2023届安徽合肥寿春中学高考数学试题命题比赛模拟试卷三

2023届安徽合肥寿春中学高考数学试题命题比赛模拟试卷（3）

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某个命题与自然数”有关，且已证得“假设〃时该命题成立，则〃=攵+1时该命题也成立”.现已知当

〃=7时，该命题不成立，那么（）

A.当〃=8时，该命题不成立B.当”=8时，该命题成立

C.当〃=6时，该命题不成立D.当〃=6时，该命题成立

2.欧拉公式为*=cosx+/sinx,（i虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，

建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e至表

示的复数位于复平面中的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）

(31)(一)

4.已知复数2=（i为虚数单位），则下列说法正确的是（

A.z的虚部为4B.复数二在复平面内对应的点位于第三象限

C.z的共匏复数三=4一2,D.回=26

5.若函数/（尤）=0?+3/+。在*=1处取得极值2,则。一6

6.已知集合A={x|1<XW24},8==,,则6AB=(

y—x2+6x—5

A.{x|x>5)B.{x15<x<24)

C.{x|xWl或x25}D.{x15<x<24}

7.函数/■（尤）==_（其中e是自然对数的底数）的大致图像为（）

\-e'

8.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登

山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村

汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：

甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；

乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；

丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；

事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）

A.甲走桃花峪登山线路B.乙走红门盘道徒步线路

C.丙走桃花峪登山线路D.甲走天烛峰登山线路

9,若各项均为正数的等比数列｛%｝满足%=34+2/,则公比4=（）

A.1B.2C.3D.4

10.已知集合4={-2,-1,0,1},B^{x\x2<a2,aeN*},若A=则。的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

（X—1）3xV]

II.已知函数={,若/3）>/S）,则下列不等关系正确的是（）

Inx,x>1

11

"«2+1</?2+1B.\[a>y/b

2

C.a2<ab.ln(〃+1)>ln,+1)

12.记〃个两两无交集的区间的并集为“阶区间如（-8』U［2,3］为2阶区间，设函数/（力=哂，则不等式

/江（力］+340的解集为（）

A.2阶区间B.3阶区间C.4阶区间D.5阶区间

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/（力=/-4%-4.若/（%）＜1在区间（〃2-1,一2相）上恒成立.则实数机的取值范围是.

14.如图所示，平面BCGB」平面ABC,ZABC=120°,四边形BCGBi为正方形，且AB=BC=2,则异面直线BG

与AC所成角的余弦值为.

/

15.若函数/（%）=/为奇函数，则。=.

16.点■是曲线y=31nx+%+攵（ZeR）图象上的一个定点，过点外的切线方程为4x-y-1=0,则实数《的值

为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（%）=|%+1|-2|%—。］,4＞0.

（1）当。=1时，求不等式〃x）＞l的解集；

（2）若/（幻的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求。的取值范围.

元2v21

18.（12分）已知椭圆。:=+々=1（。＞8＞0）的左顶点为4,左、右焦点分别为E,离心率为一，P是椭圆上

a-b~2

的一个动点（不与左、右顶点重合），且△尸耳鸟的周长为6,点P关于原点的对称点为。，直线AP,Q&交于点M.

（1）求椭圆方程;

若直线与椭圆交于另一点,且△"训，求点的坐标.

(2)PF2NS52M=4sP

19.(12分)如图，已知四棱锥P-A3CD,P4_L平面ABC。，底面ABC。为矩形，AB=3,AP=4,E为PD的

中点，AE1PC.

(1)求线段AD的长.

(2)若M为线段3c上一点，且BM=1，求二面角M-PD-A的余弦值.

20.(12分)已知函数/(x)=|x-〃?|-|x+2]不等式〃工一2)?0的解集为(-8,4].

(1)求加的值；

(2)若a>0,b>0>C>3,a+2b+c=2m,求(a+1)伍+l)(c-3)的最大值.

21.(12分)设函数/(x)=|x+a|+|x-1,

(1)当4=1,b=2,求不等式/(X)»6的解集；

(2)已知a>0,b>0,/'(%)的最小值为1,求证：-----+------>-.

''2<7+12b+l4

22.(10分)某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次，满400

元可以抽奖两次，依次类推).抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同

的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次

大(如1,2,5),则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖，奖金

20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.

(1)某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；

(2)赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为6()元的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

写出命题“假设〃=人,eN")时该命题成立，则〃=左+1时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真

假性一致进行判断.

【详解】

由逆否命题可知，命题“假设〃=左伏eN*)时该命题成立，则〃=攵+1时该命题也成立”的逆否命题为“假设当

n=k+l(keN*)时该命题不成立，则当〃=攵时该命题也不成立”，

由于当〃=7时，该命题不成立，则当〃=6时，该命题也不成立，故选：C.

【点睛】

本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查

逻辑推理能力，属于中等题.

2、A

【解析】

计算gLeos工+isin2=』+且i，得到答案.

3322

【详解】

根据题意e',=cosx+isinx，故=cos工+isin工=，表示的复数在第一象限.

3322

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.

3、B

【解析】

根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.

【详解】

由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2

所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，

所以该正三棱柱的侧面积为3x2x2=12

故选：B

【点睛】

本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三

视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.

4、D

【解析】

利用i的周期性先将复数z化简为z=T+2i即可得到答案.

【详解】

4i+24i+24i+2

因为i2=_i，广=1，i5=i，所以i的周期为4,故2=五而R=—v-=一=—4+2i,

11-1

故，的虚部为2,A错误；z在复平面内对应的点为(T,2),在第二象限，B错误；z的共

物复数为三=T—2i，C错误；［z|=Je+22=2石,D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共辑复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.

5、A

【解析】

"()=0

对函数/(x)求导，可得二、.,即可求出a,b，进而可求出答案.

J⑴=2

【详解】

、，,"*l)=3a+6=0,

因为/(无)=0?+3%2+3所以/，(幻=3女2+6口则1：°,解得。=-2/=1,则。一匕=-3.

/⑴=4+3+。=2

故选:A.

【点睛】

本题考查了函数的导数与极值，考查了学生的运算求解能力,属于基础题.

6、D

【解析】

首先求出集合8,再根据补集的定义计算可得；

【详解】

V-%2+6x-5>0)解得1cx<5

B={x11<x<5},dAB={x|5<x<24}.

故选：D

【点睛】

本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.

7、D

【解析】

由题意得，函数点定义域为xeR且XHO,所以定义域关于原点对称，

1+J

且/（一月二二:=-^=一!二=一/（幻，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，

l—e।__£1—e

7

故选D.

8、D

【解析】

甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线，由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的，再分情况讨论即可.

【详解】

若甲走的红门盘道徒步线路，则乙，丙描述中的甲的去向均错误，又三人的陈述都只对一半，则乙丙的另外两句话“丙走红

门盘道徒步线路”，“乙走红门盘道徒步线路”正确，与“三人走的线路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路''错误，“甲走天烛峰登山线路''正确.乙的话中

“甲走桃花峪登山线路”错误，“丙走红门盘道徒步线路”正确.

综上所述,甲走天烛峰登山线路，乙走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路

故选：D

【点睛】

本题主要考查了判断与推理的问题，重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论，属于基础题型.

9、C

【解析】

由正项等比数列满足4=3q+2a2,即《/=34+249,又%R0,即/一2°-3=0,运算即可得解.

【详解】

解：因为弓=3卬+24,所以=3。］+2qg,又。尸0,所以g?-2q-3=0,

又q>0,解得q=3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.

10、B

【解析】

解出x2<分别代入选项中«的值进行验证.

【详解】

解：Vw",..「aWxWa.当“=1时,8={-1,0,1},此时A=8不成立.

当。=2时,8={-2,—1,0,1,2},此时AaB成立，符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.

11、B

【解析】

利用函数的单调性得到。，匕的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.

【详解】

•••/(X)在K上单调递增，且/3)>/(加，.•.〃>〃.

•••&口的符号无法判断，故/与/，/与出，的大小不确定，

对A,当a=l,b=-1时，，二=一二，故A错误；

对C,当时，CT=l,ab=-l,故C错误；

对D,当a=l1=-1时，ln(a2+l)=ln(〃+l),故D错误；

对B,对a>6,则五>班,故5正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算

求解能力，属于基础题.

12、D

【解析】

可判断函数为奇函数，先讨论当x〉0且xwl时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应

常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解

【详解】

当x>0且xH1时，/'(力=黑孑.令/'(x)=()得x=e.可得/(力和/■(%)的变化情况如下表:

X%—>0(0,1)(l'e)e(e,+oo)

/'(X)/——0+

/(X)/(x)f0eA

令f(x)=f,则原不等式变为4-3,由图像知的解集为&,-1)[/.„1),再次由图像得到

/(x)€(-oo,fj_4,-1)匕,1)的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D

【点睛】

本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想,

属于难题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

i3'H)

【解析】

首先解不等式〃X)<1,再由/(x)<l在区间(加―1,一2M上恒成立，即(帆-1,一2〃?)[(一1,5)得到不等组，解得即

可.

【详解】

解：/(x)=f—4x—4且即M—4万一4<1解得一l<x<5,BPXG(-1,5)

因为/(%)<1在区间(加一1,一2加)上恒成立,，(加一1,一2附口一1,5)

-1<m-1

...<加一1<一2加解得0<x<，即

-2m<5

故答案为：0,1j

【点睛】

本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.

14、巫

4

【解析】

将AC平移到和BC,相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.

【详解】

过B作3O//AC,过C作CD//A8,画出图像如下图所示，由于四边形ABCO是平行四边形，故BO//AC,所

以NCfO是所求线线角或其补角.在三角形BCQ中，忸。=£q=2及,80=26,故

cos"BD='反黑一8

2x272x2734

【点睛】

本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

15、-2

【解析】

由/(X)是定义在R上的奇函数,可知对任意的x,/(-X)=-/(%)都成立，代入函数式可求得。的值.

【详解】

由题意,“X)的定义域为R,f(X)=V+-^―=Y[1+

2+1I2+1J

/(x)是奇函数，则八一幻=一/(幻,即对任意的》,(一耳21+；^；=-/1+二•都成立，

V2+1JI2+1；

故1+生一整理得a+2=0,解得“=-2.

故答案为：-2.

【点睛】

本题考查奇函数性质的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

16、1

【解析】

求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点《横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得女.

【详解】

设《(x,y),

由题意y'=23+l,，3±+1=4,x=l,y=4xl—1=3,即4(1,3),

xx

.•.3=31nl+l+A,k=2.

故答案为：L

【点睛】

本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值.本题属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17>(I){x|-<x<2}(II)(2,+oo)

【解析】

试题分析：

(I)由题意零点分段即可确定不等式的解集为<x<21；

2,

(H)由题意可得面积函数为为1(。+1)9-,求解不等式§(。+1)一>6可得实数a的取值范围为(2,+»)

试题解析：

(/)当a=l时，/(x)>l化为|x+l|-2卜一1|一1>0,

当xW-l时，不等式化为x—4>0,无解；

2

当—Ivxvl时，不等式化为3x—2>0,解得?<xvl；

当xNl时，不等式化为-x+2>0,解得1WX<2.

所以〃x)>l的解集为卜母。，.

x—1—2a,x<-1,

(II)由题设可得，〃x)=<3%+1—2。,一1<x<a,

-x+1+2a,x>a,

2〃1A

所以函数/(x)的图像与X轴围成的三角形的三个顶点分别为A——,0j,8(2a+l,0),C(a,a+1),

22

AABC的面积为§(a+l)"

20

由题设得g(a+l)->6,故a>2.

所以"的取值范围为(2,+8)

、

x2y2fl3⑸JI3亚

18、(1)—+^-=1；(2)或广

434J

【解析】

(1)根据△P6K的周长为2a+2c,结合离心率，求出“，c,即可求出方程;

(2)设P(，〃,“)，则Q(一加，-〃)，求出直线AM方程，若QF2斜率不存在，求出M,P,N坐标，直接验证是否满足题

意,若。鸟斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点用坐标，根据和P,鸟,N三点

共线，将点N坐标用加，"表示，RN坐标代入椭圆方程，即可求解.

【详解】

(1)因为椭圆的离心率为:，片的周长为6,

2。+2c=6,

c_1

设椭圆的焦距为2c,贝！|

a~2"

b2+c2^a2,

解得a=2,c=l,b-百,

r2v2

所以椭圆方程为土+二=1.

43

(2)设则V-+°=l,且Q

43

n

所以AP的方程为y=——(x+2)①.

777+2

若优=-1,则QF2的方程为x=l②，由对称性不妨令点P在x轴上方,

x=1,Z

(3，。一(9

则P-1,—,联立①，②解得〈9即ML

I27y=291

3

尸入的方程为了=-；*-1),代入椭圆方程得

.9、

3小尸-1>=12,整理得7/-613=。，

1313_9_

了二-1或1=一，：,N

7T'一瓦

19…，

S—X—x|AF2I

产丝=于［--------=7*4,不符合条件.

s△他Nlx—x|AF,I

214

若相。一1,则QA的方程为y=—

-m-\

n

即y=(x-1)③.

m+1

"=3〃?+4，所以加(3机+4,3〃).

联立①，③可解得

y=3n,

因为S/XAF2M=4s△伍可，设N(*N，Mv)

所以;x|AK冈加|=4xgx|A玛冈外|,即|yM|=4|wh

又因为M,N位于x轴异侧，所以旷囚二一日

因为P,g,N三点共线，即F2P应与"N共线,

3〃

F2P=(m-\,ri),F2N=(xN-1,-y)

7-3m

4

+炉=1,

3

2

所以(§—〃228回4a1山1、13>/5

I-nr--，解得m=~9所以〃=±-----9

924

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.

19、(1)AO的长为4(2)立

3

【解析】

(1)分别以A8,AP,4D所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A一盯z,

设A£)=r,根据向量垂直关系计算得到答案.

(2)计算平面的法向量为〃=(1,1,1),AB=(3,0,0)为平面PD4的一个法向量，再计算向量夹角得到答案.

【详解】

(1)分别以A8,AP,A。所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

设AD=f,则A(0,0,0),E(0,2,3J,C(3,0/),P(0,4,0),

所以AE=[o,2,：),PC=(3,—4,f).,因为AELPC,所以AE-PC=()，

即16—尸=0,解得。=4,所以AO的长为4.

(2)因为BM=1，所以"(3,0,1),又尸(0,4,0),。(0,0,4),

故OP=(0,4,-4),OM=(3,0,-3).

n_LDP,[4_y—4z=0,

设"=(x,y,z)为平面DA在的法向量，贝！J即..八

n1DM,[3x-3z=0,

取z=l,解得y=l,x=l.

所以/7=(1,1,1)为平面OMP的一个法向量.

显然，AB=(3,0,0)为平面PD4的一个法向量,

n-AB_3_V3

则cos〈〃,46〉

|〃||3a+1+1-3

a

据图可知，二面角加一尸。-4的余弦值为

3

【点睛】

本题考查了立体几何中的线段长度，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20、(1)m=6(2)32

【解析】

(1)利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集，得到关于机的方程，求出〃?的值即可；

⑵由(1)知m=6可得,a+M+c=12,利用三个正数的基本不等式a+b+c>3病:，构造和是定值即可求出

(a+l)(Hl)(c-3)的最大值.

【详解】

(1)V/(x)=|x-;n|-|x+2|,

/(x-2)=|x—z/7—2|—|x-2+2|,

所以不等式/(工一2)20的解集为(―,4],

即为不等式\x-m-2\-\x\>0的解集为(―，4],

区的解集为(-00,4],

即不等式(X—加-2)22/的解集为(-8,4],

化简可得,不等式(〃?+2)(加+2-2力20的解集为(7,4],

所以‘"+2=4,即m=6.

2

(2)•:m=6,a+2b+c=\2.

又丁。〉。，b>0,c>3,

(a+l)(26+2)(c-3)

:.(tz+l)(/?+l)(c-3)=

2

1(。+1)+(2〃+2)+(。-3)_1(a+2b+cV_1(12Y_

司3J=2[J}=32

当且仅当。+1=抄+2=。-3,。+力+。=12等号成立，

即。=3,6=1,c=7时，等号成立，

.•.(a+l)(b+l)(c-3)的最大值为32.

【点睛】

本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a+b+c>3质的灵活运用;其中利用

a+2b+c=12构造出和为定值即(a+1)+(»-2)+(c-3)为定值是求解本题的关键;基本不等式a+b>2而取最值

的条件:一正二定三相等是本题的易错点；

属于中档题.

x|xK-|或xN：1；(2)证明见解析

21>(1)

【解析】

⑴将“X)化简，分类讨论即可;

⑵由⑴得"X,=1+行4*1<罚1收4、“+1)+(2"1)],展开后再利用基本不等式即可.

【详解】