近世代数课件

近世代数课件CATALOGUE目录引言群论基础环论基础域论基础应用举例01引言研究数、量、结构、变换以及结构等概念的数学分支。研究代数的结构、性质和分类的分支，是现代数学的重要分支之一。代数与近世代数近世代数代数近世代数的研究对象与内容研究对象代数的结构、性质和分类，以及代数与其他数学分支的联系。研究内容包括群、环、域等基本概念，以及这些概念在抽象代数、几何学、拓扑学等领域的应用。随着代数学的发展，人们开始研究代数的结构，近世代数逐渐形成。19世纪初群论的创立为近世代数的发展奠定了基础。19世纪中叶环论和域论的建立进一步丰富了近世代数的内容。20世纪初近世代数在各个领域的应用不断扩展，成为现代数学的重要分支之一。20世纪中叶至今近世代数的发展历程02群论基础群的定义群是一个非空集合，该集合中存在一种二元运算，满足封闭性、结合律、单位元存在和逆元存在。群的性质群具有封闭性、结合律、单位元存在和逆元存在等性质，这些性质是群的基本特征。群的定义与性质群的运算群中的元素可以通过某种二元运算进行组合，这种运算满足封闭性、结合律和交换律。群的性质群具有一些重要的性质，如幺半群、子群、正规子群、商群等，这些性质反映了群的结构特征。群的运算与性质两个群之间的映射，保持群的运算关系不变，称为群的同态。群的同态两个群之间的同态是双射的，则称这两个群同构。群的同构同态是两个群之间的单射或满射，而同构是两个群的同态是双射。同态与同构的关系群的同态与同构03环论基础一个非空集合R，其中定义了两种运算，加法和乘法，且满足一定的性质。环的定义封闭性、结合律、单位元存在、逆元存在等。环的性质环的定义与性质对于任意两个元素a,b∈R，它们的和记为a+b，满足交换律和结合律。环的加法运算环的乘法运算环的性质对于任意两个元素a,b∈R，它们的积记为a×b，满足结合律。环是一个封闭的代数系统，具有单位元和逆元，满足分配律。030201环的运算与性质两个环R和S之间的映射f:R→S，满足加法和乘法的映射性质。环的同态两个环R和S之间的双射f:R→S，满足加法和乘法的映射性质。环的同构在抽象代数中，同态和同构是研究环的重要工具，它们可以帮助我们了解环的结构和性质。同态与同构的应用环的同态与同构04域论基础域是一个非空集合，该集合中定义了两种运算（加法和乘法），且满足封闭性、结合律、交换律、分配律等基本性质。定义域是加法群和乘法群，具有零元和单位元，满足域公理系统。性质域的定义与性质运算域中的加法、减法和乘法运算满足封闭性、结合律、交换律、分配律等基本性质。性质域中的元素具有逆元，即对于任意非零元素a，存在唯一的逆元a^{-1}，使得a乘以a^{-1等于单位元。域的运算与性质域的扩张与分解如果一个域K包含另一个域F作为其子集，并且K在F上连续，则称K是F的扩张，或称F是K的子域。扩张如果一个域K可以分解为若干个子域的乘积，即K=F1×F2×…×Fn，则称K是可分解的。如果域K没有除了单位元以外的公因子，则称K是素数域。分解05应用举例03线性方程组的应用在数学、物理、工程等领域中，线性方程组被广泛应用于解决各种问题，如计算、建模、优化等。01线性方程组的基本概念线性方程组是由一组包含未知数的代数方程组成的，这些方程中未知数的系数是常数，并且方程的右边是常数。02线性方程组的解法通过消元法或代入法等方法，将线性方程组转化为单一方程，从而求解未知数。线性方程组的解法01多项式是由若干个单项式通过加减运算组成的代数式。多项式的基本概念02将一个多项式分解为若干个因式的乘积，这些因式称为多项式的因子。多项式的因式分解03在数学、物理、工程等领域中，多项式因式分解被广泛应用于解决各种问题，如计算、建模、优化等。多项式因式分解的应用多项式的因式分解分式域的构造与应用分式域是由有理数域通过添加某些特定的分式而形成的域。分式域的构造通过添加特定的分式，可以得到不同的分式域，如实数域、复数域等。分式域的应用在数