辽宁省沈阳市铁路实验中学2024届高三下学期4月二模试题数学试题

辽宁省沈阳市铁路实验中学2024届高三下学期4月二模试题数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（）A．单调递增 B．单调递减 C．先递减后递增 D．先递增后递减2．函数的一个单调递增区间是（）A． B． C． D．3．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（）A． B． C． D．4．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（）A． B． C． D．6．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．36种7．设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤9．设，则A． B． C． D．10．已知数列满足，则（）A． B． C． D．11．已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为()A． B． C． D．612．已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则（）A． B．2 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为__________.14．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.15．的展开式中的系数为________________．16．设满足约束条件，则目标函数的最小值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的面积的最大值．18．（12分）某景点上山共有级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为．为了简便描述问题，我们约定，甲从级台阶开始向上走，一步走一个台阶记分，一步走两个台阶记分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且．（1）若甲走步时所得分数为，求的分布列和数学期望；（2）证明：数列是等比数列；（3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率．19．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在区间上的最小值为，求m的值.20．（12分）已知抛物线：的焦点为，过上一点（）作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点，（1）证明：直线的斜率是－1；（2）若，，成等比数列，求直线的方程.21．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，.点，，分别为线段，，的中点，点是线段的中点.（1）求证：平面.（2）判断与平面的位置关系，并证明.22．（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，．（1）若，证明：．（2）若，，求的面积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.【题目详解】函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.故选：C【题目点拨】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.2、D【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项.【题目详解】因为，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，B选项中有部分增区间部分减区间.故选：D【题目点拨】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.3、B【解题分析】

取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【题目详解】取的中点，连接、，由和都是正三角形，得，，则，则，由勾股定理的逆定理，得.设球心为，和的中心分别为、.由球的性质可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半径为.所以外接球的表面积为.故选：B.【题目点拨】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4、C【解题分析】

在长方体中，得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论.【题目详解】在长方体中，平面即为平面，过做于，平面，平面，平面，为与平面所成角，在，，直线与平面所成角的余弦值为.故选:C.【题目点拨】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.5、C【解题分析】

由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解【题目详解】先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时，故选：C【题目点拨】本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题6、B【解题分析】

分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.【题目详解】如果甲单独到县，则方法数有种.如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.故总的方法数有种.故选：B【题目点拨】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.7、D【解题分析】

先把变形为，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标可得答案.【题目详解】解：由，得，所以，其在复平面内对应的点为，在第四象限故选：D【题目点拨】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.8、C【解题分析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列则由等差数列的性质得，故选C9、C【解题分析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10、C【解题分析】

利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.【题目详解】.当时，；当时，由，可得，两式相减，可得，故，因为也适合上式，所以.依题意，，故.故选：C.【题目点拨】本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.11、C【解题分析】

利用导数法和两直线平行性质，将线段的最小值转化成切点到直线距离.【题目详解】已知与分别为函数与函数的图象上一点，可知抛物线存在某条切线与直线平行，则，设抛物线的切点为，则由可得，，所以切点为，则切点到直线的距离为线段的最小值，则.故选：C.【题目点拨】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.12、C【解题分析】

把代入，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．【题目详解】∵，∴，∵为纯虚数，∴，解得．故选C．【题目点拨】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，计算得到，得到答案.【题目详解】如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，则，所以，所以球的半径，则球的表面积为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥补成长方体是解题的关键.14、40【解题分析】

设等比数列的公比为，根据，可得，因为，根据均值不等式，即可求得答案.【题目详解】设等比数列的公比为，，，等比数列的各项为正数，，，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15、【解题分析】

在二项展开式的通项中令的指数为，求出参数值，然后代入通项可得出结果.【题目详解】的展开式的通项为，令，因此，的展开式中的系数为.故答案为：.【题目点拨】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.16、【解题分析】

根据满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点，此时，目标函数取得最小值.【题目详解】由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点此时，目标函数取得最小值，最小值为故答案为：-1【题目点拨】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面积的最大值.【题目详解】（1），，所以，所以，，，，．（2）由余弦定理得.，，当且仅当时取等，.所以的面积的最大值为.【题目点拨】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积的最值问题,难度较易.18、见解析【解题分析】

（1）由题可得的所有可能取值为，，，，且，，，，所以的分布列为所以的数学期望．（2）由题可得，所以，又，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列．（3）由（2）可得．19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）先求导，再对m分类讨论，求出的单调性；（2）对m分三种情况讨论求函数在区间上的最小值即得解.【题目详解】（1）若，当时，；当时.，所以在上单调递增，在上单调递减若.在R上单调递增若，当时，；当时.，所以在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则.则不合题意当时，在上单调递减，在上单调递增.则，即又因为单调递增，且，故综上，【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）设，，由已知，得，代入中即可；（2）利用抛物线的定义将转化为，再利用韦达定理计算.【题目详解】（1）在抛物线上，∴，设，，由题可知，，∴，∴，∴，∴，∴（2）由（1）问可设：：，则，，，∴，∴，即（*），将直线与抛物线联立，可得：，所以，代入（*）式，可得满足，∴：.【题目点拨】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.21、（1）见解析（2）平面.见解析【解题分析】

（1）要证平面，只需证明，，即可求得答案；（2）连接交于点，连接，根据已知条件求证，即可判断与平面的位置关系，进而求得答案.【题目详解】（1），为边的中点，，平面平面，平面平面，平面，平面，，在内，，为所在边的中点，，又，，平面.（2）判断可知，平面，证明如下：连接交于点，连接.、、分别为边、、的中点，.又是的重心，，，平面，平面，平面.【题目点拨】本题主要考查