江西省新余市2022-2023学年高三上学期期末质量检测数学（文）试题（含解析）

新余市2022—2023学年度上学期期末质量检测高三数学试题卷（文科）命题人：新余四中彭晨艳渝水一中邬刚安审题人：刘勇刚说明：1.本卷共有三个大题，23个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数（为虚数单位），则（）A. B.2 C. D.5【答案】A【解析】【分析】先由题给条件求得复数的代数形式，再利用复数模的定义即可求得的值【详解】，则故选：A.2.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件及必要条件定义结合向量平行坐标表示判断即可.【详解】若，则，所以；若，则，解得，得不出.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.3.已知集合A＝{x∈R|8}，B＝{y|y}，则A∩B＝A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】由，得，即.由，得；由，得.A＝{x|﹣1＜x2﹣2x＜3}＝{x|﹣1＜x＜3且x≠1}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝[0，1）∪（1，3）．故选：D．【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式计算.【详解】故选：B5.设实数满足约束条件，则的最大值为（）A.0 B.2 C. D.5【答案】D【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，根据平移知当时，有最大值为.故选：D.6.函数在区间上图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后代入计算，从而得正确答案.【详解】，

为奇函数，排除A；又，排除B；，即，排除C，故选：D7.若双曲线E：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣4）2+y2＝16所截得的弦长为4，则E的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay＝0，由圆心到直线的距离公式可得d，再利用勾股定理，半弦长和点到直线的距离，和半径的关系得到弦长为即可求出.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay＝0，则圆心（4，0）到该直线的距离d，由题意可得弦长为：，即，得，即离心率∴E的离心率为2．故选：A．【点睛】本题考查圆与双曲线的综合，考查点到直线距离公式的应用及圆的弦长计算，属于一般题.8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（）A.20 B. C.27 D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形的外接圆周长求出外接圆半径，根据同角三角函数关系求出，从而得到的长，结合及正弦定理得到，从而得到三角形周长.【详解】设的外接圆半径为，则，解得：，因为，由，，可得，，所以，，因为，由正弦定理可得：，所以的周长为.故选：D.9.已知点在直角斜边上，若，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，则可用表示，从而可求其范围.【详解】设，其中，则，从而，故，故选：D.10.已知函数，则下列命题中正确的个数是（）①函数在是周期函数②函数在上严格增③函数在取得最大值0，且无最小值④若方程有且仅有两个实根，则A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】做出的图像,由图像对各选项进行判断即可.时,,可由的图像作关于轴的对称图像,再向上平移一个单位得到.当时,故是周期为的周期函数,图像可由时,向右平移一个单位得到,根据周期函数的性质即可得到图像.【详解】的图像如图所示:对于①,因为,,可得所以函数在上不是周期函数,故①不正确;对于②,当,结合函数图像可知,函数在区间,上单调递增,故②正确;对于③,通过图像可知，当时，取得最大值，且无最小值，故③正确;对于④,如图所示,图中两条曲线对应的分别为和,故方程为,有且只有两个实根,则,故④正确.故选:C.11.2022年卡塔尔世界杯称之为史上最豪的一届的世界杯，其足球场建设地美轮美奂，下图是2022年卡塔尔世界杯第六座完建球场阿图玛玛球场，其形状可近似看成底面直径240米，高50米的圆柱体内切出一个底面棱长为120米的正四棱台，其俯视图如图所示，则圆柱除去四棱台后剩余部分的体积约为多少立方米（）参考数据：，，棱台体积公式：A.602400 B.1204800 C.1807200 D.301200【答案】B【解析】【分析】依题意得到正四棱台的上、下底面边长，再根据圆柱、棱台的体积公式计算可得.【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径米，高米，正四棱台下底面为边长为米的正方形，上底面为边长为米的正方形，高米，所以圆柱的体积立方米，正四棱台的体积立方米，所以剩余部分的体积立方米.故选：B12.已知函数，，若与图像的公共点个数为，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】对于A，根据函数与方程的关系，两函数作差构造新函数，利用导数研究其零点个数，可得答案；对于B，由题意，作图，可得函数在处相切，可得方程，结合三角恒等式，可得答案；对于C，由题意，作图，根据对称性以及公共点所在区间，可得答案；对于D，利用三角函数的值域与周期性，可得答案.【详解】对于A：当时，令，则，即函数在定义域上单调递减，又当时，所以函数有且仅有一个零点为，同理易知函数有且仅有一个零点为，即与也恰有一个公共点，故A错误；对于B：当时，如下图：易知在，且，与图象相切，由当时，，则，，故，从而，所以，故B正确；对于C：当时，如下图：则，，所以，又图象关于对称，结合图象有，即有，故C错误；对于D：当时，由，与的图象在轴右侧的前个周期中，每个周期均有个公共点，共有个公共点，故D错误.故选：B.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）13.抛物线的焦点到准线的距离是_________________.【答案】2【解析】【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.14.已知正数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】通过等式变换，在将构造基本不等式的形式，利用基本不等式求解即可【详解】因为正数，满足，则由，当且仅当即，时等号成立，即的最小值为．故答案为：．15.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】根据函数图象的平移变换和三角恒等变换公式结合三角函数的图象性质即可求解.【详解】由题可知，，所以当时，的最大值为．故答案为：.16.在新冠疫情政策改变后，某社区统计了核酸检测为阳性人数，用表示天数，表示每天核酸检测为阳性的人数，统计数据如下表所示：1234567611213466101196根据散点图判断，核酸检测为阳性的人数关于天数的回归方程适合用来表示，则其回归方程为______.参考数据：设，，，参考公式：对于一组数据，，….其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】【解析】【分析】由题可得，然后根据最小二乘法即得.【详解】由，可得，设，则，因为，，，所以，，所以，所以.故答案为：.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足的前项和为，求证:．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的定义求解即可；（2）利用裂项相消求和即可.【小问1详解】设的首项为，公差为，根据，，成等比数列，可得，又，可得方程组，即，又，解得，故．【小问2详解】，所以因为，所以．所以．18.自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入到绿色运动“健步走”行列以提高自身的健康水平与身体素质．某调查小组为了解本市不同年龄段的市民在一周内健步走的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，部分结果如下表所示，其中一周内健步走少于5万步的人数占样本总数的岁以上（含45岁）的人数占样本总数的．一周内健步走万步一周内健步走万总计45岁以上（含45岁）9045岁以下总计200（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关;（2）现从样本中45岁以上（含45岁）的人群中按一周内健步走的步数是否少于5万步用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，求抽取的2人中恰有一人一周内健步走步数不少于5万步的概率．附：0.1500.1000.0500.0252.0722.7063.8415.024，其中．【答案】（1）表格见解析，有的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年軨有关（2）【解析】【分析】（1）根据计算卡方值判断即可；（2）根据求得8人中步数少于5万步的为2人，不少于5万步的为6人，再根据古典概型的公式计算即可．【小问1详解】解：由题意得，总人数为200，45岁以上（含45岁）的人数为，45岁以下的人数为80．一周内健步走少于5万步的人数为，由此得如下列联表：一周内健步走5万步一周内健步走<5万总计45岁以上（含45岁）903012045岁以下503080总计14060200故，有的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年軨有关．【小问2详解】解：记“抽取的2人中恰有一人一周内健步走步数不少于5万步”为事件C，∵步数少于5万步的人数与不少于5万步的人数比为，∴8人中步数少于5万步的为2人，不少于5万步的为6人∴．19.如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.（1）证明：平面；（2）若四边形是正方形，，求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）欲证明平面，只需证明平行于平面内的一条直线即可；（2）欲证明平面平面，只需证明其中的一个面经过垂直于另一个面的直线即可.【小问1详解】易知分别为的中点，是的中位线，，平面平面，平面；【小问2详解】底面平面，又平面，且，平面，又平面，四边形是正方形，，平面，平面，又平面平面平面.20.如图，已知椭圆：经过点，、为椭圆的左右顶点，为椭圆的右焦点，．（1）求椭圆的方程；（2）已知经过右焦点的直线（不经过点）交椭圆于、两点，交直线：于点，若，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由结合求出，再由给定的点求解作答.（2）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式计算作答.【小问1详解】依题意，，，令右焦点，则，，由，得，而，则，由椭圆过点，得，有，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，，依题意，直线斜率存在，设直线：，，，由消去并整理得：，则，，显然，，解得，点，则有，所以直线的斜率为.【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.21.已知．（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答.（2）根据给定条件，求出a的取值范围，将用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答.【小问1详解】函数定义域为，依题意，，成立，即，成立，而当时，，因此，而时，不是常数函数，于是得，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由（1）知，，因有两个极值点，则，即有两不等正根，于是得，有，，，令，，，显然函数在上单调递增，而，因此，使得，即，当时，，当时，，于是得在上单调递减，在上单调递增，，显然在上单调递增，则，因此，即有，所以.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理，本题的关键点在于转化成新函数的最值问题后，需要通过隐零点代换，进而求出函数的最值，使问题得到解决.以下为选做题：请考生从第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，若，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把极坐标方程转换为直角坐标方程．

（2）将直线​的参数方程代入曲线​的方程，利用韦达定理和参数的几何意义，代入