黑龙江齐齐哈尔市部分地区2022-2023学年高三上学期1月期末考试数学试题（含解析）

齐齐哈尔市部分地区高三上学期期末考试数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，，则集合中元素的个数为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】利用交集的性质得出，从而得到集合元素个数．【详解】即集合中共有3个元素．故选C．【点睛】解决本题的关键是找出集合A与集合B共有的元素，即可得到中的元素．2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先通过复数除法将，化简为，再利用复数相等求解.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查复数的基本运算和复数相等，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（）A.35 B.75 C.155 D.315【答案】C【解析】【分析】构造等比数列模型，利用等比数列的前项和公式计算可得结果.【详解】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，所以，，因此前5天所屠肉的总两数为.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列模型，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.4.平面向量，则与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示求出，再利用夹角公式求解作答.【详解】向量，则，即，因此，而，则，所以与的夹角是.故选：C5.现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（）种.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，②，将6名女生全排列，排好后有7个空位，③，将分好的2组安排到7个空位中，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，有种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有种，②，将6名女生全排列，有种情况，排好后有7个空位，③，将分好的2组安排到7个空位中，有种情况，则不同的排法有种，故选：D．6.已知函数的图象的相邻两个零点的距离为，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据函数图象相邻两个零点的距离为，求出周期，算出的值，再根据求出的值，即可得到答案.【详解】因为函数的图象的相邻两个零点的距离为，所以，所以，所以，又因为，所以，解得，因为，所以，所以.故选：B.7.已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为10，则这个球的表面积是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，从而可得球心在过中点与面垂直的直线上，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，由四面体体积的最大值为10，求出，再利用勾股定理求出球的半径，从而可求出球的表面积【详解】解：由，可得，所以，则球心在过中点与面垂直的直线上，因为面积为定值，所以四面体的高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，因为四面体的最大体积为10，所以，可得，在中，，所以，得，所以球的表面积为，故选：B．【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②可以转化为长方体的外接球；③特殊几何体可以直接找出球心和半径；④设球心（在过底面多边形外接圆圆心与底面垂直的直线上），利用待定系数法求半径.8.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，进而可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】等价于．令函数，则，故是增函数．等价于，即．令函数，则．当时，，单调递增：当时，，单调递减．.故实数a的取值范围为．故选：C.二、多选题（每题5分，共20分，漏选得2分，错选不得分）9.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（）A.函数是偶函数B.x＝－是函数的一个零点C.函数在区间上单调递增D.函数的图象关于直线对称【答案】BCD【解析】【分析】首先求出的解析式，然后根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，对于A选项，令，则，，故函数不是偶函数，A不正确；对于B选项，因为，故是函数的一个零点，B正确；对于C选项，当时，，所以函数在区间上单调递增，C正确；对于D选项，因为对称轴满足，解得，则时，，所以函数的图象关于直线对称，D正确.故选：BCD.10.若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（）A.a的值为-2 B.乙组样本数据的方差为36C.两组样本数据的样本中位数一定相同 D.两组样本数据的样本极差不同【答案】ABD【解析】【分析】结合平均数、方差、中位数、极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果.【详解】由题意可知：，故，故A正确；乙组样本数据方差为，故B正确；设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；甲组数据极差为，则甲组数据的极差为，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确；故选：ABD.11.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（）A.当E点运动时，总成立B.当E向运动时，二面角逐渐变小C.二面角的最小值为D.三棱锥的体积为定值【答案】ACD【解析】【分析】证明平面即可判断A；二面角即是二面角，即可判断B；建立坐标系利用向量法即可判断C；求出三棱锥的体积可判断D，进而可得正确答案.【详解】对于A：因为，，，所以面，因为面，所以，同理可证，因为，所以平面，因为平面，所以总成立，故选项A正确；对于B：平面即平面，而平面即平面，所以当向运动时，二面角大小不变，选项B不正确；对于C：建立如图所示的空间几何体，则，，因为在上，且，故可设，，设平面法向量为，又，所以，取，则，平面的法向量为，所以，设二面角的平面角为，则为锐角，故，当，故，所以，当且仅当时取最大值即取最小值，故C正确；对于D：因为，点到平面的距离为，所以体积为，即体积为定值，故选项D正确．故选：ACD.12.下列说法正确的有（）A.若，则最大值是B.若，，都是正数，且，则的最小值是3C.若，，，则的最小值是2D.若实数，满足，则的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用换元法，设，，可将原式化简为，结合基本不等式，可得答案．【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确；对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，所以，当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；对于D，，设，，∵，当且仅当，即时，取等号∴则的最大值为，故D正确．故选：ABD.三、填空题（每题5分，共20分）13.在某项测量中，测得变量．ξ在内取值的概率为，则ξ在内取值的概率为______．【答案】0.4##【解析】【分析】根据题意和正态分布曲线的性质可知曲线的对称轴是，即可求解.【详解】因为ξ符合正态分布，所以曲线的对称轴是，因为ξ在内取值的概率为0.8，所以ξ在内取值的概率为0.4．故答案为：0.4.14.函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则a＝_____．【答案】【解析】【分析】函数求导，利用切点处导数值求出a的值．【详解】解：由题意得：．又∵切线与直线垂直，故切线斜率．∴，∴．故答案为：．【点睛】函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率．相应地，切线方程为．特别地，如果曲线在点处的切线垂直于轴，则此时导数不存在，由切线定义可知，切线方程为.15.过直线：上任意点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，△PAB的面积为_______．【答案】【解析】【分析】依据题意作出图形，如图，由于,所以当取最小值时，最小，此时与直线垂直，利用点到直线的距离公式可求出的长，从而可得的值，由圆的对称性和切线长定理可知，，从而可求出△PAB的面积【详解】依据题意作出图形，如下图：因为直线过点且与圆相切于点A，所以，所以，要使得最小，则要最小，由题可得：的最小值就是点到直线的距离．此时，，所以由切线的对称性可得：所以△PAB的面积为，故答案：【点睛】本题主要考查了圆的切线长公式及圆的有关性质，考查转化能力及计算能力，还考查了点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于中档题．16.抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【详解】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．【点睛】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.等差数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列基本量求出通项公式；（2）利用等差数列前项和公式求出，代入已知求出，对裂项,通过裂项相消求和可解.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以.（2）由（1）可求得，所以，则，所以.【点睛】本题考查等差数列通项公式及用裂项法求和.（1）等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式和前项和公式，在两个公式中共涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．用裂项法求和的裂项原则及规律:(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求B；（2）若的面积等于，求的周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解；（2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】解：因为，所以，因为，所以，所以，∵，所以，所以，∴；【小问2详解】解：依题意，∴ac＝4，所以，当且仅当时取等号，又由余弦定理得，∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以的周长最小值为．19.某机构为研究某种图书每册的成本费（单位：元）与印刷数量（单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．15.253630.2692085.5－230.30.7877.049表中（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费（单位：元）与印刷数量（单位：千册）的回归方程（只要求给出判断，不必说明理由）．(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程．（回归系数的结果精确到0.01）(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元？（假设能够全部售出，结果精确到1）附：对于一组数据（…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．【答案】（1）见解析；（2）．（3）10千册．【解析】【详解】（1）由散点图判断，适宜作为每册成本费与印刷册数的回归方程．（2）令，先建立关于的线性回归方程，∵，∴，∴关于的线性回归方程为，从而关于的回归方程为．（3）假设印刷千册，依题意，，即，∴，∴至少印刷10千册．20.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PA的中点，PA＝PD＝．（1）求证：PC∥平面BMD；（2）求二面角M－BD－P的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】连接AC交BD于N，连接由三角形中位线知MN∥PC即得证；取AD的中点O，连接OP，说明OP、OD、ON两两相互垂直，则分别以OD、ON、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求出二面角的大小.【小问1详解】连接AC交BD于N，连接在正方形ABCD中，，∴N是AC的中点.又M是AP的中点，∴MN是的中位线，，∵面BMD，面BMD，∴∥平面BMD，【小问2详解】取AD的中点O，连接OP，在中，，O是AD的中点，∴，又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴平面在正方形ABCD中，O，N分别是AD、BD的中点，∴，∴OP，OD，ON两两相互垂直，分别以OD，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，∴，，设平面MBD的一个法向量，则，即取，得，∴是平面MBD的一个法向量：同理，是平面PBD的一个法向量，∴，设二面角的大小为，由图可知，，，且为锐角，∴，故二面角的大小是21.如图，已知抛物线的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为1．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|·|NF|的最小值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）由抛物线C上的点到准线的最小距离为1，所以，即可求得抛物线的方程