河北省唐山市邯郸市等2地2022-2023学年高三上学期期末数学试题（含解析）

河北省2023届高三年级质量监测考试数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】化简计算出，进而得到，得到所在象限.【详解】，故，故对应的点坐标为，在第二象限.故选：B2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由可得，所以，故选：C3.已知向量，，则等于（）A.52 B. C. D.76【答案】B【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】，所以，故选：B4.风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱．某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作．则所有鳞片中竹质鳞片个数为（）A.120 B.124 C.128 D.130【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析碳杆材质的鳞片和竹质鳞片之间的规律，再假设有个碳杆材质的鳞片，分析可得的不等式，求出的值，分析可得答案.【详解】根据题意，分析可得：第个碳杆材质的鳞片和第个碳杆材质的鳞片之间有个竹质鳞片，假设有个碳杆材质的鳞片，则，化简为①，如果只有个碳杆材质的鳞片，则骨架总数少于所以，化简为②，联立①②，又,解得，即需要个碳杆材质的鳞片，故需要个竹质鳞片.故选：5.如图直角梯形中，，且，以为轴旋转一周，形成的几何体中截一正四棱台的最大体积为（）A. B. C.7 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，旋转形成的几何体是圆台，从圆台中截一最大体积的正四棱台，求出上下底面的边长和高，根据棱台的体积公式计算出体积.【详解】直角梯形，以为轴旋转一周，形成的几何体是上底面半径为1，下底面半径为2，高为1的圆台，该圆台中截取的最大体积的正四棱台如图，上底面边长为，下底面边长为，高为1，所以正四棱台的最大体积为：.故选：B.6.下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据残差的特点，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．即可得到答案．【详解】用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，显然D选项的拟合精度最高.故选：D.7.由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】运用二面角的定义和直角三角形的勾股定理、三角形的余弦定理，化简整理可得结论.【详解】如图，，，在上取一点，过在平面内作，交于，过在平面内作，交于，连接，则是二面角的平面角，即.设，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，在中，，在中，，即为，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二面角的定义结合三角函数表示出相关线段的长，最后根据余弦定理有，再代入计算整理即可.8.已知函数有两个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】易知函数与函数互为反函数，则问题可等价于在上有两个根，设，利用导数研究函数的取值情况，即可得到答案.【详解】令，则，注意函数与函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，则要使函数有两个零点，只需与直线有两个交点即可，即关于的方程有两个根，即在上有两个根，设，则，易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，且时，，当时，，故，故选：A．二、不定项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可利用单调性逐一求解.【详解】由于，所以，故，A不正确，设，则，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，因此，即，故B正确，，C正确，由于所以，，故D错误，故选：BC10.已知抛物线：的焦点为，直线（且）交与、两点，直线、分别与的准线交于、两点，（为坐标原点），下列选项错误的有（）A.且，B.且，C.且，D.且，【答案】ACD【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，得，设,，,，由韦达定理可得，，,，,，，，再由向量的数量积逐一判断．【详解】由，可得，设，,，则，，，，直线的方程为，由，可得，同理可得，所以,，,，，，对于A，,,，,,，只有当时，，此时，直线与轴垂直，不存在斜率，不满足题意，所以，，故A错误；对于B，因为,,，,,，故B正确；对于C，由B得，而，所以，故C错误；对于D，由C可知不存在且，使成立，故D错误．故选：ACD．11函数，则（）A.的最小正周期为 B.为偶函数C.的最小值为 D.在区间单调递增【答案】BC【解析】【分析】直接利用函数的周期性，奇偶性，单调性及最值的相关性质对各选项进行判定.【详解】对选项A，由，可知为的一个周期，故选项A错误；对选项B，由得，其中，定义域为且，，关于原点对称，，又，所以，所以为偶函数，从而为偶函数，故选项B正确；对选项C，令，则，且则，，令，，则，令，可得，则在单调递增，令，可得，则在单调递减，故的最小值为，故选项C正确；对选项D，由于，故在区间内不单调，故选项D错误，故选：BC.12.已知函数，则（）A.时，B.时，单调递增C.时，有两个极值点D.若有三个不等实根，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A，举反例即可判断；对于B，利用函数的导数，当时，进行判断；对于C，结合选项B可知，当时，有两个不同的解；对于D，是一个根，当时，由，可得，令，结合偶函数的性质进行判断.【详解】对于A，当时，，此时，此时，故A错误；对于B，，令，可得，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；则，即当时，，单调递增，故B正确；对于C，由选项B可知，最小值为2，且当时，，当时，，所以当时，直线与函数有两个不同的交点，即有两个不同的解，故当时，函数有两个极值点，故C正确；对于D，已知是一个根，不妨设，当时，由，可得，令，则直线与函数的交点的横坐标为，又，则函数偶函数，其图象关于轴对称，所以，所以，故D正确；故选：BCD.【点睛】利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法：利用导数求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题；(2)参变量分离法：构造新函数，将问题转化为研究两函数图象的交点问题；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.除以1000的余数是________．【答案】24【解析】【分析】由题意可得，展开，结合二项式定理即可得答案.【详解】解：因为，所以除以1000的余数是：.故答案为：2414.双曲线：的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线交的渐近线于点，恰为的角平分线，则的离心率为________．【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，结合勾股定理与角平分线的性质定理，建立方程，化简求值即可.【详解】设，作出图像，如下图：根据题意易知，且，又，所以由勾股定理可得：，又恰为的角平分线，所以根据角平分线性质定理可得：，，又，，，即，，即，又，所以解得：.故答案为：.15.土壤修复是使遭受污染的土壤恢复正常功能的技术措施．中国现有耕地有近受到不同程度的污染，但随着新发展理念深入贯彻落实，国家对环境保护工作越来越重视.2021年我国正式启动（含已招标项目，不含未招标、流标项目）的土壤修复工程项目共510个，合同总金额为121.56亿元，覆盖全国除西藏、港、澳、台的30个省（区、市）．如图为2021年30个省区市土壤修复工程类项目数量的前十名，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的第80分位数是________，若图中未列出的其它20个省（区、市）土壤修复工程类项目数量的方差为44.7，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的总体方差为________．【答案】①.30②.188.6【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解；根据总体方差公式即可求解.【详解】总共有30个省（区、市），第80分位数即为第24位和第25位的平均值，第24位为广东，项目数据为28，第25位为山东，项目数据为32，故其第80分位数为30.30个行政区域中，前10名的平均数为：所以前10名的方差为：除前10名外的20个省的平均数为，方差为44.7而30个省的平均数为17，方差故答案为：30；188.616.将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________.【答案】【解析】【分析】写出数阵中所有数据的和，利用错位相减法求解即可.【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为，则①，②，由①-②得：，所以.故答案为：【点睛】方法点睛：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据、寻找它们之间的相互联系，利用常见数列的通项公式和求和知识求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，角、、所对的边长分别为、、，且．（1）求的值．（2）若的面积为1，求的周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理及诱导公式求出结果；（2）由三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求得结果.【小问1详解】由已知得，即，因为，所以，所以，∵为内角，∴，∴，，∴．【小问2详解】∵，，则．且，当且仅当时，即时，等号成立．∴当且仅当时，取等号．∴周长最小值为．18.如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为圆的直径，．（1）求点到面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由，结合等积法，即可求解；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：因为圆柱的轴截面是边长为4的正方形，可得，因为，可得，且到的距离为，又因为面面，所以到面的距离为，由，又由，可得，解得，即点到平面的距离为【小问2详解】解：以为坐标原点，垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，如图所示可得，，，，则，，，，设为平面法向量，则，取，可得，所以设为平面法向量，则，取，可得，所以，设面与面夹角为，可得．【点睛】19.已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系，得到，再利用隔项等差数列的性质，分别求出为奇数与为偶数时的通项，进而可得答案.（2）利用倒序相加，求得，整理得，进而利用裂项求和法，得到【小问1详解】时，，，两式相减，可得，由题意得，可得，则有当为奇数时，为等差数列，，当偶数时，为等差数列，，【小问2详解】，，利用倒序相加，可得，解得，，20.数据中心是全球协作的特定设备网络，用于在网络上处理、存储和传递数据信息．由于数据中心对算力的要求很高，在高速运转时往往会产生巨大的热量．如果不对设备进行散热，会对设备的正常运作造成不可忽视的影响．氟化液是最为适合浸没式液冷系统的电子设备冷却液．由于氟化液技术壁垒较高，此前高性能电子氟化液长期被国外垄断.2020年巨化集团技术中心成功开发出高性能巨芯冷却液，填补了国内高性能大数据中心专用冷却液的空白．一工厂生产某型号的氯化液其抗张强度⩾100Mpa为合格品，否则为不合格品．该厂有新旧两套生产设备同时生产，按两设备生产量分层抽样进行检测，其中新设备和旧设备生产的产品中分别抽取了12桶和8桶，测得每桶抗张强度值（单位：Mpa）如下表所示：甲102.1101.0100.8103.6107.699.9100.2100.9105.798.8103.2104.1乙103.3102.6107.199.5102.8103.699.5102.3（1）根据抽检结果请完成下面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析新设备是否比旧设备好．合格（桶）不合格（桶）合计新设备旧设备合计（2）从旧设备产品抽得的样本中随机抽取3桶，求抽到的不合格桶数的分布列和数学期望；（3）从该厂所有产品中任取一桶，用抽检频率估计概率，求抽到的一桶不合格的概率．参考公式：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【答案】（1）填表见解析；认为产品合格与设备新旧无关（2）分布列见解析；期望为（3）【解析】【分析】（1）根据新设备抽到合格品10桶，不合格品有2桶，旧设备抽到合格品6桶，不合格品有2桶，得到列联表，然后根据列联表求得，与临界值表对照下结论；（2）根据题意得到，分别求得相应概率，列出分布列，再求期望.（3）根据新旧设备加工的产量比例为，得到该厂所有产品中新设备生产的占比为，旧设备生产的占比为．新设备的不合格率为，旧设备的不合格率，再利用全概率公式求解.小问1详解】解：由题意，该型号氯化液其抗张强度⩾100Mpa为合格品，否则为不合格品，根据图表中的数据，可得新设备抽到合格品10桶，不合格品有2桶，旧设备抽到合格品6桶，不合格品有2桶，得到列联表：合格（桶）不合格（桶）合计新设备10212旧设备628合计16420零假设为：设备新旧与产品合格独立，即设备新旧与产品合格没有关系．，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为产品合格与设备新旧无关．【小问2详解】由（1）知旧设备合格品6桶，不合格品有2桶，所以从中随机抽取3桶，，，，，012故的期望为．小问3详解】由题意，知新旧设备加工的产量比例为，所以该厂所有产品中新设备生产的占比为，旧设备生产的占比为．新设备的不合格率为，旧设备的不合格率．设“任取一桶产品不合格”，“产品为新设备生产”，“产品为旧设备生产”得，，，．由全概率公式得：，所以从该厂所有产品中任取一桶，该桶不合格的概率为．21.已知双曲线：的左焦点为，其一渐近线的倾斜角为，过