2022年广东省高考数学第三次模拟试卷及答案解析

2022年广东省高考数学第三次模拟试卷

本试卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座

位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码

粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案•答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上;如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)若集合A={x|x<l},B={x\x<-2},则AC(CRB)=()

A.0B.RC.(-2,1)D.[-2,1)

2.(5分)已知向量；=(3,1),4=(1,3),且+G_L(a-Xb),则人的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

3.(5分)已知双曲线C：—-1r=1(a>0,b>0)的焦距为2遮，点P(2,1)在C的

a2b2

一条渐近线上，则C的方程为()

A./一[=1B.--y2=1

44,

3x23y2x2y2

C.---=1D.---=1

205164

4.(5分)(/-R+1)(无+1)6的展开式中尤7的系数为()

A.5B.6C.7D.15

5.（5分）已知圆锥S。的底面半径为1,若其底面上存在两点A,B,使得NAS8=90°,

则该圆锥侧面积的最大值为（）

A.V2nB.2nC.242nD.4n

6.（5分）已知函数/（无）=sin（a）>0）在（0,有且仅有一个零点，则3的

值可以是（）

A.1B.3C.5D.7

7.（5分）已知函数f（x）—cv?-bx+c9若k）g3a=3"=c>l,则（)

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A.f(a)<f⑹<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)

C.fCb)<f(a)<f(c)D.f(b)<f(c)<f(«)

8.（5分）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.如图是其构造过程

的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间［0,1J平均分成三段，去掉

12

中间的一段，剩下两个闭区间［0,9和IJ；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分

121278

为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：［0,-j.［~,-1，［-，-］,［-.IJ;如

此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历"步构造后，

2021

—；不属于剩下的闭区间，则〃的最小值是（）

2022

I1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

（多选）9.（5分）已知点M在直线/：y-4=&G-3）上，点N在圆O：则

下列说法正确的是（）

A.点N到/的最大距离为8

B.若/被圆O所截得的弦长最大，则k=g

7

C.若/为圆O的切线，则攵的取值范围为{0,—}

24

D.若点M也在圆。上，则O到/的距离的最大值为3

（多选）10.（5分）设zi,Z2为复数，则下列命题正确的是（）

A.若|zi-Z2|=0,则Z1=Z2

B.若|zi|=|z2|,则Z12=Z2?

C.若Zl+Z2>0,则Z2=五

D.若Z1Z2=O,则Z1=O或Z2=O

（多选）11.（5分）某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数

第2页共26页

学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如图所示，表示的是该班甲、乙、丙三

位同学对应的点.从这次考试的成绩看，下列结论正确的是()

六科总成绩在年级排名

100200300«0500

六科总成绩在年级排名

A.该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好

B.在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文

C.数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强

D.在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲

2X-1,XG[0,1)

(多选)12.(5分)已知函数火x)的定义域为［0,+8),且满足火了)=

log2(3-x)，xG[1/2)

当时，f(x)=V(x-2),人为非零常数，则下列说法正确的是()

A.当人=-1时，/(log280)

B.当入＞0时，f(x)在［10,11)单调递增

C.当入＞-1时，f(x)在［0,4n］(nGN*)的值域为［入2"”,A2"2］

D.当人＞0,且入W1时，若将函数g(x)=4号与/(N)的图象在［0,2n］(nGN*)的

机个交点记为(.Xi,yi)(i=L2,3,…,nt),则£曙］+y()=n2+X"-I

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

八、.sin201…

13.（5分）若-------=一，则tan0=

COS20+13-----------

14.（5分）写出一个满足/（X-1）为偶函数，且在（0,+8）单调递增的函数/（工）=.

15.（5分）己知抛物线E：），2=4x的焦点为产，准线为/,过尸的直线〃，与E交于A,B两

点,4尸的垂直平分线分别交/和x轴于P,Q两点.若乙4FP=ZAFQ,则|AB|=.

16.（5分）已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB=AC=DB=DC,AD

=2BC=4,则球O的表面积的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）在平面四边形A8CD中，AB=\,BC=3,ZB=60°,ZACD=30°.

（1）若4。=亨,求NADC;

（2）若BD=CD,求△ACQ的面积.

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18.(12分)体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平.某

校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到

如下频率分布直方图：

(1)从这10()名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；

(2)从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为奉求己的分布列和

期望；

(3)从样本频率分布直方图中发现该校男生的1000米成绩X近似服从N⑺，。2),已

知样本方差$2=116.44,高一年男生共有1000人,试预估该校高一年男生1000米成绩在

89.2分以上的人数.

附：V116.44«10.8.

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,、3「。1一1。2-111

19.(12分)已知数列｛板｝7两足----•.....=­•

ala2anan

(1)求｛。"｝的通项公式；

(2)在以和或+1(依N*)中插入4个相同的数(-1)/'Ie,构成一个新数列｛d)：

1,02,-2,-2,43,3,3,3,04,求｛加｝的前100项和S100.

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20.(12分)如图，多面体ABCEF中，AB=AC,BFVCE,。为BC的中点，四边形AQEF

为矩形.

(1)证明：BELCE-,

(2)若AB=2,NBAC=120°,当三棱锥E-BC尸的体积最大时，求二面角A-B尸-E

的余弦值.

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21.(12分)已知点Fi(-1,0),F2(1,0),M为圆O：f+y2=4上的动点，延长FiM

至M使得FiN的垂直平分线与尸2N交于点P,记尸的轨迹为

(1)求「的方程；

(2)过尸2的直线/与「交于A,8两点，纵坐标不为。的点E在直线x=4上，线段OE

分别与线段AB，「交于C,O两点，且QQ|2=|OC|・|O£1，证明：|AC]=由C|.

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22.(12分)已知函数/(x)=(x-zn)sinx+cosx,x6[0,—

(1)当mW*时，讨论f(x)的单调性；

(2)若m=0,f(x)(x-ii),求

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2022年广东省高考数学第三次模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)若集合A={x|x〈l},B={x|x<-2},则4n(CRB)=()

A.0B.RC.(-2,1)D.[-2,1)

解：•.•集合A={4rVl},B=[x\x<-2},

.,.CRB={X|X2-2}.

/.AD(CRB)={X|-2^X<1}=[-2,I).

故选：D.

2.(5分)已知向量之=(3,1),b=(1,3),且(a+b)±(a-Ab),则入的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

解：,.响量z=(3,1),b=(1,3),且(a+fe)±(a-Ad),

(a+b)*(a—入b)=a2+(1-A)a-b-Xb2=10+(1-A)(3+3)-10A=0.

.•.入=1,

故选：C.

%2y2

3.(5分)已知双曲线C：---=1(a>0,b>0)的焦距为2近，点P(2,1)在C的

a2b2

一条渐近线上，则C的方程为()

A.x2-^-=1B.——y2=l

44,

3x23y2x2y2

C.--——=1D.---=1

205164

y2

解：双曲线C：—--=1(a>0,b>0)的焦距为2有，点P(2,1)在C的一条渐

a2bz

近线上，

可得：Va24-b2=V5,并且2Z?-〃=0,

解得a=2,b=l.

12

所求的双曲线方程为：—-7=1.

4

故选：B.

4.(5分)(7-x+l)(x+1)6的展开式中P的系数为()

第10页共26页

A.5B.6C.7D.15

解：用/-x+1中的前2项分别与（x+1）6展开式中的5次项、6次项相乘然后相加得

^,Cgjc5,!2-jfCfiX6,!=5x7,

...（?-x+l）（x+1）6的展开式中/的系数为5.

故选：A.

5.（5分）已知圆锥S。的底面半径为1,若其底面上存在两点A,B,使得/ASB=90°,

则该圆锥侧面积的最大值为（）

A.V2TTB.2nC.2y[2nD.4n

解：因为圆锥的轴截面是等腰三角形，其底面上存在两点A,B,使得NASB=90°,

可知母线1＜仁V2，

1

所以圆锥的侧面积为：-X2TTxZ=n/＜V27T,当且仅当圆锥的轴截面是等腰直角三角形

时，侧面积取得最大值.

故选:A.

6.（5分）已知函数/（x）=sin（gr+4）（u）＞0）在（0,-）有且仅有一个零点，则3的

值可以是（）

A.1B.3C.5D.7

人一TT7T

解：f(x)=sin(au+4),Vx6(0,—)f

TTTT71TC

4424

7T7T

:函数/(x)=sin(3X+9(3>o)在(0,-)有且仅有一个零点，

7T+兀-

一2

得

可4

"0)3

+7T

2-4-

故选：B.

7.(5分)已知函数/(x)—ax2-bx+c,若log3a=30=c>1,则()

A.f(«)<f(Z?)<f(c)B.f(c)<fCb)<f(a)

C.f(b)<f(a)<f(c)D.f(b)<f(c)<f(a)

解：：log3a=3z>=c>l,

'-a>3,h>0,c>1,且a>c>b,

又：二次函数/(x)=0?-笈+C的对称轴为》=急满足ov/vi,

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・••二次函数f（X）=依2-加+。在（2,4-00）单调递增,

2a

・・・/⑹</（c）</（«）,

故选：D.

8.（5分）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.如图是其构造过程

的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间［0,1］平均分成三段，去掉

12

中间的一段，剩下两个闭区间［0,?和弓，1］；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分

121278

为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：［0,-j,［-,-］,1-,-j,［-,IJ；如

此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历〃步构造后，

2021

——不属于剩下的闭区间，则n的最小值是（）

□□□□□□□□

A.7B.8C.9D.10

17

解：第一次操作剩下：［0,孤岛1］；

第二次操作剩下：［0,，，修,仇H；

砧一'-LPLk-T-il-c*rn1i「21127,81,2191207、8

第二次操作乘J下：［0，27］f［方，卓，r［9927-1fr1-27f3^f［r3f27-1f［r方，5〉［r3,

别［翁，1］;

1a”-12021

观察剩余区间的最后一个区间可以写为：［1-击，1］,即［审，1］,要使；不属于

•3O4U乙乙

剩下的闭区间，则只需一丁〉二？

解得：3”>2022,

又因为37>2187>2022,所以"的最小值是7.

故选:A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

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(多选)9.(5分)已知点M在直线/：y-4=A(x-3)上，点N在圆。：/+/=9上，则

下列说法正确的是()

A.点N到/的最大距离为8

B.若/被圆。所截得的弦长最大，则k=g

7

C.若/为圆。的切线，则攵的取值范围为{0,—}

24

D.若点M也在圆。上，则。到/的距离的最大值为3

解：直线/：y-4=/(x-3)恒过定点。(3,4),当时，圆心。到直线/的距离

最大，

最大距离为J(3-0)2+(4-0)2=5,故N到直线/的最大距离为5+3=8,故A正确；

/被圆。所截得的弦长最大时，则/过圆。的圆心O,所以0-4=/(0-3),解得仁孑

故B正确；

II7

若/为圆。的切线，德L=3,解得女=£,故。错误；

若点M也在圆。上，则圆O与直线/有公共点，当直线/与圆相切时，圆心到直线的距

离为圆的半径3,

所以。到/的距离的最大值为3,故。正确.

故选：ABD.

(多选)10.(5分)设zi,Z2为复数，则下列命题正确的是()

A.若［Z1-Z2|=O,则Z1=Z2

B.若|zi|=|z2|,则Z/=Z22

C.若Zl+Z2>0,则Z2=石"

D.若Z1Z2=O,则Zl=0或Z2=0

解：对于4,设zi=〃+bi,a,bER,z2=c+di,c,JGR,

V|ZI-z2|-0,/.|zi-Z2\=4(a—c)2+(b—d)2=0,

••・R—：=?，•力「:，，Z1=Z2,故A正确；

3-d=01b=d

对于B,令Zl=l,Z2=Z,

则|zi|=|z2|=l,此时Z/HZ?2,故3错误;

对于C,令zi=l+i,Z2=-i,

则Zl+z2=l>0，此时Z2#Z1,故C错误；

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对于£>,设zi=a+Z?i,a,匕6R,z2—c+di,c,d€R,

贝!1ziz2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i—0,

T.a(adc—+b%d=0'T.a(adc==b—dbc'.2,2>

若c=d=O,则02cd=-b2cd成立，此时z2=0,

若c=0,dWO,由〃c=bd,知人=0,由〃d=-Z?c知，〃=0,此时zi=0,

同理可知：当cWO时，dWO,由〃2cd=-廿4,得/=一力2,

：・a=b=O,此时zi=O,

综上，若Z1Z2=0,则Z1=0或Z2=0,故。正确.

故选：AD.

(多选)11.(5分)某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数

学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如图所示，“★”表示的是该班甲、乙、丙三

位同学对应的点.从这次考试的成绩看，下列结论正确的是()

六科总成绩在年级排名

件

言

送

^

^

笠

苗

与

左

O

5。。，

六科总成绩在年级排名

A.该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好

B.在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文

C.数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强

第14页共26页

D.在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲

解：A：由图可得，该班六科总成绩排名前的同学数学成绩比语文成绩排名更好，故A

错误；

B：由右图可得丙同学的总成绩排在班上倒数第三名,其语文成绩排在250到300名之间，

从左图可得其数学成绩排在400名左右，故8正确；

C：数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强，因为右图的

点的分布较左图更分散，故C正确；

D：由左图可得甲的总成绩排在班上第7名，年级名次100多一点，

对应到右图可得，其语文成绩排在年级近100名，故甲的语文成绩名次比其六科总成绩

名次靠前；

由左图可得甲的总成绩排在班上第27名，年级名次接近250名，

对应到右图可得，其语文成绩排在年级250名之后，故乙的语文成绩名次比其六科总成

绩名次靠后，故。正确；

故选：BCD.

(多选)12.(5分)己知函数火x)的定义域为［0,+8),且满足火外=12"-1'”'［0'1),

\.log2(3一x),xe［1,2)

当元22时，/(x)="G-2),人为非零常数，则下列说法正确的是()

1

A.当入=-1时，f(log280)=%

B.当人＞0时，/(x)在［10,11)单调递增

C.当人〉-1时，f(x)在［0,4n］(nGN*)的值域为［入2"-1,A2"2］

D.当入＞0,且入#1时，若将函数g(x)=4?与/(》)的图象在［0,2n］(nGN*)的

，"个交点记为Qxi,yi)(i=l,2,3,…,m),则£曙1(Xi+y()=n2+Art-1

解：对于A,当入=-1时，/(x)=-/(x-2),则/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

当工22时，f(x+4)=f(x),f(x+2)=-f(x),

f(log2S0)=f{log2S0-4)=f(log2S)=f(log21+2)=-f［log21)=-⑵。吟-

1)=_,+1=_/,A错误；

对于8,当人＞0时，/(x)在［0,1)上的单调性与在［2〃，2n+l)(nGN*)的单调性相同，

V/(%)在［0,1)上单调递增，在［10,11)上单调递增，B正确；

第15页共26页

对于C,由/(x)=V(X-2)得：/(x+4)=W(x+2)=入2f(x),

依次类推可得:f(x+8)=A7(x),f(x+12)=入/(x),…，

则/(x+4")=A2V(x)；

VA<-1,：.f(x)在[0,1]和4n+l](n6N*)上单调递增，在[4〃-3,4n-1]

(〃6N*)上单调递减；

当x€[0,4/?](〃€N*)时，

f(x)min=f(4n-1)=22S-i)/(4n-1-4(n-1))=於⑺-。/■⑶=A2n-y(l)=A271-1,

n2n2

f(.x)max=/(4n-3)=M(T)/(4n-3-4(n-1))==A-,

：.f(x)在[0,4n](nGN*)上的值域为[入21,A2"-2],C正确;

对于D,由图象可知：g(x)=4号与/(x)的图象在[0,2n](nGN*)有〃个交点，且

xi=2i-1,

y(=A1-1(t=1,2,3,…，n),

•.•入＞0且入#1,.••数列㈤是等差数列，数列切｝是等比数列，

£忆1(%+%)=£口1%+%=nQ+jn-D+=/+,D错误;

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

sin2011

13.(5分)若一,则tan6=-.

cos20+l3一3一

sin2012sin0cos6

解:=tan0,即tan0=g,

cos26+l32COS20

故答案为：

14.(5分)写出一个满足/(x-1)为偶函数，且在(0,+8)单调递增的函数0(%)=(1+])

2

解：根据题意，若f(x-l)为偶函数,则函数/(x)的图象关于直线1=-1对称,

第16页共26页

又由F（x）在（0,+8）单调递增，可以考查对称轴为x=-1,开口向上的二次函数，

则满足题意的函数可以为/（X）=（X+1）2,

故答案为：（X+1）2.

15.（5分）已知抛物线E：y2=4x的焦点为凡准线为/,过尸的直线机与E交于A,B两

16

点，A尸的垂直平分线分别交/和x轴于P,Q两点.若则忸8|=_5_.

解：因为PQ垂直平分AF,ZAFP=ZAFQ,

所以PA=PF=FQ.

在四边形以。尸中，对角线A尸与PQ垂直,

所以四边形附。尸是菱形，

由抛物线的定义可知：AF=PA,

所以PA=AF=PF,

所以AAP尸为等边三角形，

所以NAFP=60°,

故NAPP=N4尸0=60°,

2x216

所以|AB|=2P

sin2z.AFQ（亨）2

故答案为：

16.（5分）已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球。的球面上，AB=AC=DB=DC,AD

=2BC=4,则球O的表面积的最小值为16Tt

解：取BC、40的中点E和凡

连接AE、DE、BF、CF,

如图所示:

第17页共26页

由于AB=8。，AC^DC,BC=BC,

所以△ABC四△OBC,

所以AE=QE,

故EF为AO的垂直平分线，

同理，E尸为BC的垂直平分线，

所以球心0在直线EF上，设其半径为R,

所以偿:装线,故心2,

当且仅当点。为AO的中点时，R=2,

此时球0的表面积取得最小值，

最小值为4・TT*7?2=167t.

故答案为：16ir.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)在平面四边形ABCQ中，AB=\,BC=3,ZB=60°,ZACD=30°.

(1)若ZD=孽，求/AOC：

(2)若BD=CD,求△ACD的面积.

解：(1)在△ABC中，由余弦定理有4C2=4B2+BC2-2XABXBCXCOSNB=1+9-2X1

X3xJ=7,

：.AC=V7,

ADACyp7

在△AC。中，由正弦定理有一~—=-―,.-.4-=-~~—＞解得sin/AOC=

Sinz-ACDsinZ.ADC-sinz.ADC

2

V3

三，

第18页共26页

V0°<ZADC<150°,AZADC=60Q或/AOC=120°；

AC2+BC2-AB29+7-15

（2）在△ABC中，由余弦定理有cos/ACB=

2ACxBC—-2x77x3-W

V3

.,.sin/ACB=

2/71

5V3

AcosZBCD=cos(NACB+30°)=cos/4CBcos30°-sin/ACBsin30°x

2772

V31V3

277X2=V7,

在△5CQ中，由余弦定理有5D2=CQ2+3C2-2X5CXCQXCOSN3C。，,:BD=CD,

：.9-6CDx=(),CD=

.。1pry2117V3

••S^ACD=2XV7x2x2=g•

18.（12分）体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平.某

校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到

如下频率分布直方图：

（1）从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；

（2）从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为却求己的分布列和

期望；

（3）从样本频率分布直方图中发现该校男生的1000米成绩X近似服从N（2。2）,已

知样本方差S2=116.44,高一年男生共有1000人，试预估该校高一年男生1000米成绩在

89.2分以上的人数.

附：V116.44»10.8.

若X〜N（p,。2）,则p（p-。<X<[i+o）=0.6826,P（p-2。<X<\i+2o）=0.954.

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c乙i

故两人测试成绩都低于60分的概率为鲁=7—.

随01650

(2)从该校所有高一年男生中任意取1人,其成绩70分以上的概率为(0.04+0.022+0.018)

X10=0.8,

若70分以上的人数为《，贝心〜B(3,0.8),

3

故=0)=Cj*0.2=0.008,P(f=1)=废0.22*08=0.096,

P代=2)=CfO.21X0.82=0.384,

=3)=磴0.83=0.512.

故？的分布列为：

0123

P0.0080.0960.3840.512

E⑴=3X0.8=24

(3)由频率分布直方图可得，

(1=10X(45X0.001+55X0.002+65X0.017+75X0.04+85X0.022+95X0.018)=78.4,

故P(X>89.2)=P(X>78.4+10.8)=1一。产6=0J587,

故预估该校高一年男生1000米成绩在89.2分以上的人数为0.1587X1000^159.

19.(12分)已知数列｛。”｝满足巴—■—...——=—.

(1)求｛“”｝的通项公式;

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k

(2)在以和以+1(依N*)中插入攵个相同的数(-1)+'・k,构成一个新数列｛b〃｝：a\9

1,02,-2,-2,03,3,3,3,44,…，求｛加｝的前100项和5100.

解：(1)二•数列｛斯｝满足巴一~--—~-...an=—,

Q，2QnQn

...及22时，上.心.….吗二=工，相除可得：幺二=」_x~,

QiQ2a?i—1^n-iQ?ia?i1

化为:Cln~On-1=1>

〃=1时，ai=­，解得m=2.

Q]

数列｛“”)是等差数列，公差为1,首项为2.

♦・。〃=2+(〃-1)=〃+l.

(2)在以和tu+i(依N*)中插入，个相同的数(-1)"'，匕构成一个新数列｛加｝:ai,

1,。2,-2,-2,。3,3,3,3,。4,…，ak,(-1)*1•匕…，(-1)好人火,ak+\,其

项数为Z+1+(1+2+…+Z)=(卜+1)(*+1)2100,解得％N13.

13x14

%=12时，到以+1项的项数为：—^―=91,其后面还有9项，为13,13,13,13,13,

13,13,13,13.

即2,1,3,-2,-2,4,3,3,3,5,…，14,13,13,13,13,13,13,13,13,

13.

,｛bn]的前100项和5100=2+1+3-2-2+4+3+3+3+5+…

+14+13+13+13+13+13+13+13+13+13

=(2+3+…+14)+1-2X2+3X3-4X4+-+11X11-12X12+13X9

22222

=112S(|±14)+12,22+32_4+—+9-10+ll-12+13X9

=104+(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+…+(9-10)(9+10)+(11-12)(11+12)+117

=104-(1+2+―+9+10+11+12)+117

=^^12x(1+12)

=143.

20.(12分)如图，多面体A8CEF中，AB=AC,BFVCE,。为BC的中点，四边形A£>£F

为矩形.

(1)证明：BELCE；

(2)若AB=2,/BAC=120°,当三棱锥E-BC尸的体积最大时，求二面角A-B尸-E

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的余弦值.

证明：（1）.四边形4OE广为矩形，.'.ADA.DE,

又AB=AC,。为BC中点，

:.AD1BC,

,:BC,。氏平面BCE,BCC\DE=D,二4。，平面BCE,

"."AD//EF,

.*.EF_L平面BCE,

又CEu平面BCE,

：.EF1CE,

'：BFLCE,BFCEF=F,BF,EFu平面BEF,

.•.CE_L平面BEF,

又BEu平面BEF,

：.BE1CE.

解：（2）；AB=AC=2,NBAC=120°,：.AD=EF=^AB=1,BC=2BD=2V3,

由（1）知：EFX^FffiBCE,

1111

22

:，VE-BCF=VF-BCE=£BCE-EF=^BE-CE-EF=^BE-CE<―（BE+CF）=

^BC2=1（当且仅当BE=CE=通时取等号），

即BE=CE时，三棱锥E-BCF的体积最大，

又D为BC中点,J.EDLBC,

则以。为坐标原点，DA,DB,品为x,y,z轴可建立如图所示空间直角坐标系，

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F

则4(1,0,0),B(0,遮,0),F(l,0,A/3),C(0,一百，0),E(0,0,遮),

：.AF=(0,0,回AB=(-1,W，0),CE=(0,痘,A/3),

由(1)知：CE_L平面BEE.•.平面BEF的一个法向量为港=(0,百，回

设平面A8F的法向量蔡=(x,y,z),

则":一8'一°,令y=l,解得：x=V3,z=0,

,AB-n=—x+V3y=0

：.n=(V3,1,0),

.CEn/3/2

..cos{CE,n)=­~—=-r=---T-,

\CE\\n\46x24

由图形可知：二面角A-BF-E为钝二面角，

二面角A-BF-E的余弦值为-亨.

21.(12分)已知点F1(-1,0),F2(1,0),M为圆O：，+丁=4上的动点，延长

至N,使得|MV|=|MQ|,尸|N的垂直平分线与尸2N交于点尸，记P的轨迹为

(1)求「的方程；

(2)过放的直线/与「交于A,B两点、,纵坐标不为0的点E在直线x=4上，线段OE

分别与线段AB,「交于C,力两点，且|OO|2=|OC「|O£1，证明：|AC]=|BC].

解：(1)连接M。，PF\,

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是NFi的垂直平分线，...|PFi|=|PN，...|PFI|+|PF2|=|/W|+|PF2|=|M72|；

'：M,O分别为NQ,为尸2中点，：.\NF2\^2\MO\=4,

：.\PFI\+\PF2\=4>\F]FI\,

点轨迹是以Fl,F2为焦点,长轴长为4的椭圆，即〃=2,c=l,...悌=3,

、x2y2

点轨迹「的方程为：—+—=

43

证明：(2)...|O£>F=|0C|.|OE|,即甯=黑，.•.照=鲁,

\OC\\OD\\xc\\xD\

由题意知:xc>0>XE=4,.'.Xp-4xc,

(1)当直线/斜率不存在时，即/：x=l,此时xc=l,XD<2,止匕时据=4和不成立;

(2)当直线/斜率存在时，设/：y=k(x-1),A(xi,yi),B(%2,”),

8-

%i+x

由*+多=1得：(3+M2)%2一8卜2乂+妹2-12=0..2―3+4/

卜1%2—4k2-12

y=k(x-1)

3+4/c2

,一一“,,一、，Xi+x4k2

：.AB中点的横坐标为(二12=--7).

23+4/c2

设直线OE的方程为：y=k'x(k'WO),

由忧箫—1)得：》=占，即配=占;

y=kfx

1212

%2y2得：X2即呼

1T+T=1