2024届湖南省五市十校5月高三第三次月考数学试题

2024届湖南省五市十校5月高三第三次月考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．抛物线y2=ax(a>0)的准线与双曲线C:x28A．8 B．6 C．4 D．23．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．84．在区间上随机取一个实数，使直线与圆相交的概率为（）A． B． C． D．5．函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位6．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的()条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要7．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）A． B． C． D．9．已知等差数列的前n项和为，且，则（）A．4 B．8 C．16 D．210．若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（）．A． B． C． D．11．如图，长方体中，，，点T在棱上，若平面.则（）A．1 B． C．2 D．12．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为cm，中间两个和尚的身高之和为cm，则最高的和尚的身高是____________cm．14．若实数满足约束条件，设的最大值与最小值分别为，则_____．15．内角，，的对边分别为，，，若，则__________．16．已知的终边过点，若，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段的长.19．（12分）中的内角，，的对边分别是，，，若，.（1）求；（2）若，点为边上一点，且，求的面积.20．（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：45678的近似值551484031097298121．（12分）在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．女生男生总计获奖不获奖总计附表及公式：其中,．22．（10分）在数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若存在，使得成立，求实数的最小值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【题目详解】由题意得，因为，，所以在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B【题目点拨】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.2、A【解题分析】

求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【题目详解】抛物线y2=ax(a>0)的准线为x=-a4，双曲线C:x28-y24【题目点拨】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．3、C【解题分析】

根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.【题目详解】初始值，第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，；第六次循环：，；第七次循环：，；第九次循环：，；第十次循环：，；所以输出.故选：C【题目点拨】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.4、D【解题分析】

利用直线与圆相交求出实数的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【题目详解】由于直线与圆相交，则，解得.因此，所求概率为.故选：D.【题目点拨】本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.5、A【解题分析】依题意有的周期为.而，故应左移.6、B【解题分析】

根据充分必要条件的概念进行判断.【题目详解】对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立；若，则可得，必要性成立.故选：B【题目点拨】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.7、B【解题分析】

对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.【题目详解】当时，函数在上单调递减，所以，的递增区间是，所以，即.故选:B.【题目点拨】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.8、B【解题分析】

设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.【题目详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，在中，，化为，，，当且仅当时取等号，此时.故选：B.【题目点拨】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.9、A【解题分析】

利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【题目详解】.故选:.【题目点拨】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.10、C【解题分析】

由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出的最大值．【题目详解】解：把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间，上单调递增，在区间，上，，，则当最大时，，求得，故选：C．【题目点拨】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．11、D【解题分析】

根据线面垂直的性质，可知；结合即可证明，进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得.【题目详解】长方体中，，点T在棱上，若平面.则，则，所以，则，所以，故选：D.【题目点拨】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.12、B【解题分析】

根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.【题目详解】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人：将选中2名女生平均分为两组：将选中2名男生平均分为两组：则选出的人分成两队混合双打的总数为：和分在一组的数目为所以所求的概率为故选：B【题目点拨】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

依题意设前三个和尚的身高依次为，第四个(最高)和尚的身高为，则，解得，又，解得，又因为成等比数列,则公比，故.14、【解题分析】

画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得的比值.【题目详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线过点时，取得最大值7；过点时，取得最小值2，所以.【题目点拨】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15、【解题分析】∵，∴，即，∴，∴．16、【解题分析】

】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【题目详解】∵的终边过点，若，．即答案为-2.【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【题目详解】解:（1）因为,所以又,故,所以,所以（2）由（1）得,,,所以,所以,因为且,即,解得,因为,所以,所以,所以,所以【题目点拨】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.18、（1）l：，C：；（2）【解题分析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；

（2）由（1）可得曲线是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得的长.【题目详解】（1）由题意可得直线：，由，得，即，所以曲线C：.（2）由（1）知，圆，半径.∴圆心到直线的距离为：.∴【题目点拨】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题．19、（1）（2）10【解题分析】

（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根据二倍角的余弦公式计算即可；（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知计算出与，再根据三角形的面积公式求出结果即可.【题目详解】（1），，在中，由正弦定理得，，又，，，（2），，，由余弦定理得，，则，化简得，，解得或（负值舍去），，，，，，的面积.【题目点拨】本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础题.20、（1），；（2）148万亿元.【解题分析】

（1）由散点图知更适宜，对两边取自然对数得，令，，，则，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；（2）将代入所求的回归方程中计算即可.【题目详解】（1）根据数据及图表可以判断，更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程.对两边取自然对数得，令，，，得.因为，所以，所以关于的线性回归方程为，所以关于的回归方程为.（2）将代入，其中，于是2020年的全国GDP总量约为：万亿元.【题目点拨】本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中档题.21、（Ⅰ），；（Ⅱ）详见解析.【解题分析】

(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于列式可解得；(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,从而可得列联表,再计算出,与临界值比较可得．【题目详解】解：(Ⅰ),．(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,列联表如下：女生男生总计获奖不获奖总计因