北航数理统计期末考试题

北航数理统计期末考试题2011年2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的样本，令，试证明T服从t-分布t（2）

二、（6分，B班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明。三、（8分）设总体X的密度函数为其中，是位置参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简单样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。四、（12分）设总体X的密度函数为，其中是未知参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简单样本。（1）试求参数的一致最小方差无偏估计；

（2）是否为的有效估计？证明你的结论。五、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的简单样本，y1，y2，…，yn是来自正态总体的简单样本，且两样本相互独立，其中是未知参数，。为检验假设可令则上述假设检验问题等价于这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。六、（6分，B班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的简单样本，已知，未知，试求假设检验问题的水平为的UMPT。七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、（6分）设方差分析模型为总离差平方和试求，并根据直观分析给出检验假设的拒绝域形式。九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D外，还需考察，。今选用表，表头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。列号试验号ABCD实验数据12345671111111112.82111222228.2312211222635212121230.5621221214.37221122133.3822121124.0十、（8分）对某中学初中12岁的女生进行体检，测量四个变量，身高x1，体重x2，胸围x3，坐高x4。现测得58个女生，得样本数据（略），经计算指标的协方差阵V的极大似然估计为且其特征根为。（1）试根据主成分85%的选择标准，应选取几个主要成分？（2）试求第一主成分。2006级硕士研究生《应用数理统计》试题一、选择题（每小题3分，共12分）

1.统计量T~t（n）分布，则统计量T2的α（0<α<1）分位点xα（P{T2≤xα}=α）是（）

A.B.C.D2.设随机变量X～N(0，1)，Y～N(0，1)，则（）

A.服从t-分布B.X2+Y2服从-分布C.X2和Y2都服从-分布D.X2/Y2服从F-分布3.某四因素二水平实验，选择正交表L8(27)，已填好A，B，C三个因子，分别在第一，第四，第七列，若要避免“混杂”，应安排因子D在第（）列.A.5B.2C.3D.61234567（1）

3（2）

21（3）

567（4）

4761（5）

74523（6）

654321（7）

4.假设总体X服从两点分布，分布率为P{X=x}=px(1-p)1-x，其中x=0或1，p为未知参数，X1,X2,…，Xn是来自总体的简单样本，则下面统计量中不是充分统计量的是（）

A.B.C.D.二.填空题(每小题3分,共12分)1.设X1,X2,…，Xn是来自总体N(0，)的简单样本,则常数c=_________时统计量服从t-分布（），其自由度为____________2.设X1,X2,…，Xn是来自总体N(，)的简单样本,其中已知。则在满足P{}=1-的均值的置信度为1-α的置信区间类{[]:,b常数}中区间长度最短的置信区间为（）

3.设X1,X2,…，Xn是来自总体N(，)的简单样本,已知，则的无偏估计，中较优的是（）

4．在双因素实验的方差分析中，总方差的分解中包含误差平方和，则的自由度为（）

三，（12分）设X1,X2,…，Xn来自指数分布的简单样本，试求参数的极大似然估计，它是否是无偏估计？（2）求样本的Fisher信息量；

（3）求的一致最小方差无偏估计;(4)问是否是的有效估计？四．（6分，A班不做）在多元线性回归中，参数的最小二乘估计为，残差向量为。令,当时，Z服从多元正态分布。试证明与e相互独立。五．（6分，A班不做）

设某切割机切割金属棒的长度X服从正态分布，正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm。某日为了检验切割机工作是否正常，随机抽取15段进行测量，得平均样本值=10.48cm，样本方差s2=0.056cm2。在显著性水平α=0.05下，试问该切割机工作是否正常？(）

六．（6分，B班不做）设X～N(，),已知，X1,X2,…，Xn来自X的样本，并设的先验分布为～N(,),已知，则可知均值的Bayes估计为试通过此例说明Bayes估计的特点。七．（B班不做）设总体X服从正态总体N(0，)，X1,X2,…，Xn是来自总体的简单样本，考虑检验问题在显著水平α=0.05下，求最优检验（MP）的拒绝域。八．研究小麦品种与施肥的农田实验，考察的因素与水平如下表所示:水平/因素A小麦品种B.施肥量C浇水遍数D除草遍数1甲16122乙1223据经验需考虑交互作用A×B，选用正交表L8(27)，数据如表所示。试验号/列号ABA×BCD1234567实验数据1234567811111111112222122112212222112121212212212122112212212112115160145155140155100125用极差分析确定最优方案（以数据大者为好）

九．（6分）设X=(X1,X2,X3,X4)’的协方差阵为已知V的特征根是，，其中=0.83，试根据85%的选取标准确定确定主成分个数，并求出主成分。应用数理统计（2000年）

一、填空1、设x1,x2,…x10来自总体N(0,1)的样本，若y=k1(x1+2x2+3x3)2+k2(x4+x5+…+x10)2~x2(2)，则k1=__________k2=__________2、设x1,x2,…x2m来自总体N(4,9)的样本，若y=，且Z=，服从t分布，则c=________,z~t(_________)3、设x1,x2,…x2m来自总体N(μ,σ2)的样本，已知y=(x2-x1)2+（x3-x4）

2+…+(x2m-x2m-1)2，且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=_________4、上题中，Dz=_________5、由总体F(x)与G(x)中依次抽得容量为12和11的样本，已计算的游程总个数U=12，试在水平α=0.05下检验假设H0：F(x)=G(x)，其结论为___________（U0.05（12，11）=8）

二、设x1,x2,…x61来自总体N(0,1)的样本，令y=，试求P(t0.975(60)=2)三、设总体x的密度函数为而（x1,x2,…xn）为来自x的样本，试求α的极大似然估计量。四、设x~N(μ1,σ2)，y~N(μ2,σ2),今抽取x的样本x1,x2,…x8；

y的样本y1,y2,…y8；

计算得1．试在水平α=0.01下检验假设H0：μ1=μ2，H1：μ1>μ22．试求α=0.02时，μ2-μ1的估计区间（t0.99(14)=2.6245）

五、欲考察因子A,B,C,D及交互作用A×C，且知B也可能与其它因子存在交互作用，试在L8(27)上完成下列表头设计。并说明理由。BADCB1234567用L8(27)的交互作用表六、已知(x1,y1),(x2,y2),…,(x9,y9)为一组实验值，且计算得,,试求线性回归方程yˆ=aˆ+bˆx七、x1,x2,…x100来自总体x~π(λ)的一个样本，试求参数λ的近似(1-α)置信区间，(Ex=λ,Dx=λ)八、在一元线性回归中，lyy=Q+U,F=~F(s,t),试给出用F值来判定回归显著性的办法。应用数理统计（2001年）

一、填空（每空3分，共30分）

1．设x1,x2,……，x10为来自总体N（0，1）

的样本，若y＝k1(2x1+x2-3x3)+k2(x4+x5+……＋x10)2,且y~x2(2).则k1=_______,k2=_______2．设x1,x2,……，x12为来自总体N（0，A）的样本，若y=（x12+x22+x32）÷（x12+x22+……＋x12）且Z＝cy~F分布，则c=__,Z~F()3．若x1,x2,……，x20为来自总体N（μ，σ2）的样本,若y=(x2-x1)2+(x4-x3)2+……＋（x20-x19）2，且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=__,DZ=__4．若x1,x2,……，x100为来自总体N（10，σ2）的样本，若，则Ey=__,Dy__5．若x1,x2,……，x16为来自总体N（μ，0.012）的样本,其样本平均值x---=2.215,则μ的0.20置信区间为_________（取三位小数），（已知Ф（1.645）＝0.95，Ф（1.282）＝0.90）

二（10分）设总体X的概率密度函数为而x1,x2,……，xn为来自X的样本，试求α的矩估计量和极大似然估计量。三（10分）设x1,x2,……，x61为来自总体N（0，1）的样本。令y=,且P（x61/y≤k）＝0.95，试求k。四（10分）设X~N（μ1，σ2）,Y~N（μ2，σ2）令抽取A的样本x1,x2,……，x8，Y的样本y1,y2,……，y8试推导假设H0：μ1＝μ2；

H1：μ1＞μ2的拒绝域，设若,是否接受H0？五（10分）设y～N（Ae-Bx，σ2）,试由样本（x1,y1）（x2,y2）,……（xn,yn）估计参数A及B（可利用已有的结论或公式些出相应的结果）。六（10分）今有正交试验结果列于下表（大者为好）

试用级差分析对结果进行分析判断，若A、B、C的水平数皆为实际条件数据由小到大排列，试选出最优工艺条件并指出进一步试验的方向。七、（10分）设t~t(n)，F~F(n,1)且p{t≤tα(n)}=α，p{F≤Fα(n,1)}=α试证明：

八、（10分）设X的概率密度函数为试求β的极大似然估计量，并由此求一个β的无偏估计量应用数理统计（2003年）

1.设X1,X2,…,X100为来自正态总体N(0,σ2)的样本，若Y=，求EY，EY2。2.设总体X~N(μ,σ2)，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，记,,求ES4。3.已知随机变量X的分布律为：P{X=k}=qpk-1，k=1，2，…，（q=1-p）

试求X的特征函数ϕ(t)，并由此求EX，DX。4.设总体X的概率密度为f(x;θ)=,其中c>0为常数，试用来自X的样本构造的θ矩估计量。5.设总体X~N(μ,52)，其样本为（X1，X2，…，Xn），这时μ的置信区间为1-α，的置信区间为_____①当n固定时，若要提高置信度，置信区间长度会＿②当置信度固定时，增大n，置信区间长度会＿6.设（X1，X2，…，Xn）为来自正态总体N(0,σ2)的样本，若T=是σ的无偏估计量，求c。7.设总体X的均值为μ，方差为σ2>0，今有来自X的两组样本（X1，X2，…，Xn1），（Y1，Y2，…，Yn2），其样本均值依次为X和Y，若T=aX+bY为μ的无偏估计量，且方差D(T)达到了最小，试求a与b。8.若回归直线yˆ=aˆ+bˆx中，已知,且Q/(n-2)为的无偏估计，而~χ(n-2)，又知aˆ与Q相互独立，试求a的置信区间。9.今有正交试验结果列于下表（试验结果大者为好），试用极差分析法对结果进行分析，并选出最优工艺条件，又知A，B，C的水平数皆为实际数据由小到大排列，试指出进一步实验的方向。10.设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单样本，且X~R[0，θ]，试求θ的最大似然估计量，并验证是否具有无偏性，若否，请构造一个无偏估计量。应用数理统计考试提纲（2004年）

1、正态N(μ,σ2),简单随机样本X1、X2……Xn,其中μ已知。（1）

求σ2的一至最小方差无偏估计。（2）

运用信息不等式得到σ2的方差下界。（3）

判断得到的σ2的一致最小方差是否达到信息不等式的下界。（4）

说明有效估计和一致最小方差关系。2、对于一元线性回归证明b～N(b,σ2/lxx)3、假设检验。（比较简单，但要记住公式或自己能推导）

4、对L8(27)正交表进行极差分析和方差分析，判断最优的工艺条件。5、已知某个、协差矩阵的特征根，求应该选几个主成分和第一主成分的特征向量。（第二问都是小数，4×4矩阵，运算量大，要带计算器）

整理人：

注：在此复习资料的收集过程中，有一些资料整理者已无法考证，感谢所有曾对此资料做出贡献的人。以下资料为赠送资料：《滴水之中见精神》主题班会教案活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”

主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”

甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》

竹板一敲来说话，水的用处真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，

煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；

鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；

采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？

甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。

乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。

丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。

2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？

（1）（生）：我要节约用水，保护水源。

（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。

（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。

3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。

（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。

（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。

（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）

（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？

主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》

大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”

旁白：“那又是谁家的呢？”

主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？

甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。

乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。

主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？

齐：主动关好。

小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？

主持人：可以。

小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？

答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。

小记者：请这位同学谈谈好吗？

答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。

小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！

水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你们还有发言的吗？

答：有。

生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。

动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！

花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。

主持人：水伯伯，您这是干什么呢？

水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！

主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！

4.主持人：大家欢迎老师讲话！

同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。

5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。

6.活动效果：

此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵

以下资料为赠送资料：《滴水之中见精神》主题班会教案活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”

主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”

甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》

竹板一敲来说话，水的用处真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，

煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；

鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；

采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？

甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。

乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。

丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。

2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？

（1）（生）：我要节约用水，保护水源。

（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。

（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。

3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。

（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。