第2章函数专练8-对数函数-2021届高三数学一轮复习

第一章函数专练8—对数函数一、选择题1．设a＝0.32.1，b＝2.10.3，c＝log0.32.1，d＝log2.10.3，则a，b，c，d的大小关系为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c2．已知实数x，y满足log2x+e﹣y＜log2y+e﹣x，则下列结论一定正确的是（）A．x＞y B．ln|x﹣y|＜0 C．ln|x﹣y+1|＞0 D．ln|y﹣x+1|＞03．已知函数f（x）＝log3（x+2），若a＞b＞c＞0，则的大小关系（）A． B． C． D．4．设0＜a＜1，则（）A． B． C． D．5．若，则（）A． B．C． D．6．已知b＞0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是（）A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a+c7．若函数f（x）＝ln（ax2﹣2x+3）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[0，] B．（，+∞） C．（﹣∞，] D．（0，]8．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13 B．12 C．11 D．109．已知函数f（x）＝ln（|x|+1）+，则使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（）A． B． C．（1，+∞） D．10．若函数f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（）A．[，1） B．（0，] C．（1，） D．[）11．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2（a＞0），若存在实数m，n∈[1，3]，且m﹣n≥1时有f（m）＝f（n）成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，] B．[] C．（] D．（）12．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）＝log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，） B．（﹣∞，） C．（0，] D．（﹣∞，]填空题13．若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是]．14．如图所示，正方形ABCD的四个顶点在函数y1＝logax，y2＝2logax，y3＝logax+3（a＞1）的图象上，则a＝．15．若方程log2（ax2﹣2x+2）＝2在区间有解，则实数a∈．16．设函数f（x）＝|logax|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为，则实数a＝．解答题17．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）当a＝﹣5时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝logax（a＞1），若b＞a，且f（b）+＝，ab＝ba．（1）求a与b的值；（2）当x∈[0，1]时，函数g（x）＝m2x2﹣2mx+1的图象与h（x）＝f（x+1）+m的图象仅有一个交点，求正实数m的取值范围．19．设为奇函数，a为常数．（1）确定a的值（2）求证：f（x）是（1，+∞）上的增函数（3）若对于区间[3，4]上的每一个x值，不等式恒成立，求实数m取值范围．20．已知函数（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）当0＜a＜1时，判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并利用单调性的定义证明；（Ⅲ）是否存在实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+logan，1+logam]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．第一章函数专练8—对数函数答案1．解：∵0＜0.32.1＜0.30＝1，2.10.3＞2.10＝1，，，∴b＞a＞c＞d．故选：C．2．解：∵实数x，y满足log2x+e﹣y＜log2y+e﹣x，则log2x﹣e﹣x＜log2y﹣e﹣y，再根据f（x）＝log2x﹣e﹣x为（0，+∞）上的增函数，∴x＜y，∴y﹣x+1＞1，∴ln|y﹣x+1|＞0，故选：D．3．解：∵函数f（x）＝log3（x+2），则可分别看作（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））与原点连线的斜率，如图：当a＞b＞c＞0时，有＜＜，故选：A．4．解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜＜1，∴在A中，，故A错误；在B中，＞，故B正确；在C中，，故C错误；在D中，，故D错误．故选：B．5．解：由函数，，可知，x∈（0，e），f'（x）＞0，x∈（e，+∞），f'（x）＜0，又，，所以．故选：A．6．解：由5d＝10，可得，∴cd＝lgb＝log5b＝a．故选：B．7．解：若函数f（x）＝ln（ax2﹣2x+3）的值域为R，即有t＝ax2﹣2x+3取得一切的正数，当a＝0时，t＝3﹣2x取得一切的正数，成立；当a＜0不成立；当a＞0，△≥0即4﹣12a≥0，解得0＜a≤，综上可得0≤a≤．故选：A．8．解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且f（x+2）＝2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；故选：C．9．解：∵函数f（x）＝ln（|x|+1）+为定义域R上的偶函数，且在x≥0时，函数单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，两边平方得x2＞（2x﹣1）2，即3x2﹣4x+1＜0，解得＜x＜1；∴使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（，1）．故选：A．10．解：令y＝logat，t＝2﹣ax，∵a＞0∴t＝2﹣ax在（1，3）上单调递减∵f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增∴函数y＝logat是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立∴∴0＜a≤故选：B．11．解：依题意得n∈[1，2]，m∈[2，3]，而f′（x）＝＝，由a＞0，m﹣n≥1时有f（m）＝f（n）成立，则f（x）须在（1，）上单调递增，在（，3）上单调递减，∵f（1）＝﹣a，f（2）＝ln2﹣4a，f（3）＝ln3﹣9a，当f（3）≥f（1）时，只需f（2）≥f（3），此时ln2﹣4a≥ln3﹣9a，解得a；当f（3）＜f（1）时，只需f（2）≥f（1），此时ln2﹣4a≥﹣a，解得a．∴a的取值范围为：≤a≤．故选：B．12．解：∵函数f（x）＝f（x）＝log2（2x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t＝0的两个根，设m＝＝，则m＞0，此时方程为m2﹣m+t＝0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故选：A．13．解：由于函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）＝6﹣x≥4．①若a＞1，f（x）＝3+logax在它的定义域上单调递增，当x＞2时，由f（x）＝3+logax≥4，∴logax≥1，∴loga2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）＝3+logax在它的定义域上单调递减，f（x）＝3+logax＜3+loga2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．14．解：设B（x1，2logax1），C（x1，logax1+3），A（x2，logax2），D（x2，2logax2），则logax2＝2logax1，∴，又2logax2＝logax1+3，，即x1＝a，，∵ABCD为正方形，∴|AB|＝|BC|；可得a2﹣a＝2，解得a＝2．故答案为：2．15．解：方程log2（ax2﹣2x+2）＝2在内有解，则ax2﹣2x﹣2＝0在内有解，即在内有值使成立，设，当时，，∴，∴a的取值范围是．故答案为：16．解：①若1≤m＜n，则f（x）＝﹣logax，∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）＝0，f（n）＝1，解得m＝1，n＝，又∵n﹣m的最小值为，∴﹣1≥以及0＜a＜1，当“＝”成立时，解得a＝，符合题意；②若0＜m＜n≤1，则f（x）＝logax，∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）＝1，f（n）＝0，解得m＝a，n＝1，又∵n﹣m的最小值为，∴1﹣a＝，解得a＝，符合题意；③若0＜m＜1＜n时，根据对数函数的性质得不满足题意．故答案为：或．解答题17．解：（1）a＝﹣5时，f（x）＝log2（﹣5），令f（x）＞0，即﹣5＞1，0＜x＜，故不等式的解集是（0，）；（2）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣＝，设1﹣t＝r，则0≤r≤，＝＝，当r＝0时，＝0，当0＜r≤时，＝，∵y＝r+在（0，）上递减，∴r+≥+4＝，∴＝≤＝，∴实数a的取值范围是a≥．18．解：（1）函数f（x）＝logax（a＞1），若b＞a，且f（b）+＝，ab＝ba，可得logab+logba＝，即为（logab）2﹣logab+1＝0，解得logab＝2或，由于b＞a＞1，可得logab＝2，即b＝a2，又＝a2a，即a2＝2a，解得a＝2，b＝4；（2）根据题意，由于m为正数，y＝g（x）＝（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y＝log2（x+1）+m为增函数，分2种情况讨论：①当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y＝（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y＝log2（x+1）+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②当m＞1时，有＜1，y＝（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y＝log2（x+1）+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2＞1+m，解可得m＜0或m＞3，又由m为正数，则m＞3；综合可得m的取值范围是（0，1]∪（3，+∞）．19．解：（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，由＞0，得（x﹣1）（1﹣ax）＞0．令（x﹣1）（1﹣ax）＝0，得x1＝1，x2＝，∴＝﹣1，解得a＝﹣1．（2）由（1）f（x）＝，令u（x）＝＝1+，设任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），则u（x1）﹣u（x2）＝，∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，∴u（x1）﹣u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．∴u（x）＝1+（x＞1）是减函数，又y＝u为减函数，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．（3）由题意知﹣（）x＞m，x∈（3，4）时恒成立，令g（x）＝﹣（）x，x∈（3，4），由（2）知在[3，4]上为增函数，又﹣（）x在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，∴g（x）的最小值为g（3）＝﹣，∴m＜﹣，故实数m的范围是（﹣∞，﹣）．20．解：（1）由1﹣＞0，可得x＜﹣1或x＞1，∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∵f（x）＝loga（1﹣）＝loga（），且f（﹣x）＝loga（）＝loga（）＝﹣loga（）＝﹣f（x）；∴f（x）在定义域上为奇函数．（2）当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）单调递减，任取x1，x2且1＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝loga（）；由（x1﹣1）（x2+1）﹣（x1+1）（x2﹣1）＝2（x1﹣x2）＜0，∴0＜＜1，又0＜a＜1，∴loga（）＞0则f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）单调递减；（3）假设存在这样的实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+logan，1+