）＝8÷2＝4（米）4×2＋6×2＝8＋12＝20（米）答：井深4米，绳长20米。【点睛】本题中的绳子几折后剩余的米数是指每一段绳子均剩余的米数。本题也可以使用方程法解。17．12辆；550名【分析】将人分给车辆，第二次分配，每车坐50人，“多出一辆汽车”可以看成少50人，这样第二次多用了60人，每辆车多坐5人，先求出车的数量，再求总人数。【详解】答：一共有12辆汽车；有550名同学去春游。【点睛】盈亏问题的变形形式，第二次分配少用一辆车，即少了一辆车所能够乘坐的人数。18．有3个同学，彩色笔有27只。【分析】第二种方法比第一种方法每人多分3支，彩色笔数就从多12支变成了多3支，也就是每人多分3支，彩色笔数就要多分12－3＝9只。那么用“共要多分长彩笔笔数÷平均每人多分的彩色笔数”就可以求出人数；再用“每人分的彩色数×人数＋多的”就可以求出彩色笔数。【详解】（12－3）÷（8－5）＝9÷3＝3（人）3×5＋12＝15＋12＝27（只）答：有3个同学，彩色笔有27只。【点睛】此题属于盈亏问题，考查了关系式（大亏数－小亏数）÷两次分物数量的差＝分物份数（学生人数）。本题也可以使用方程法解。19．牛肉5元一千克；猪肉4元2角一千克．【分析】这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉18千克差4元，而买猪肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些.每千克贵8角，如果18千克牛肉换成18千克猪肉，就要少花8×18=144（角）=14元4角．这样就会多出14元4角-4元=10元4角．因此问题就可变为：“小李买猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单价和钱数．”虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差．【详解】由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角．18千克牛肉比18千克猪肉贵8×18=144（角）=14元4角.因此小李若买18千克猪肉就会多余14元4角-4元=10元4角．由已知小李买20千克猪肉多余2元，所以猪肉每千克价格为：（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元2角．所以牛肉每千克价格为：4元2角+8角=5元．小李带的钱为：4.2×20+2=86（元）．20．59个草莓，9个小朋友【详解】设共有x个小朋友(个)21．160个；28天【分析】第一种分配方案：每天吃4个，多出48个；第二种分配方案：每天吃6个，少8个；典型的一盈一亏类型。根据公式：参加分配的总份数＝（盈数＋亏数）÷两次分配的数量差，代入数据求解即可。【详解】计划吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天）买的苹果个数：28×4＋48＝112＋48＝160（个）答：妈妈买回的苹果有160个，计划吃28天。【点睛】牢记盈亏问题公式份数＝（盈数＋亏数）÷两次分配数的差是解答本题的关键。此题是盈亏问题中较为简单的基础题。22．大熊猫28只；竹子150棵．【详解】使同学们感到困难的是条件“3倍还少5只大熊猫”．先要转化这一条件，假设还有10棵竹子，，就可以多有5个大熊猫，把“少5只大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍大熊猫数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给(棵)竹子，每只大熊猫给5棵与给6棵，总数相差(棵)，所以原有大熊猫数(只)，竹子总数是(棵)．23．绳长42米，井深12米【分析】两次测量的每折总差额是：9－2=7（米），对应的分率的差额是：－，那么绳长是：7÷（－）＝42米，井深是：42÷2-9=12米；据此解答。【详解】绳子长：（9－2）÷（－）＝7÷＝42（米）井深：42÷2-9=12（米）；答：这根绳长42米，井深12米。【点睛】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额÷每份的差额=总份数。24．142人【详解】如果3条船没有坏，每船坐8人，那么多余了个座位．根据盈亏问题公式，有船条，学生人数为人．25．10个同学；68张卡片【分析】盈亏问题，第一次剩18张，第二次缺2张，当做“盈亏型”盈亏问题求解。【详解】具体算式如下：答：一共有10个同学；68张卡片。【点睛】本题主要考查盈亏问题，掌握每次的盈与亏是本题的关键。26．7人

61本【详解】“差9本”和“差2本”两者相差（本），每个人要多发（本），因此就知道，共有老师（人），书有（本）．27．租用一只小船要用24元。【分析】若每只船10人，则还空有两人的座位，即若每只船10人，则人数差2人；若每只船乘12人，则可少租一只船，则每只船乘12人，人数少12×1＝12人，对比两次的分配方法，亏2，亏12，两次分配的人数差为12－10＝2人，则船数为（12－2）÷（12－10）＝5只，人数为（5－1）×12＝48人；少租用一只船，每人可以节约0.5元，则一只船的租用价格为48×0.5＝24元。【详解】12×1＝12（人）（12－2）÷（12－10）＝10÷2＝5（只）（5－1）×12＝4×12＝48（人）48×0.5＝24（元）答：租用一只小船要用24元。【点睛】本题中将少租的船数转化成人数，从而统一两次分配的单位是解决本题的关键。本题也可以使用方程法。28．6个

19棵【详解】（17-5）÷（6-4）=12÷2=6（个）4×6-5=19（棵）答：有6个同学,有19棵树.29．28人【详解】第二个条件可转化为：“每条长椅上坐7个人，则少21个人”，“多7人”与“少21人”两者相差(人)，每条长椅要多坐(人)，因此就知道，共有(条)长椅，人数是(人)．30．学生8人，苹果88个【详解】为什么第一次多8个，第二次不多也不少了呢？因为第二次每人多分了1个，所以有8÷1=8（人），苹果8×10+8=88（个）．专家点评：【点睛】盈亏问题，请注意体会差量分析的应用．31．一共有15辆汽车；980个学生。【分析】每车多坐5人，实际是每车可坐（人），恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人。因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？【详解】车数是（5＋5＋65）÷5＝75÷5＝15（辆），人数是65×15＋5＝975＋5＝980（人）或：（5＋65）×（15－1）＝70×14＝980（人）。答：一共有15辆汽车；980个学生。32．65名【分析】将人分给长椅，根据前两次的分配情况，先求出长椅数和人数，再求最后的问题。【详解】答：还剩下65名学生无座位。【点睛】本题的关键是利用盈亏问题求出总人数和长椅的数量，最后的问题是比较简单的。33．8件【详解】户数：（99-33）÷2=33（户）衣服：33×5+99=264（件）264÷33=8（件）答：每户应分8件可以不余。34．7只79个【分析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是（个），两次分配之差是（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：（只），老猴子有（个）桃子.【详解】（个）（个）由盈亏问题公式得，有小猴子：（只）老猴子有（个）桃子答：一共有7只小猴子，老猴子一共有79个桃子．35．乒乓球拍有90副，羽毛球拍180副【详解】因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如